复合函数求导法则的教学设计

高中数学复合函数求导教案

一、复合函数的定义

1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。

2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对

x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x))

是复合函数的输出。

二、复合函数的求导法则

1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：

dy/dx = dy/du * du/dx

2. 具体步骤：

a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/du

b. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dx

c. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx

三、实例演练

例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx

1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^2

2. 求内函数 u 的导数：du/dx = 2

3. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u

4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u

5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)

四、练习题

1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx

2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx

3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx

五、作业 1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程

2. 自行设计一个复合函数，并求其导数

3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义

六、总结

1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。

2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。

课时：2课时

教学对象：大学数学专业学生

教学目标：

1. 理解复合函数的概念及其求导方法。

2. 掌握复合函数求导的基本法则，包括链式法则、反函数求导法则等。

3. 能够运用复合函数求导法则解决实际问题。

教学重点：

1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导的基本法则。

教学难点：

1. 复合函数求导法则的应用。

2. 复合函数求导过程中中间变量的确定。

教学准备：

1. 教学课件

2. 例题和习题

教学过程：

第一课时

一、导入

1. 回顾一元函数求导的基本方法。

2. 引入复合函数的概念，说明复合函数求导的重要性。

二、讲解

1. 复合函数的概念：由两个或多个函数复合而成的函数称为复合函数。

2. 复合函数求导的基本法则： a. 链式法则：设函数f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x))，则y对x的导数为y' = f'(g(x)) g'(x)。

b. 反函数求导法则：设函数f(x)的反函数为g(y)，则g(y)对y的导数为g'(y)

= 1 / f'(x)。

三、例题讲解

1. 例1：求函数y = sin(2x)的导数。

解：y' = cos(2x) 2 = 2cos(2x)。

2. 例2：求函数y = ln(x^2)的导数。

解：y' = 1 / (x^2) 2x = 2/x。

四、课堂练习

1. 求函数y = e^sin(x)的导数。

2. 求函数y = ln(cos(x))的导数。

第二课时

一、复习上节课所学内容

1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导的基本法则。

二、讲解复合函数求导过程中中间变量的确定

1. 确定中间变量的方法：

a. 从内层函数开始，逐层向外层函数求解。

b. 观察复合函数的结构，找出中间变量。

三、例题讲解

1. 例1：求函数y = ln(2x+3)的导数。

解：y' = 1 / (2x+3) 2 = 2 / (2x+3)。

教 学 内 容 备 注

2.2.2 复合函数求导法

教学要求：

理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数

教学内容：

一、复习提问：

1、导数的基本公式 2、导数的四则运算法则

上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。

二、复合函数的求导法则

1、比如求函数xy2sin的导数。

错误解答：xy2cos

正确解答：xxxxxxy2cos2sincos2cossin22sin22

对比一下，答案错误的原因是把x2当成了自变量。

我们先把复合函数xy2sin进行分解为xuuy2,sin。xudxdududydxdyy2cos22cos

1、 求复合函数的导数可分两步：

第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。

第二步：逐一分步求导。

复合函数求导法则: 设函数()yfu在点u处可导，()ux在点x处可导，则复合函数[()]yfu在点x处可导，且有 ()()dyfuxdx 或 dydydudxdudx

证明 设变量x有改变量x，相应地，变量u有改变量u，从而y有改变量y. 由于u可导，所以

0lim0ux，

)(limlim00xuuyxyxx xuuyxu00limlim xuuy

即 xuxuyy.

现在利用复合函数求导法则求xy2sin的导数：uysin，xu2（中间变量为u,自变量为x），即

课时：2课时

教学目标：

1. 理解复合函数的概念和性质。

2. 掌握复合函数求导的基本方法，包括链式法则和换元法。

3. 能够熟练运用复合函数求导方法解决实际问题。

教学重点：

1. 复合函数求导的基本方法。

2. 链式法则和换元法的应用。

教学难点：

1. 链式法则和换元法的应用。

2. 复合函数求导的步骤。

教学准备：

1. 多媒体课件

2. 练习题

教学过程：

第一课时

一、导入

1. 复习一元函数的概念和性质。

2. 引入复合函数的概念，举例说明。

二、新授课

1. 复合函数的定义：由两个函数复合而成的函数称为复合函数。

2. 复合函数的性质：复合函数具有连续性、可导性等性质。

3. 复合函数求导的基本方法： a. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u)g'(x)。

b. 换元法：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(g(x))g'(x)。

三、例题讲解

1. 例1：求函数y=ln(x^2)的导数。

2. 例2：求函数y=sin(2x)的导数。

四、课堂练习

1. 练习1：求函数y=ln(x^2+1)的导数。

2. 练习2：求函数y=sin(x^2)的导数。

第二课时

一、复习

1. 回顾复合函数的定义和性质。

2. 回顾复合函数求导的基本方法。

二、例题讲解

1. 例3：求函数y=ln(e^x)的导数。

2. 例4：求函数y=sin(2ln(x))的导数。

三、课堂练习

1. 练习3：求函数y=ln(x^2-1)的导数。

2. 练习4：求函数y=sin(2x^2)的导数。

四、总结

1. 总结复合函数求导的基本方法。

2. 强调链式法则和换元法的应用。

五、布置作业

1. 完成课后练习题。 2. 复习本节课所学内容。

教学反思：

1. 本节课通过讲解和例题分析，使学生掌握了复合函数求导的基本方法。

2. 在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题。