高一数学必修一：集合的概念(学案)

集合的概念

一、课前导入

1.集合的故事：

一位鱼民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义。于是他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民。 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民洒下渔网一拉，许多鱼虾在网中跳动。数学家非常激动并告诉渔民：“这就是集合！”

2.说一说初中阶段遇到的集合：

二、新课讲授

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa；若b不是集合A的元素，记作Ab；

元素对于集合的隶属关系

1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa

2、集合元素性质

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

3、集合表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或

变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

4、韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法

注意：

何时用列举法？何时用描述法？

（1）集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法

如：集合},5,23,{2232yxxyxx

（2）集合的元素不能一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法

5、常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

6、集合的分类

1．有限集：含有有限个元素的集合

2．无限集：含有无限个元素的集合

3．空集：不含任何元素的集合，记为“”

三、典型例题

例1．下列各组对象中，不能组成集合的是

（ ）

A.所有的正三角形 B.<>课本中的所有习题

C.所有的数学难题 D.所有的无理数

例2、由实数x,－x,｜x｜,332,xx所组成的集合，最多含（ ）

（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素

例3、如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是

（ ）

A．0 B．0 或1 C．1

D．不能确定

例4、下面有四个命题：

（1）集合N中最小的数是1；

（2）若a不属于N，则a属于N；

（3）若,,NbNa则ba的最小值为2；

（4）xx212的解可表示为1,1；

其中正确命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例5、（1）已知A=22{2,(1),33}aaaa且1∈A，求实数a的值；

（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，2b}且M=N，求a，b的值.

例6、设集合P={1，a，b}，Q={1，a2，b2}，已知P=Q，求1+a2+b2的值.

例7、下列集合是无限集的是

（ ）

A.接近于1的实数组成的集合 B.全世界的人口组成的集合

C.{141.314.322xxx} D.40xx

例8、若}4,3,2,2{A，},|{2AttxxB，用列举法表示B＝ ___

例9、直线21yx上横坐标为2的点的集合是_______________________________.

例10、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 __________

例11、已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．

(1)若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

四、巩固练习

一、选择题

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；

③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；

⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有( )

A．2组 B．3组 C．4组 D．5组

2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，

N＝{小于1050的正整数}，

P＝{定圆C的内接三角形}，

Q＝{所有能被7整除的数}，

其中无限集是( )

A．M、N、P B．M、P、Q

C．N、P、Q D．M、N、Q

3．下列命题中正确的是( )

A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义

B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合

C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合

D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合

4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是( )

A．第一象限内的点 B．第三象限内的点

C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点

5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( )

A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋yM

6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( )

A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}

B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}

C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}

D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}

二、填空题

7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．

8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．

9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．

10．用符号∈或填空：

①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，2______R．

②21______R，5______Q，｜－3|______N＋，｜－3｜______Z．

11．若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．

12．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．

13．方程组321xzzyyx的解集为______．

14．已知集合P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示集合Q＝______．

15．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________．

②{2，3，4}___________________________________________________________．

③}75,64,53,42,31{______________________________________________________．

16．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝______．

五、小结

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

六、课后练习

一、选择题：

1.下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1：（2）若aN，则aN （3）244xx的解集为{2，2}；（4）0.7Q，其中不正确命题的个数为 （ ）

A. 0 B. 1 C.2 D.3

2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ）

A.3,2,2,3MN B.3,2,2,3MN

C.,1Mxyxy，1Nyxy D. 1,2,1.2MN

3.下列方程的实数解的集合为12,23的个数为 （ ）

（1）224941250xyxy;(2)2620xx;

(3) 221320xx;(4) 2620xx

A.1 B.2 C.3 D.4

4.集合2210,6100AxxxBxNxxx，450CxQx，2Dxx为小于的质数 ，其中时空集的有 （ ）

A. 1个B.2个 C.3个 D.4个

5. 下列关系中表述正确的是 （ ）

A.200x B.00,0 C. 0 D.0N

6. 下列表述正确的是（ ）

A.0 B.1,22,1 C. D.0N

7. 下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1：（2）方程31250xxx的解集含有3个元素；（3）0（4）满足1xx的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是 （ ）

A.0 B. 1 C. 2 D.3