数列题型的解题技巧
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数列题型的解题技巧
近几年高考题可见数列题命题有如下趋势：
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】
考点1正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f3_____；f(n)_____（答案用
n表示）.
分析：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4,推测出第n层的球数。解：显然f310.
第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，ana1a2annn1，第n堆的乒乓球数总数相
2
当于n堆乒乓球的低层数之和，即fna1a2an1(1222n2)1nn1.
2
2
2
所以：f(n)
nn1n2
6
例2．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011
分析：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：第1次全行的数都为1的是第21=1行，第2次全行的数都为1的是第221=3行，第3次全行的数都为1的是第231=7行，······，第n次全行的数都为1的是第2n1行；第61行中1的个数是251=32．
应填2n1，32
考点2数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形
，转化为常见的
类型进行解题。如“逐差法”若anan1n,且a11；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列an的通项.
ananan1an1an2a2a1a1nn121
nn1
.2
再看“逐商法”即an1n1且a11，可把各个商列出来求积。
an
an
anan1a2a1nn1n221n!an1an2a1 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3．数列an中，a12，an1ancn（c是常数，n1，，且a1，a2，a3成公比不为12，3，）的等比数列．
（I）求c的值；（II）求an的通项公式．
分析：（1）由a1，a2，a3成公比不为1的等比数列列方程求c；
（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳
概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I）a12，a22c，a323c，
因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2c)22(23c)，解得c0或c2．当c0时，a1a2a3，不符合题意舍去，故c2．（II）当n≥2时，由于a2a1c，a3a22c，
，anan1(n1)c，
2
所以ana1[12(n1)]cn(n1)c．
又a12，c2，故an2n(n1)n2n2(n2，3，)．当n1时，上式也成立，所以ann2n2(n1，2，)．
小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.
例4．已知数列某n满足某2某1，某n1某n1某n2，n3,4,．若lim某n2，则(B) n
2
2
（Ａ）3（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５
2
思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：2某n某n1某n1，某n某n1某n2某n.
某4某3某2某4
相叠加某n某2某1某2某n某n1.
某n1某n2某n3某n1
某n某n1某n2某n某2
某1，2某n某n
2
n
某3某2某1某3
.2某1
lim2某n某n1lim2某1，lim某n2，2某16，某13.
n
n
解答过程2：由某n1某n1某n2得：
2 111
某n+某n1某n1某n2某2某1某1，
222
1某n2.lim某n某n1某1，因为limnn2
所以：某13.
解答过程3：由某n1某n1某n2得：
2
111
某n某n1某n1某n2某n2某n3
222
2
3
2n2
某2某1
2某1.
n1
某1，
从而某3某21某1；某某1某；；某某1
nn1431222
n1
12131.叠加得：某n某2某1 222
n1
11
某n某2某11
622
n2
n2
11，lim某nlim某2某11.
nn62
某11，从而
某13.某1
26
小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关
系式。对连续两项递推ankan-1dn2,k1，可转化为
an
dd；对连续三项递推的关系a
kan1n11k1k
kandan-1n2
如果方程某2k某d=0有两个根、，则上递推关系式可化为
an1ananan1或an1ananan1. 考点3数列的通项an与前n项和Sn之间的关系与应用
S1n=1，数列前n项和S和通项a是数列中两个重要的量，在an与Sn的关系：annn
SnSn1n2
运用它们的关系式anSnSn1时，一定要注意条件n2，求通项时一定要验证a1是否适合。解决含an与Sn的式子问题时，通常转化为只含an或者转化为只Sn的式子.
例5．在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于（）(A)2n12(B)3n(C)2n(D)3n1
点评：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列an为等比，则an2qn1，因数列an1也是等比数列，则
(an11)2(an1)(an21)an122an1anan2anan2anan22an1an(1q22q)0q1
即an2，所以Sn2n，故选择答案C.
例6.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n
项和且an1，求an.分析：转化为只含an或者只含Sn的递推关系式.
解1
：由已知an1，得当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=Sn－Sn－1
，代入已知有SnSn1
1，Sn1Sn1.
Sn1
1，又an0,Sn Sn11.
2
1，
是以1为首项，1为公差的等差数列，
n故an2n1.
解2
：由已知an1，得当n=1时，a1=1；当n≥2时因为San1，所以aan1an11.
nn222
22
，a24anan2ana2n12an1n2anan12an10
222
anan1anan120，因为an0，
所以anan12，所以an2n1.
考点4等差、等比数列的概念与性质的理解与应用
在等差、等比数列中，已知五个元素a1,an,n,d或q，Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差（或公比q）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
（1）等差数列an中，若mnpq，则amanapaq；等比数列an中，若
mnpq，则amanapaq.
