2020版高考数学(文)大一轮复习导学案：第八章 平面解析几何

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[基础梳理]

1．直线的倾斜角

(1)定义：

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．

2．直线的斜率

条件 公式

直线的倾斜角θ，且θ≠90° k＝tan_θ

直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝y1－y2x1－x2

3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件 两直线位置关系 斜率的关系

两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 平行 k1＝k2

k1与k2都不存在 垂直 k1k2＝－1

k1与k2一个为零、另一个不存在

4.直线方程的五种形式

名称 已知条件 方程 适用范围

点斜式 斜率k与点(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1

斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

续表

名称 已知条件 方程 适用范围

两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)

截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b xa＋yb＝1(a≠0，b≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用

5.线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，y)，则 x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

1．斜率与倾斜角的两个关注点

(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k＝tan α，图象为：

(2)当倾斜角为时，直线垂直于x轴，斜率不存在．

2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.

[四基自测]

1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( )

A.33 B.3 C．－3 D．－33

答案：A

2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为( )

A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0

答案：A

3．已知直线斜率的绝对值为1，其倾斜角为________．

答案：π4或34π

4．过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．

答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0

考点一 直线的倾斜角与斜率◄考基础——练透

[例1] (1)(2019·常州模拟)若ab<0，则过点P0，－1b与Q1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．

(2)直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，求a的取值范围．

解析：(1)kPQ＝－1b－00－1a＝ab<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为π2，π.

(2)当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－aa＋1.

则有－aa＋1>1或－aa＋1<0，解得－10.综上可知，实数a的取值范围是－∞，－12∪(0，＋∞)．

答案：(1)(π2，π) (2)见解析

1．三个不同的点A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共线，则实数x的值为________．

解析：因为三个不同的点A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共线，所以由斜率公式得5－3－1－2＝x2＋2x＋6－3x－2，解得x＝－1或－53，当x＝－1时，点C，B重合，舍去．所以x＝－53. 答案：－53

2．(2019·太原模拟)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．

解析：如图所示，kPA＝1＋31－2＝－4，kPB＝1＋21＋3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.

答案：(－∞，－4]∪34，＋∞

考点二 求直线方程◄考能力——知法

[例2] 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．

(3)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

解析：(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和P(3,2)，

∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.

若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，

∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，

∴a＝5，即l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

(2)法一：由题意可设直线方程为xa＋yb＝1. 则 a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.

故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.

法二：设直线方程为y＝kx＋b，则在x轴上的截距为－bk，所以b＋－bk＝6，①

又直线过点(2,1)，则2k＋b＝1.②

由①②得 k＝－1，b＝3或 k＝－12，b＝2.

故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.

(3)当直线不过原点时，

设所求直线方程为x2a＋ya＝1，

将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，

此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.

当直线过原点时，斜率k＝－25，

直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0，

综上可知，所求直线方程为

x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.

1．求直线方程的方法

方法 解读

题型

直接法 直接求出直线方程所需要的标量 适合于直线标量易求的题目

待定系数法 设出直线方程形式，待定其中的标量 适合于条件较多而隐含的题目

2.考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．

1．在本例(1)中，过点(3,2)，且在两轴上截距互为相反数的直线方程是什么？

解析：(1)若直线过原点，适合题意，其方程为y＝23x，

即2x－3y＝0.

(2)若直线不过原点，设直线方程为xa＋y－a＝1，

∴3a－2a＝1，

∴a＝1，方程为x－y－1＝0. 综上，直线方程为2x－3y＝0或x－y－1＝0.

2．在本例(3)中，改为“过点A(－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直线方程．

解析：设所求直线在x轴的截距为a，在y轴上的截距为b，

则 －5a＋2b＝112|ab|＝92，

∴ a＝－3b＝－3，或 a＝152b＝65.

∴方程为x＋y＋3＝0或4x＋25y－30＝0.

考点三 两条直线的位置关系◄考基础——练透

[例3] (1)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：(1)当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，故l1∥l2.

当l1∥l2时，若l1与l2斜率不存在，则a＝0；

若l1与l2斜率都存在，则a≠0，有－a＋1a2＝－2a且3a2≠2a＋1a，解得a∈，故当l1∥l2时，有a＝0.故选C.

答案：C

(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.

显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

两直线位置关系的判断方法

方法 平行 垂直 适合题型

化成斜截式 k1＝k2，且b1≠b2 k1k2＝－1 斜率存在

一般式 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 无限制

直接法 k1与k2都不存在，且b1≠b2 k1与k2中一个不存在，另一个为零 k不存在

1．如果直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，求ab.

解析：法一：由题意，

得 a·－2－1－b·1＝0，1＋a·－2－－1×1＝0.

解得a＝－12，b＝0.易知此时它们的截距也不相等，所以ab＝0.

法二：直线x－2y＋3＝0的斜率为12，则另两条直线的斜率一定存在且等于12，所以12＝－a1－b＝－1＋a－1，解得a＝－12，b＝0，易知此时它们的截距也不相等，所以ab＝0.

2．若过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．

解析：∵过点A，B的直线平行于直线2x＋y＋2＝0，

∴kAB＝4－mm＋2＝－2，解得m＝－8.

答案：－8

逻辑推理、直观想象_求直线方程的易错问题(一)

直线方程是解析几何的入门内容，基本概念、公式较多，由于学生对直线的构成要素理解不清或方程形式认识欠缺，而导致错误.

1.对倾斜的概念与范围理解有误

[例1] 已知直线l过点(2,1)，且与x轴的夹角为45，求直线l的方程．

解析：由直线l与x轴的夹角为45知，直线l的倾斜角为45或135．

当直线l的倾斜角为45时，其斜率为k＝tan 45＝1，而直线l过点(2,1)，故其方程为y－1＝x－2，即y＝x－1；

当直线l的倾斜角为135时，其斜率为k＝tan 135＝－1，而直线l过点(2,1)，故其方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.

综上所述，所求直线方程为y＝x－1或y＝－x＋3.

2.忽略两直线平行与重合的区别

例2

已知直线l1：x＋m2y＋6＝0与l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0平行，则实数m＝________.