【教案三】23.2解直角三角形及其应用
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
tanA=的邻边的对边AA，sinA=斜边的对边A， cosA=斜边的邻边A
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB=ABAC
AB=BACsin=2843.01200=4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边的邻边AAcos斜边的对边AAsin将问题放到直角三角形FOQ中解决。
一.教学内容：
解直角三角形及其应用
【教学目标】
知识与技能：
1.掌握利用直角三角形的边角关系，求解直角三角形。
2.会利用解直角三角形解决实际问题。 过程与方法：
经历利用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用所学的知识解决实际问题。
情感、态度与价值观：
进一步积累数学活动的经验，并在学习活动中学会与人合作交流。
二.重点、难点：
1.教学重点：
（1）掌握直角三角形中的边角关系。
（2）灵活地运用三角函数关系式解直角三角形。
（3）理解坡角、坡度、仰角、俯角、方位角等意义，能根据实际问题构建直角三角形的数学模型。
2.教学难点：
运用解直角三角形的方法解决实际问题，关键是能将实际问题转化为数学问题——解
直角三角形。
三.主要内容：
（一）解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直
角三角形。
2.直角三角形的边角关系：如图，
（3）边角之间的关系：
3.解直角三角形的四种基本类型：
如下图：
已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。
应注意以下原则：
（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。 （2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新
的误差。 4.几个常用概念：
（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。
（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。
（3）坡度：（坡比）（如图）
坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。
（4）坡角：
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
（5）方向角（如图）
OA：北偏东30° OB：东南方（南偏东45°）
1
25.3 解直角三角形（3）
教学目标
使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
二、教学重点：
把实际问题转化为解直角三角形的问题
三、教学难点：
将实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中元素间的关系
一、知识回顾：
tanA=______ tanA=Asin
二、自主学习探究；
1、阅读，并完成坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的_________h和_________l的比叫做_________（或叫做坡比），一般用_____表示。常写成ｉ＝lh（或写成i=h:l）的形式。把坡面与水平面的夹角α叫做_____________．
思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
i＝_____________＝____________，显然，坡度越大，坡角___________，坡面_________________。
三、探究、合作、展示
例1、如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD
．
2 四、巩固训练：
1、河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12 B．4米 C．5米 D．6米
2、如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（ ）
A．25m B．25m C．225m D．3350m
3、如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC30，则该山坡的高BC的长为_____米。
五·板书
设计
概念：
坡度
坡比
课后反思 课题：解直角课三角形（3）
例1 练习4
利用三角函数测高 导学案
姓名:
一、相关定义
二、典型题型
1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．
3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
4、
5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=31：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m参考数据：3≈1.732）
7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
