数列题型及解题方法

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1 数列

1. 公式法：

等差数列求和公式: d21)-n(nna2)an(aS1n1n

等比数列求和公式： 1)(q 1q)a-(aq1)q-(1aS1)(q naSn1n1n1nq

等差数列通项公式： dnaan)1(1

等比数列通项公式： 11nnqaa

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘}{},{annb分别是等差数列和等比数列.nn332211nba...bababaS 

例题：

nn111n}{c,,,)1(Sbacqabdnaannnnnn项和的前求已知

21-n2dn11111-n2dn11111-ndn1n11n4321nn111nn1-nnn23312211n 1nnn1-n433221nnn44332211nq)-(1q-1bqd)b-nd(a-ba q-1q-1bqd)b-nd(a-ba q1q-1b2qba-ba )b...bbd(bba-ba ba-]a-(ab...)a-(ab)a-(abba S)1(baba...bababa qSba....babababa）（）（）（①据题意得：解：nSqS

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)a(an1

例题：已知等差数列}{na，求该数列前n项和nS 金汕教育

数列求通项公式的常见题型与解题方法

数列这一章的主要章节结构为：

题型1 已知数列前几项求通项公式

1． 数列0,2,0,2的通项na．

2．数列1111,,,12233445的通项na．

3．数列222213571,1,1,12468的通项na．

题型2 由an与Sn的关系求通项公式

这类题目主要注意ns与na之间关系的转化．即：na=11nnSSS (n=1) (n2)

１． 已知数列{}na的前n项和21()2nSnn，则na ．

２． 已知数列{}na的前n项和32nnS，则na

例1：（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=31（an-1） (nN)．

(Ⅰ)求a1；a2；

(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．

例2.数列{an}的前n项和 Sn=3·2n-3,求数列的通项公式.

练习1：设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.

练习2：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．

*(2004全国卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1．

（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（2006年湖北卷）已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上．

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式

题型3 已知数列递推公式求通项公式

注：1．证明数列na是等差或等比数列常用定义，即证明11nnnnaaaa (2)n或11nnnnaaaa(2)n而得．

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解．

数列求通项公式的常见题型与解题方法（3）

1. 已知数列{}na的首项11a，且13(2)nnaan，则na ．

2. 变式1：已知数列{}na的首项11a，且11(2)nnnaann，则na ．

3. 变式2：数列{}na中，112,32nnaaa，求{}na的通项公式．

题型五、递推公式为qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。待定系数法（构造法）通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如a1n=p an+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a1n+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=1pq，从而得等比数列{an+k}。再利用换元法转化为等比数列求解。

点评：求递推式形如1nnapaq（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法构造新数列an+1+1qp=p(an+1qp)来求得,这也是近年高考考得很多的一种题型．

4. （ 2006年重庆卷)已知数列na中，11a，321nnaa，求na.

5. 数列{an}满足a1=1，an=21a1n+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。 说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ an－2}，从而达到解决问题的目的。

6. 数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。

7. 数列na中前n项的和nnanS2，求数列的通项公式na.

题型六、可以一次变形后转化为差型，商型的

一．)(1nfpaann

8. 已知数列na满足11a，123nnnaa )2(n，求na．

点评：递推式为11nnnqpaa（p、q为常数）时，可同除1nq，得

111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而化归为qpaann1（p、q为常数）型．

数列解题方法

一、基础知识：

数列：

1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 ．

2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ．

3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，（…），简记作 {an} ．其中an是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．

4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ．

5．数列的分类：

①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；

②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他；

③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；

④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．

6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式an=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是

项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式数列 数列的定义

数列的有关概念

数列的通项

数列与函数的关系 项

项数

通项

等差数列 等差数列的定义

等差数列的通项

等差数列的性质

等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的定义

等比数列的通项

等比数列的性质

等比数列的前n项和 在形式上未必唯一．

7．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，…）间关系可以用一个公式 an=f（a1n）（n=2，3，…） （或