11.1统计与统计案例(学生版)

【课前测试】

1、某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．

2、某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．

3、随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.

非一线 一线 总计

愿生 45 20

65

不愿生 13 22 35

总计 58 42 100

由K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得K2＝100×（45×22－20×13）265×35×58×42≈9.616.

参照下表：

P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001

k0 3.841 6.635 10.823

正确的结论是( )

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”

D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

统计与统计案例

【知识梳理】

一、随机抽样

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

2.系统抽样

(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

①先将总体的N个个体编号；

②根据样本容量n，当Nn是整数时，取分段间隔k＝Nn；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

④按照一定的规则抽取样本．

(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．

二、用样本估计总体

1. 作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．

(2)决定组距与组数．

(3)将数据分组．

(4)列频率分布表．

(5)画频率分布直方图．

2．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫作茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

3．样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.

(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

(3)平均数：如果有n个数据x1，x2…，xn，那么这n个数的平均数x－＝x1＋x2＋…＋xnn.

(4)标准差、方差:

①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2].

②方差：标准差的平方s2

s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，x－是样本平均数．

三、变量间的相关关系与统计案例

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

2．两个变量的线性相关

回归

直线 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线

回归

方程 回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝i＝1nxiyi－nx－ y－i＝1nx2i－nx－2， a^＝y－－b^x－

最小

二乘法 通过求Q＝i＝1n yi－bxi－a2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法

相关

系数 当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性

相关

指数 R2＝1－∑ni＝1 （yi－y^i）2∑ni＝1 （yi－y－）2.其中∑ni＝1 (yi－y^i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.

3. 独立性检验

(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.

(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为 y1 y2 总计

x1 a b a＋b

x2 c d c＋d

总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

则随机变量K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.

【课堂讲解】

考点一 简单随机抽样

例1、(1)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是( )

A．这次抽样中可能采用的是简单随机抽样

B．这次抽样一定没有采用系统抽样

C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率

D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率

(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.

7816 6572 0802 6314 0762 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

变式训练：

1、下面的抽样方法是简单随机抽样的为________．

①在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖；

②某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格；

③某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见；

④用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验．

2、假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行).

考点二 系统抽样及其应用

例2、(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )

A.50 B.40 C.25 D.20

(2)将高一·九班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________.

变式训练：

1、从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．

2、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________.

考点三 分层抽样及其应用

例3、(1)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

(2)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．

变式训练：

1、某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人). 篮球组 书画组 乐器组

高一 45 30 a

高二 15 10 20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．

2、某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．

3、某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为( )

A．96 B．120

C．180 D．240

考点四 频率分布直方图

例4、某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是________．

变式训练：

为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是( )