三角函数的最值

三角函数最值问题常见的求解策略

三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之

一

．求三角函数的最值，

往往要涉及二次函数、

不等

式等其他重要知识，

是历年高考考查的热点之一

．本

文试对常见三角函数最值问题作归纳、

梳理

．

１．

ｙ＝ａｓｉｎｘ

＋ｂ型

应对策略：

令

ｔ

＝ｓｉｎｘ，

化为求一次函数

ｙ＝ａｔ

＋

ｂ在闭区间上的最值

．

例

１

　求函数

ｙ＝－３ｓｉｎｘ

＋２的最值

．

解

　令

ｔ

＝ｓｉｎｘ，

则原式化为

ｙ＝－３ｔ

＋２，

ｔ

∈

［

－１，

１］，

得

－１

≤ｙ

≤５．故

ｙ

ｍｉｎ＝－１，

ｙ

ｍａｘ＝５．

２．

ｙ＝ａｓｉｎｘ

＋ｂｃｏｓｘ

＋ｃ型

应对策略：

引进辅助角

φｔａｎ

φ＝ｂ

（）

ａ，

化为

ｙ＝

ａ２

＋ｂ槡２

ｓｉｎ（

ｘ

＋

φ）

＋ｃ，

再利用正弦、

余弦函数的有

界性

．

例

２

　已知

ｘ

∈－π

２，π

［］

２，

求函数

ｆ（

ｘ）

＝

５ｓ

ｉｎｘ

＋槡５３ｃｏｓｘ的最值

．

解

　ｆ（

ｘ）

＝５ｓ

ｉｎｘ

＋槡５３ｃｏｓｘ

＝１０ｓｉｎｘ

＋π

（）

３，令

ｔ

＝ｘ

＋π

３，

则

ｙ＝１０ｓｉｎｔ，

ｔ

∈－π

６，５

π

［］６．故当

ｔ

＝－π

６时，ｓｉｎｔ有最小值

－１

２，

ｆ（

ｘ）

ｍｉｎ＝－５；

当

ｔ

＝

π

２时，

ｓｉｎｔ有最大值

１，

ｆ（

ｘ）

ｍａｘ＝１０．

３．

ｙ＝ａｓｉｎ２

ｘ

＋ｂｓｉｎｘ

＋ｃ型

应对策略：

令

ｔ

＝ｓｉｎｘ，

化为求二次函数

ｙ＝ａｔ２

＋ｂｔ

＋ｃ在闭区间上的最值

．

例

３

　求

ｙ＝２ｓｉｎ２

ｘ

＋ｓｉｎｘ

＋３－π

２≤ｘ

≤π

（）

６

的最值

．

解

　令

ｔ

＝ｓｉｎｘ，

则由

－π

２≤ｘ

≤π

６，

得ｔ

［∈

－１，］１

２．于是

ｙ＝２ｔ２

＋ｔ＋３

＝２ｔ

＋（）１

４２

＋２

３

８．当

ｔ

＝－１

４时，

ｙ

ｍｉｎ＝２３

８；

当

ｔ

＝－１或１

２时，

ｙ

ｍａｘ＝４．

４．

ｙ＝ａｓｉｎ２

ｘ

＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ

＋ｃｏｓ２

ｘ型

应对策略：

降次，

整理化为类型

２，

求

ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ

＋Ｂｃｏｓ２ｘ

＋ｃ的最大值、

最小值

．

例

４

　函数

ｆ（

ｘ）

＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ

＋８ｃｏｓ２

ｘ，

求

ｆ（

ｘ）

的周期与最大值

．

解

　ｆ（

ｘ）

＝３ｓｉｎ２ｘ

＋４ｃｏｓ２ｘ

＋４

＝５ｓｉｎ（

２ｘ

＋

φ）

＋４．故周期

Ｔ

＝π，

ｆ（

ｘ）

最大值为

９．

５．

ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ

- 1 - 三角函数的最值

三角函数是基本的数学函数，在各种实际的应用中神奇地出现。平面三角函数是微分学中最具有代表性的函数之一，它有着深远的影响和广泛的应用。本文主要讨论的是三角函数的最值问题，以帮助读者更加深入地了解它。

首先，我们将来讨论三角函数的最值。首先，圆弧的最高和最低点之间的关系可以作为求最值之间的关系。通过分析，可以得出一般最值的表达式，即有极值关系的三角函数的最值为：cosθ =1，此时θ为正负90度。因此，可以得出三角函数的最大值为：sinθ = 1，最小值为：sinθ = -1 。

其次，要进一步理解三角函数的最值，我们可以利用三角函数的切线的特性来求解。在一个函数的极值点上，函数在该点的切线都是水平的，而有极值的三角函数也是如此，在最大值点和最小值点上，切线都是水平的，它们有公式：sinθ = 0。得到有极值的三角函数的最值公式：sinθ =1，从而可以求出三角函数的最值。

再次，我们可以采用三角函数的尺规法来求解三角函数的最值。尺规法是一种在函数图像上求解函数最值的方法，它规定一条水平线从函数曲线的最小值点穿过函数曲线的最大值点，这条水平线上的定点就是函数的最值点，由此可以求出函数的最值。在此，可以得出三角函数的最值公式：sinθ =1，其中θ为正负90度。

最后，我们通过泰勒公式进一步分析三角函数的最值。考虑到在函数发展的高阶项上，泰勒展开式能够有效地把三角函数进行展开， - 2 - 从而得到函数的极限值。通过泰勒展开式，我们可以得出三角函数的极限值：sinθ =1，从而可以求出三角函数的最值。

本文从三个方面论述了三角函数的最值：圆弧的最高点和最低点之间的关系，由切线特性可以求出的最值公式，以及由尺规法和泰勒公式得出的最值公式，期望通过本文能够帮助读者更加深入地理解三角函数的最值问题。

总之，通过本文的讨论，我们可以得出三角函数的最值公式：sinθ =1，其中θ为正负90度，帮助我们更好地理解三角函数的最值问题。

.实用文档.

. 求三角函数最值的常用解题方法

一.使用配方法求解三角函数的最值

例1．函数的最大值为1，求的值

解：

结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。

二.使用化一法求解三角函数的最值

例2．求函数的值域。

分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。 精品文档

. 解：

结论：化一法由“化一次〞、“化一名〞、“化一角〞三局部组成，其中“化一次〞使用到降幂公式、“化一名〞使用到推导公式、“化一角〞使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。

三.使用根本不等式法求解三角函数的最值

例3.求函数的值域 .实用文档.

. 解：

解：

四.使用换元法求解三角函数的最值

例4．求函数的最值。

分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。

解：

数学

篇思路探寻在近几年的高考数学试题中，三角函数最值问题屡见不鲜.此类问题一般具有较强的综合性、抽象性，侧重于考查同学们的抽象思维能力和综合处理问题的能力.本文重点谈一谈三类常见的三角函数最值问题及其求法一、求一次三角函数的最值一次三角函数最值问题属于常规题目.解答此类问题，需灵活运用三角函数中的诱导公式、两角和差公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，将三角函数式转化为只含有一个角、一种函数名称的式子，然后根据三角函数的图象和性质来求得函数的最值.例1.求函数f()x=cosx()2sinx+3cosx的最值.解：f()x=2sinxcosx+3cos2x=sin2x+32cos2x+32=1+æèöø322∙sin()2x+φ+32=132sin()2x+φ+32.由于||sin()2x+φ≤1，因此3-132≤f()x≤3+132，那么函数的最大值是3+132，最小值为3-132.第一步，我们要仔细观察三角函数的形式，将其进行适当的变形.若三角函数式中含有括号就要先将括号去掉；若含有两种不同的函数名称，就需用辅助角公式或tanx=sinxcosx将函数名称统一；若含有两个不同的角，就需用诱导公式、两角和差公式将角统一，最后根据三角函数的图象和性质求得最值.二、求二次三角函数的最值解答二次三角函数最值问题，我们一般要先利用二倍角sin2x=2sinxcosx、cos2x=2cos2-1=1-2sin2x或其变形式2cos2x=cos2x-1、sin2x=1-cos2x2等，将三角函数式的幂或角统一，将其转化成为f()x=Asin()ωx+φ+B的形式，或者只含有一种函数名称的二次式，然后利用三角函数的有界性和二次函数的性质来求最值.例2.已知函数f()x=23sinxcosx+2cos2x-1()x∈R.试求出函数f()x的

最小正周期，以及当x∈éëùû0

，π2时f()x的最大值与最小值.分析：该三角函数式中含有二次式，需先用正弦、余弦的二倍角公式将其化简，然后利用辅助角公式，将其转化为只含有一种函数名称的函数式，再根据正余弦函数的单调性和有界性便可求得原函数的最值.解：f()x=23sinxcosx+2cos2x-1=3()2sinxcosx+()2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sinæèöø2x+π6.因此这个函数的最小正周期是T=2π2=π.当x∈éëùû0，π6，即2x+π6∈éëùûπ6，π2时，函数f()x单调递增；而当x∈éëùûπ6，π2，即2x+π6∈éëùûπ2，7π6时，函数f()x单调递减，因此当x=π6时，函数取最大值fæèöøπ6=2sinπ2=2；当x=π2时，函数取最小值fæèöøπ2=2sin7π6=-1.三、求含有分式的三角函数的最值求含有分式的三角函数的最值有两种思路，第一种思路是尝试将常数分离，求得分离后含有变量式子的最值便可解题；第二种思路是，将函数y=f(x)看作参数，将函数式变形为整式，然后运用辅助角公式，将其转化为Asin()ωx+φ+B或Acos()ωx+φ+B的形式，再利用正余弦函数的有界性来建立关系式，解不等式便可求得y的取值范围，进而确定函数的最值.例3.求函数y=sinx-23-2sinx的最值.解：将y=sinx-23-2sinx变形可得()2y+1sinx=3y+2æèöøy≠-12，即sinx=3y+22y+1.又因为||sinx≤1，则||||||3y+22y+1≤1，将其两边同时平方可得()3y+22≤()2y+12，解得-1≤y≤-35，因此函数的最大值为-35，最小值为-1.我们先将函数式变形为一边只含有sinx、一边不含有sinx的式子，然后根据y=sinx的有界性求3y+22y+1的取值范围，求出y的取值范围便可以确定函数的最值.总之，要想顺利求得三角函数的最值，我们需熟练掌握三角函数中的基本公式以及三角恒等变换的技巧，先将所求函数式化简为只含有一个角、一种函数名称、次数统一的最简形式，然后根据三角函数的单调性和有界性来求得原函数的最值.(作者单位：福建省泉州第十七中学)王国顺