2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷(文科)

第1页，共19页 2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<3}，集合𝐵={𝑥|−2<𝑥<2}，则𝐴∩𝐵=( )

A. (−2,2) B. (−1,2) C. (−2,3) D. (−1,3)

2. 已知i是虚数单位，则复数𝑧=1−2𝑖1+𝑖在复平面上所对应的点位于(

)

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

3.

在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为( )

A. 16 B. 13 C. 12 D. 23

4. 若x，𝑦∈𝑅，则𝑥2>𝑦2是𝑥𝑦>1成立的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知函数𝑓(𝑥)=1𝑎𝑥−𝑎𝑥(𝑎>1)，则不等式𝑓(2𝑥2)+𝑓(𝑥−1)>0的解集是( )

A. (−∞,−1)∪(12,+∞) B. (−∞,−12)∪(1,+∞)

C. (−12,1) D. (−1,12)

6. 已知向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ 满足|𝑎⃗ +𝑏⃗ |=|𝑎⃗ −2𝑏⃗ |，其中𝑏⃗ 是单位向量，则𝑎⃗ 在𝑏⃗ 方向上的投影是( )

A. 1 B. 34 C. 12 D. 14

7. 公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米( )

A. 10×810810−710斗 B. 10×89810−710斗 C. 10×88810−710斗 D. 70×89810−1斗

8. 在△𝐴𝐵𝐶中，若1𝑠𝑖𝑛𝐴+1𝑠𝑖𝑛𝐵=2(1𝑡𝑎𝑛𝐴+1𝑡𝑎𝑛𝐵)，则( )

A. C的最大值为𝜋3 B. C的最大值为2𝜋3

C. C的最小值为𝜋3 D. C的最小值为𝜋6

9. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为第2页，共19页 零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移𝑓𝑝=2𝑣𝑠𝑖𝑛𝜑𝜆，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，𝜆为激光波长，𝜑为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1550𝑛𝑚(1𝑛𝑚=10−9𝑚)，测得某时刻频移为9.030×109(1/ℎ)，则该时刻高铁的速度约等于( )

A. 320𝑘𝑚/ℎ B. 330𝑘𝑚/ℎ C. 340𝑘𝑚/ℎ D. 350𝑘𝑚/ℎ

10. 已知过抛物线𝑦2=4𝑥的焦点F的直线交抛物线于𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)两点，则|𝐴𝐹|+4|𝐵𝐹|的最小值为( )

A. 4 B. 8 C. 9 D. 12

11. 点P是正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的侧面𝐷𝐶𝐶1𝐷1内的一个动点，若△𝐴𝑃𝐷与△𝐵𝐶𝑃的面积之比等于2，则点P的轨迹是( )

A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

12. 若关于x的不等式(𝑎+2)𝑥≤𝑥2+𝑎𝑙𝑛𝑥在区间[1𝑒,𝑒](𝑒为自然对数的底数)上有实数解，则实数a的最大值是( )

A. −1 B. 1−2𝑒𝑒(𝑒+1) C. 𝑒(3−𝑒)𝑒−1 D. 𝑒(𝑒−2)𝑒−1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设函数𝑓(𝑥)={2𝑒𝑥,𝑥<𝑒𝑙𝑜𝑔2(𝑥2−5),𝑥≥𝑒(其中e为自然对数的底数)，则𝑓(𝑓(3))的值等于______．

14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：

年级

人数

性别 高一 高二 高三

男生 592 563 520

女生 528 517 a

按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中𝑎=______．

15. 已知数列{𝑎𝑛}中𝑎𝑛=𝑛，数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛=2𝑛−1.若数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛<𝑀对于∀𝑛∈𝑁∗都成立，则实数M的最小值等于______．

16. 已知长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱𝐴𝐴1=2，𝐴𝐷=3，点E，F分别为棱BC，𝐶𝐶1上的动点．若四面体𝐴1𝐵1𝐸𝐹的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是______.(写出所有正确命题的编号)

①存在点E，使得𝐸𝐹⊥𝐴1𝐹； 第3页，共19页 ②不存在点E，使得𝐵1𝐸⊥𝐴1𝐹；

③当点E为BC中点时，满足条件的点F有3个；

④当点F为𝐶𝐶1中点时，满足条件的点E有3个；

⑤四面体𝐴1𝐵1𝐸𝐹四个面所在平面，有4对相互垂直．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：

空气质量指数 (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,300] 300以上

空气质

量等级 一级

(优) 二级

(良) 三级

(轻度污染) 四级

(中度污染) 五级

(重度污染) 六级

(严重污染)

(1)在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；

(2)根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？

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18. 如图，边长为2的等边△𝐴𝐵𝐶所在平面与菱形𝐴1𝐴𝐶𝐶1所在平面互相垂直，且𝐵𝐶//𝐵1𝐶1，𝐵𝐶=2𝐵1𝐶1，𝐴1𝐶=√3𝐴𝐶1．

(1)求证：𝐴1𝐵1//平面ABC；

(2)求多面体𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积V．

19. 已知函数𝑓(𝑥)=√2sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的部分图象如图所示．

(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；

(2)将函数𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋4个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数𝑔(𝑥)的图象，求函数𝑔(𝑥)在区间[0,𝜋]上的值域．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是椭圆E：𝑥24+𝑦2=1上的动点，不经过点P的直线l交椭圆E于A，B两点．

(1)若直线l经过坐标原点，证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；

(2)若𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，证明：△𝐴𝐵𝑃三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥，𝑔(𝑥)=𝑎𝑥(𝑒为自然对数的底数)，其中𝑎∈𝑅．

(1)试讨论函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的单调性；

(2)当𝑎=2时，记函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)的图象分别为曲线𝐶1，𝐶2.在𝐶2上取点𝑃𝑛(𝑥𝑛,𝑦𝑛)作x轴的垂线交𝐶1于𝑄𝑛，再过点𝑄𝑛作y轴的垂线交𝐶2于𝑃𝑛+1(𝑥𝑛+1,𝑦𝑛+1)(𝑛∈𝑁∗)，且𝑥1=1．

①用𝑥𝑛表示𝑥𝑛+1；

②设数列{𝑥𝑛}和{𝑙𝑛𝑥𝑛}的前n项和分别为𝑆𝑛，𝑇𝑛，求证：𝑆𝑛−𝑇𝑛+1>𝑛𝑙𝑛2．

22. 在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为{𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡为参数，0≤𝛼<𝜋).以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E的极坐标方程为𝜌2+2𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−3=0，直线m与曲线E第6页，共19页 交于A，C两点．

(1)求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；

(2)过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−2|−|𝑥+1|的最小值为m．

(1)求m的值；

(2)若𝑎+𝑏+𝑐+𝑚=0，证明：𝑎2+𝑏2+𝑐2−2𝑏+4𝑐+2≥0．

第7页，共19页 答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<3}，集合𝐵={𝑥|−2<𝑥<2}，

∴𝐴∩𝐵={𝑥|−1<𝑥<2}=(−1,2)．

故选：B．

求出集合A，集合B，由此能求出𝐴∩𝐵．

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】C

【解析】解：∵𝑧=1−2𝑖1+𝑖=(1−2𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=−12−32𝑖，

∴𝑧在复平面上所对应的点的坐标为(−12,−32)，位于第三象限．

故选：C．

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.【答案】B

【解析】解：在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，

协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．每个小区安排1人，

基本事件总数𝑛=𝐴33=6，

每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数𝑚=𝐶21𝐶11𝐶11=2，

∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为𝑝=𝑚𝑛=26=13．

故选：B．

基本事件总数𝑛=𝐴33=6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数𝑚=𝐶21𝐶11𝐶11=2，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】B