三角函数求最值的方法

三角　■●一■・■＿■－－一　Ｊ－Ｊ　解题方法与技巧　函数求最值策　甘肃白银靖远师范学校（７３０９００）　王彩琴　三角函数最值问题，是中学数学中的一个难点内　容，也是高考常考内容，学生往往由于缺乏对相应知识　点的正确理解，而容易造成漏解、错解，若能在学生刚接　触这个内容时引导他们运用正确方法解题，不仅可避免　出现差错，还可掌握一类题的解题思想方法．　三角函数最值求解的主导方向是化为“单一”（即同　名同角）三角函数求最值，同时要注意三角函数值范围　及角范围条件的约束作用．现就常见的几种类型作一归　类．　一、二次函数法　当求最值的三角函数化为形如二次函数形式的三　角函数时，常利用配方这一二次函数法来求得．　【例１】　函数ｙ＝１＋４ＣＯＳＸ－４ｓｉｎ２ｘ（一擎≤　≤　）　的值域是（　）．　［Ｏ，８］　Ｂ．［一４，５］　Ｃ．［一３，５］　Ｄ．［一３，２　一１］　解：　一１＋４ｃｏｓｚ一４ｓｉｎ２ｚ　＝１＋４ｃｏｓｘ－－４（１一ＣＯＳ。ｚ）　＝４ｃｏｓ　５６一－４ｃｏｓｘ－－３　：４（ｃｏ　＋妄）　一４．　・．・≤ｚ≤　．一　≤ｃ。ｓｚ≤１．　根据最值在区间端点及顶点确定知：　ｃｏ　一一÷时，Ｙ　：－－４；　ｃｏｓｚ一１时，　一＝＝＝５．　．。．值域为［一４，５］．选Ｂ．　二、应用公式法　在三角函数求最值中，若题目可转化为ａｓｉｎｘ＋　ｂｃｏｓｘ形式，则可利用基本公式ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝￣／　＋６２・　ｓｉｎ（ｚ＋　）（ｔａｎｑ￣－＝詈）转化为“同名”三角函数再求最值．　【例２１当一号≤ｚ≤号时，求函数厂（ｚ）一ｓｉｎｘ＋　，／５ｃｏ￣的最大值与最小值之和．　解：厂（　）一ｓｉ眦＋　ｃｏ鼢一、　ｓｉｎ（ｚ＋要）一　ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡｏｘＩＩＥ　ＣＡＮＫＡＯ　略　‘・’一号≤ｚ≤号　・一詈≤ｚ＋号≤　，　・。・一专≤ｓｉ　＋詈）≤１．　．。．　（　）一一２，厂（ｚ）一一一１．　．‘．一１＋２—１．　【例３】求　一詈三　的最大值和最小值．　解：由题可得２．ｙ一．），ｃａ　一２一ｓｉ眦，　．　．ｓｉｎｚ—　ｃｏｓｚ一２－－２ｙ．　・‘　ｃｔａｎ￣＝－－ｙ）．　・・・　≤Ｌ　由此解得　≤　≤　．　．　４一√７　—４＋√７　一　ｎ一丁，　ｍｘ一丁・　三、降幂升角法　降幂升角是通过把高于二次或三次的三角函数利　用降幂公式（如二倍角公式逆用）降低次数，再利用和积　互化或差积互化公式化为“单一”三角函数．　【例４１　已知函数ｙ一２ｃｏｓ　ｚ＋６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋４ｃｏｓ（ｘ　＋｛）ｃ。ｓ（　一号），ｘＥ［ｏ，｛］，求此函数的最值．　解：　一１＋ｃ。ｓ２ｘ＋３ｓ１‘ｎ２ｘ－１－２（ｃ。ｓ２ｘ＋ｃ。ｓ詈）　一３（ＣＯＳ２５Ｃ＋ｓｉｎ２ｘ）＋１　—３　ｓｉｎ（２　＋詈）＋１，　‘・。ｏ≤ｚ≤号＇．．・号≤２ｚ＋号≤　．　．・．　≤ｓｉｎ（２ｚ＋｛）≤１．　当ｚ一号时，　一一３Ｊ￣＋１；　当ｚ一手或　一０时，Ｙｍｉｎ＝４．　四、换元法　换元法的目的是简化表示形式，在借助常见形式的　特征达到解题的目的．　【例５】　求函数　—Ｔ二　嚣　的最小值．　２５　Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｘｊｘｃｋｌｋ（￣１６３．ｃｏｒｎ　Ｊ

嵇　解题技巧与方法　三　复会　数最傧　求潦一会　解　数　法　◎郑有礼　（天祝县第二中学，甘肃天祝７３３２００）　【摘要】三角复合函数最值的求法有多种，本文笔者通　过例题来阐述分解函数法的应用，为学生和读者们以后的　结题带来一些信息的思路和方法．　【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学　＝角函数彤成的复合函数的最值的探究是历年高考命　题的一个热点，笔者认为：若Ｙ是　的复合函数求最值，首先　可引人中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合　函数分解为几个基本函数；其次由　的取值范围求出中间　变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出Ｙ的取值范　围；最后根据Ｙ的取值范围直接写出原函数最值．这种求其　复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函　数法．　例１　（２０１４・天津）已知函数ｆ（　）＝ＣＯＳＸ・ｓｉｎ　（　＋詈）一　＋　Ｒ．　，　（Ｉ）求＿厂（　）的最小正周期；　（１Ｉ）求＿厂（　）在闭区间［一　，ＩＴ，｛］上的最大值和最　小值．　解，（　）ＣＯＳＸ　ｎ（ｘ＋Ｔ　－）一　ｃｏｓ２　＋字ＣＯＳＸ・　（÷ｓｉｎ　＋　ｃ　）一　０Ｓ２Ｘ＋　Ｔ＝Ｔ　ｓｌｎｘｃｏｓｘ－－　ｃ　＋　４＝ｓｉｎ２ｘ－字ｃｏｓ２　：　１　ｓｉｎ（ｚ　一号）．　（Ｉ），（　）的最小正周期　＝　２＂１７＝叮Ｔ．　（Ⅱ）设ｙ＝　１“，　＝ｓｉｎｖ，　＝２ｘ一÷，　／　’　因为一　４　ｃ　≤寻，所以一　≤　≤詈，从而一１≤　≤　÷，于是一÷≤ｙ≤÷，　因此，厂（　）在闭区间［一　，－ｇ，詈］上的最大值为÷，最小　值为一　１．　点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数ｆ（　）的　最值时，引入了中间变量　，　把复合函数最值问题转化为　三个基本函数的值域问题加以解决．这种方法充分体现了　数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性．　例２　（２０１４・江西）已知函数厂（　）＝ｓｉｎ（　＋０）＋ａｃｏｓ　●　。，　１０７　ｔ　●　＿　，０　簟　（　＋２０），其中。ＥＲ，日　（一号，号）．　（Ｉ）当ｎ＝√　，０＝　，ｆ时，求，（　）在区间［ｏ，叮Ｔ］上的最　大值与最小值；　（Ⅱ）若　号）＝ｏ　竹　，求　的值．　解（Ｉ）当。＝　，０＝｛时，　＿厂（　＝ｓｉｎ（　＋｝）＋　ｃ。ｓ（　＋詈）＝　（ｓｉｎ　＋ｃ…　一　＝　一　ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ（￣　－）　设ｙ＝ｓｉ　＝｝　因为０≤　≤　，所以一　≤ｕ≤｛，于是一１≤ｙ≤孚，　因此　）在区间［ｏ，　］上的最大值为　，最小值为一１．　（Ⅱ）由　（一号，号），得　，　由，（詈）＝ｏ，得ｃｏｓ０（１　ｎｓｉｎ　）＿（】，１＿２一ｉｎ　，即　ｓｉｎ　＝　１，　①　由＿厂（叮Ｔ）＝１，得２ａ　ｓｉｎ　０一ｓｉｎ０一ｎ＝１，　②　联立①②，结合。　Ｒ，日　（一号，詈），解得。＝一１，　０一詈．　点评该例（Ｉ）中，函数－厂（　）实际上是三；角函数形成　的复合函数，求其最值时，采用了分解函数法，引入了中间　变量“，把该复合函数分解为两个基本函数，通过求这两个　基本函数的值域得出了原函数的最值．这种方法简洁明快．　总之，探究三角复合函数的最值时，首先常据倍角公　式、降次公式（半角公式）、和角公式、差角公式、辅助角公式　把原函数化成复合函数的形式；其次可采用分解函数法，引　人中间变量，把复合函数分解为几个基本函数；最后通过求　基本函数的值域求出复合函数的最值．求基本函数的值域　时可以采用单调性法、图像法、不等式法、配方法等数学方　法．利用分解函数法求复合函数最值既能体现数学美，又能　渗透数形结合、转化、整体的数学思想．这种方法简单易行，　且右很碾的樱作件．　学学习与研究

姆●　解题技巧与方法　馕域《　值》鳓　裤乘　◎李春燕　（江苏省南京市秣陵中学，江苏　南京２１００００）　【摘要】有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各　类考试考查的热点之一，这类问题的解决涉及化归、转换、　类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问　题转换、等价化归等常用方法．掌握这类问题的解法，不仅　能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提　高数学思维能力和运算能力．　【关键词】高中数学；三角函数的值域；几种求法　一、合理转化，利用有界性求值域　例１　求函数的值域：ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ．　１　１　解析（１）根据Ｉ　ｓｉｎｘｃｏｓｘＩ≤÷Ｉ　ｓｉｎ２ｘＩ≤÷，　‘　二　１　可知：÷≤　≤÷．　二、单调性开路，定义回归　例２求函数的值域：ｙ＝￣／ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）．　解析（２）由一１≤ｓｉｎｘ≤１，　有ｃｏｓｌ≤ＣＯＳ（ｓｉｎｘ）≤１，．’．　ｃｏｓ１≤　ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）≤１　三、抓住结构特征。巧用均值不等式　例３若０＜　＜竹，求＿厂（　）＝　坠　的最小值　解析由０＜　＜＂ＩＴ得：ＸＳｌ［Ｉ￣＞０，根据均值小等式：　）＝９　ｓｉ似　４≥２￣９ｘｓｉｎｘ　ｘｓｉＬ＝１２．　当９ｘｓｉｒｒ＊＝＿４，即Ｘ２Ｓｉｎ　＝丢时　）　＝１２．ＸＳ１／／Ｘ　…‘　例４　已知　：ｃｏｓ（　＋卢），其中　、卢为锐角，求ｔ那　ｓｌｎｏｔ　。　的最大值．　解析　由ｓｉｒｌ　＝ｓｉｎ［（Ｏｔ＋卢）一　］＝ｓｉｎ（　＋卢）ｃ０ｓ　—　ＣＯＳ（＋廖）ｓｉｎｔ￣＝ｓｉｎａｃｏｓ（　＋　），　即ｓｉｎ（　＋　）ｃｏｓ　＝２ｓｉｎｔ￣ｃｏｓ（ａ＋　），　有ｔａｎ（理＋　）＝２ｔａｎａ．　于是：ｔａ　一ｔａｎ［（　＋ＪＢ）一ｑ］＝　端＝　ｌ＋２ｔａｎ２ｏｔ一一１＋２ｔａｎｃｔ　ｔａｎｔｘ　≤譬．　当　ｔａｎ—ｔｘ＝２ｔａｎ　即ｔａｎ２ｏ／÷时，有（ｔａ　）　：鲁．　Ｚ　“…　４　四、易元变换，整体思想求解　例５　求函数Ｙ　ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．　解法一设ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＝ｔ，　则　＝√＿ｓｉｎ（　＋号）　［一　，　］＇ｓｉ眦ＣＯＳＸ－－丁ｔ２－１，　·　·　ｌｉｔ　．·．ｙ：　＋　＝÷（￡＋１）　一１，　ｅ［－　，　］．　故当　：　寸，有Ｙ　＝　＋÷．　解法二构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭　区间内求最大值　设ｓｉｎｘ＝ｍ＋ｎ，ＣＯＳＸ＝ｍ—ｇ／，，　则ｓｉｎｘ＋ｃ０ｓ　＝２ｍ，ｓｉｎｏ％ｃｏｓ．ｘ＝ｍ２一ｎ２．　由ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ０８２Ｘ￣．　，得ｍ２＋／７，２：　１，ｍｓ【一芋，　】，　．·．　＝ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｓｉａｘｅｏｓｘ＝２ｍ＋ｍ　一　＝２ｍ　＋２ｍ一　÷，ｍ　［一　，　】，　故当ｍ：牟时，有），…：　＋　五、方程架桥，问题转化　例６　求函数Ｙ：　一±≥　拿　巫　的最大值、最　Ｚ十Ｓ１眦　小值．　解析将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解　的充要条件：　原函数解析式转化为：ｓｉｎ　＋（４一Ｙ）ｓｉｎｘ＋３—２ｙ＝０．　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则ｌｔＩ≤１，　．·．ｔ　＋（４一Ｙ）ｔ＋３—２ｙ＝Ｏ在［一１，１］上有解，故有：　ｒ△＝（４一ｙ）　一４（３—２ｙ）≥Ｏ，　ｊ　孚　，　或　一１　。，　Ｉ，（一１）ｔ＞０，　Ｌ，（１）＞１０　、　解得２≤　≤÷．　六、运用模型、数形结合　例７　求函数Ｙ＝　二　的值域．　—ＣＯＳＸ　解析函数的值域可看作求过点Ｐ（２，２）的单位圆的　切线的斜率ｋ的最大、最小值．　设切线ＰＡ的方程为：ｙ一２＝ｋ（ｘ一２），　即　一　一２ｋ＋２＝０．　设原点到切线的距离ｄ，则ｄ＝１，　即ｄ－　：ｌ，即３ｋ　一８ｋ＋３：０，解得　：　，　１＋∥　故所求函数的值域为：［４一　，　】．　数学学习与研究

梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。

1求函数值域的12种方法

一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

1.函数

),0(Rxkbkxy的值域为R；

2.二次函数

),0(2

Rxacbxaxy当0a时值域是[

abac

442



，+

)，

当0a时值域是

(,

abac

442

]；

3.反比例函数

)0,0(xk

xk

y的值域为

}0|{yy；

4.指数函数

),1,0(Rxaaayx

且的值域为

R；

5.对数函数

xy

alog)0,1,0(xaa且的值域为R；

6.函数

)( cos ,sinRxxyxy的值域为[-1，1]；函数 ),

2k(xtanZkxy



,

cot x y ),(Zkkx

的值域为R；

7.对勾函数

)0,0(xa

xa

xy的值域为

),2[]2,(aa；

8.形如

)0,0(xa

xa

xy的值域为

}0|{yy；渐近线为y=x

二、求值域的方法

1.直接法(观察法)

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域

例1

求函数3422

xxy

（x

∈[30,

]）的最值

解：∵1)1(22

xy

，∴当3x=

时，

maxy1x9==,

时，

miny

=1

.

例2

求函数323yx=+-

的值域。

解：由算术平方根的性质，知23x-

≥0，故323yx=+-

≥3.∴函数的值域为

,3[

.

2.反函数法求值域

对于形如

)0(



a

baxdcx

y的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过

求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例3

求函数1

2x

y

x+

=

+的值域。解：显然函数1

2x

y

x+

=

+的反函数为:12

1y

x

y-

=

-,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y

∈R｝。

3.换元法求值域

对形如)0,0(cadcxbaxy

的函数常设

dcxt来求值域；对形如梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。

2)0,0(2

cacxcbaxy的函数常用“三角换元”，如令