单因素方差分析方法

实例解析单因素的方差分析方法

首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V、组内方差vw、组间方差vB。

总方差 v=2ijxx

组内方差 vw=2ijxxi

组间方差 vB=b2ixx

从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值xi对总均值x的偏离程度，反映系统的误差。

在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差：

组间均方差 2Bs=1Bav

组内均方差 2ws=aabvw

在方差相等的假定下，要检验n个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。

原假设 H0：均值相等即1=2=„=n

备择假设 H1：均值不完全不相等

则可以应用F统计量进行方差检验：

F=babavvw1B=22ssWB

该统计量服从分子自由度a-1，分母自由度为ab-a的F分布。

给定显著性水平a，如果根据样本计算出的F统计量的值小于等于临界值aab1aF，，则说明原假设H0不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。

下面通过举例说明如何在Excel中实现单因素方差分析。

例1：单因素方差分析

某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。

表2 三块农田的产量 甲 50 46 49 52 48 48

乙 49 50 47 47 46

49

丙 51 50 49 46 50

50

要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H0：三者产量均值相等；备择假设H1：三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。

⑴新建工作表“例1”，分别单击B3：D8单元格，输入表2的产量数值。

⑵计算组均值，对应甲的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE（B3：B8）”，再次单击B9单元格，拖曳鼠标至D9单元格，求出乙和丙的组均值。

⑶计算总均值，单击B10单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE（B9：D9）”。计算机结果如图1所示

图1

⑷计算2iijxx，并求各组的组内方差vw的值。

求甲组2iijxx的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=（B3-$B$9）^2”。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至B19单元格。

求乙组2iijxx的值，单击C14单元格，在编辑栏输入“=（C3-$C$9）^2”。再次单击C14单元格，拖曳鼠标至C19单元格。

求丙组2iijxx的值，单击D14单元格，在编辑栏输入“=（D3-$D$9）^2”。再次单击D14单元格，拖曳鼠标至D19单元格。

计算vw的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“=SUM（B14：D19）”。计算结果如图2所示。

图3

⑸根据组均值和总均值求2xxi的值，单击B24单元格，在编辑栏输入“=（B9-＄B＄10）^2”。再次单击B24单元格，拖曳鼠标至D24单元格，求出三个组的值。

⑹计算组间方差VB，单击C25单元格，在编辑栏输入“=6*SUM(B24:D24)”。计算结果如图3所示。

图3

⑺计算F统计量的值，单击C28单元格，在编辑栏输入“=C25/（C27-1）/（C20/（C27*E27-C27））”。

⑻计算Fa的值，单击C30单元格，在编辑栏输入“=FINV（C29，C27-1，C27*E27-C27）”。

⑼根据临界值给出的检验结果，单击C31单元格，在编辑栏输入“=IF（C28>C30,”三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”）”。

最终结果如图4所示。

从图4中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设H0，因此在0.05的显著性水平下可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。

图4

二、方差分析表

在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。

方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后面介绍的Excel单 因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。

对应方差分析的结构如表3所示，其中对于组间方差vw的计算可直接根据公式vw=v-vB给出。

表3 方差分析表

方差 自由度 均方差 F统计值

组间方差vB

vB=b2ixx a-1 2Bs=1Bav

F=22^^sswB

组内方差vw

vw=v-vB Ab-a

2ws=aabvw

总方差v

V=2ijxx Ab-1

下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。

例2 方案分析表

某公司研制出了A、B、C、D4种新型生产设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数 是否存在显著差异。

表4 4种机器生产的零件数量 A 75 46 50 56 73 48

B 47 50 65 72 46 49

C 48 50

52 46 49

65

D 68 48 49 63 51

70

需要检验4中设备单位时间内生产的零件数是否存在显著差异，对应原假设H0：4种设备生产的零件数均值相等；备择假设H1：4种设备生产零件数均值不相等，可采用单因素方差分析予以检验。

⑴新建一工作表“例2”，分别单击B3：E8单元格，输入表4中的零件数。

⑵计算组均值。对应A组的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE(B3:B8)”，

再次单击B9单元格，拖曳鼠标至D9单元格，求出B、C、D的组均值。

⑶计算总均值。单击B10单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE(B9：D9)”。计算结果如图5所示。

⑷根据组均值和总均值计算组间方差vB。

求2xxi的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=（B9-＄B＄10）^2”。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至E14单元格，求出三个组的值。

计算vB的值，单击C15单元格，在编辑栏输入“=SUM（B14：E14）*6”。计算结果如图6所示。

图6

⑸根据总均值计算方差v。

求2ijxx的值，单击B19单元格，在编辑栏输入“=（B3-＄B＄10）^2”。再次单击B19单元格，拖曳鼠标至E24单元格，求出所有的值。

计算v的值，单击C25单元格，在编辑栏输入“=SUM（B19：E24）”。计算结果如图7所示。

⑹方差分析表结构，根据总方差和组间方差计算组内方差，单击C33单元格在编辑栏输入“=C34-C32”

⑺分别给出自由度，单击D32单元格，在编辑栏输入“=C27-1”；单击D33单元格，在编辑栏输入“=C27*E27-C27”；单击D34单元格，在编辑栏输入“=C27*E27—1”。

⑻计算方差分析表中的均方差。

组间均方差，单击E32单元格，在编辑栏输入“=C32/D32”。

组内均方差，单击E33单元格，在编辑栏输入“=C33/D33”。

⑼计算F统计量的值，单击F32单元格，在编辑栏输入“=E32/E33”。结果如图9所示。

图9

⑽根据F值计算p值，单击G32单元格，在编辑栏输入“=FDIST（F32，D32，D33）”。

说明：1-p值反映了可以以多大的把握认为原假设成立。如果计算的p值小于给定的显著性水平0.05则应该接受原假设，否则应拒绝原假设。

⑾给出检验结论，单击C36单元格，在编辑栏输入“=IF（G32

图10

从图10可以看出，运用方差分析表，拒绝原假设H0，因此在0.01的显著性水平下认为三者均值不相等，即四种设备单位时间内生产的零件数的均值不相等。

在Excel运用方差分析-单因素方差分析工具进行方差分析。

例3 方差分析：单因素方差分析

仍采用例2中的数据，某公司研制出了A、B、C、D4种新型设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计生产的零件数量如表4所示，试应用方差分析：单因素方差分析在0.01的显著性水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。

给定原假设H0：4种设备生产的零件数均值相等，备折假设H1：4种设备生产的零件数均值不相等，应用方差分析：单因素方差分析工具予以检验，具体操作步骤如下：

⑴新建一个工作表“例3”，分别单击B3：E8单元格，输入表4中4台机器对应的零件数。

⑵选择“方差分析：单因素方差分析工具”进行分析，单击【工具】菜单中的【数据分析】选项，出现【数据分析】对话框。

在【数据分析】对话框中，单击【方差分析：单因素方差分析】，如图11所示，单击【确定】按钮。

⑶