高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法试题 新人教A版选修4-5

- 1 - 2.2.1 不等式及其性质

[A 基础达标]

1．下列说法正确的是( )

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若1a>1b，则a

C．若b>c，则|a|b≥|a|c

D．若a>b，c>d，则a－c>b－d

解析：选C.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．

2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a

3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是( )

A．y1

C．y1>y2 D．随x值变化而变化

解析：选C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)

＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，

所以y1>y2.故选C.

4．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )

A．a＋1b>b＋1a B．a＋1a≥b＋1b

C.ba>b＋1a＋1 D．b－1b>a－1a

解析：选A.因为a>b>0，所以1b>1a>0，所以a＋1b>b＋1a，故选A.

5．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )

A．ab>bc B．ac>bc

C．ab>ac D．a|b|>c|b|

解析：选C.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，

所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零． - 2 - 由b>c，a>0知，ab>ac.故选C.

6．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得1a<1b成立的是________．

解析：1a<1b⇔b－aab<0，所以①②④能使它成立．

答案：①②④

7．若a1

解析：(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)

1 2.绝对值不等式的解法

课后篇巩固探究

A组

1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于( )

A.{x|2≤x≤3}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|2

D.{x|-1

解析A={x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},

则A∩B={x|2

答案C

2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为( )

A.{x|x>3-a}

B.{x|x>a-1}

C.⌀

D.R

解析不等式|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.

答案D

3.不等式|3x-4|>x2的解集为( )

A.(-4,1)

B.(-1,4)

C.⌀

D.(-∞,-4)∪(1,+∞) 2 解析由|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4

答案A

4.不等式<0的解集是( )

A.{x|-3

B.{x|-3

C.{x|-3≤x≤5}

D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}

解析因为分母|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4

又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3

答案B

5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为( )

A.(0,1) B.(1,2)

C.(1,+∞) D.(2,+∞)

解析在|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.

又x>0,所以log2x>0,解得x>1.

答案C

6.不等式|2x-1|<3的解集为 .

解析|2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1

答案(-1,2)

7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是 .

解析由|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-, 3 故原不等式的解集为.

O F2 F1 A2 A1 P

M 不等式的解法及应用

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．不等式112x的解集是（ D ）

A．(,2) B．(2,) C．(0,2) D．(,0)(2,)

2．“a＞0，b＞0”是“ab>0”的（ A ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不允分也不必要条件

3．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1

A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定

4．不等式0121xx的解集是

1(1,)2 .

5．已知直线l过点)1,2(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于BA、两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 . 4

6．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

【专家解答】（Ｉ）设椭圆方程为22221yxab（0ab），半焦距为c, 则

21||aMAac,11||AFac,

由题意，得 22222()24aaaccaabc,

解得 2,3,1abc

故椭圆方程为22143yx

（II）设P(0,),||1mym, 当00y时，120FPF

当00y时, 12102FPFPFM 只需求12tanFPF的最大值即可。

直线1PF的斜率011yKm，直线2PF的斜率02,1yKm

第一讲 不等式和绝对值不等式

复习课 学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．

1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.

(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．

(6)开方：如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．

3．基本不等式

(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．

(2)定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．

(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．

(4)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．

(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；

(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求．

4．绝对值不等式的解法

解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法

(1)根据绝对值的定义．

(2)分区间讨论(零点分段法)．

(3)图象法．

5．绝对值三角不等式

(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．