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简单的复合函数求导法则教案

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§1.2.3简单的复合函数求导法则

【学习目标】

1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则；

2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。

【重点、难点】

重点：简单复合函数的求导法则；

难点：复合函数的导数。

一、复习引入：

1. 常见函数的导数公式：

0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos

2.法则1 )()()]()(['''xvxuxvxu．

法则2 [()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx, [()]'()CuxCux

法则3 '2''(0)uuvuvvvv

3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''

或f′x( (x))=f′(u) ′(x).

4.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求导吗？（1）2)32(xy （2）)2ln(xy （3）1005xey

二．新知探究

复合函数的导数求解法则：

复合函数))((xgfy的导数和函数)(ufy，)(xgu的导数间的关系为： xuxuyy'''

三．典例分析

例1：写出函数10)34(xy的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。

例2：求下列函数的导数

（1）)2ln(xy （2）1005xey （3）)4sin(xy （4）12xy

【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；

②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；

③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤． 学习好资料

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例3：已知函数2()(2)2xfxlnxa，a为常数。 (1)求(3)f的值；

（2）当3x时，曲线()yfx在点0(3)y，处的切线经过点(11)，，求a的值。

四．反思小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数，分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便，利用幂函数的求导公式

五．当堂检测

1. 下列函数求导数，正确的是 ② .

①xxee22 ； ②xxx2)3(837282； ③xx2ln2； ④xxaa222.

2. 设 xxf32ln，则31f＝ -3 .

3. 若221xy，则y 8x-4 ；12xe122xe.

4. 求下列函数的导数：

（1）3)31(xy （2）xey2 （3）xy1ln （4）y=2)13(1x

六．课后作业

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高中数学复合函数求导教案

高中数学复合函数求导教案

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一、复合函数的定义

1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。

2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对

x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x))

是复合函数的输出。

二、复合函数的求导法则

1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：

dy/dx = dy/du * du/dx

2. 具体步骤：

a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/du

b. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dx

c. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx

三、实例演练

例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx

1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^2

2. 求内函数 u 的导数：du/dx = 2

3. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u

4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u

5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)

四、练习题

1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx

2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx

3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx

五、作业 1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程

2. 自行设计一个复合函数，并求其导数

3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义

六、总结

1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。

2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。

最新整理高二数学教案高二数学2.5简单复合函数的求导法则教案.docx

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2.5简单复合函数的求导法则

教学过程：

（一）复习引入

1.几种常见函数的导数公式

(C)¢＝0(C为常数)．(xn)¢＝nxn－1(nÎQ)．(sinx)¢＝cosx．(cosx)¢＝－sinx．

2．和（或差）的导数(u±v)¢＝u¢±v¢．

3．积的导数(uv)¢＝u¢v＋uv¢．(Cu)¢＝Cu¢．

4．商的导数

（二）讲授新课

1．复合函数：

如y＝(3x－2)2由二次函数y＝u2和一次函数u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2＝(3x－2)2．

像y＝(3x－2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．

练习：指出下列函数是怎样复合而成的．

复合函数的导数

一般地，设函数u＝j(x)在点x处有导数ux＝j(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数yu＝f(u)，则复合函数y＝f(j(x))在点x处也有导数，且yx＝yu•ux．

或写作fx(j(x))＝f(u)j(x)．

复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．

例1求y＝(3x－2)2的导数．

解：y＝[(3x－2)2]＝(9x2－12x＋4)＝18x－12．法1

函数y＝(3x－2)2又可以看成由y＝u2，u＝3x－2复合而成，其中u称为中间变量．

由于yu＝2u，ux＝3，

因而yx＝yu•ux＝2u•3＝2u•3＝2(3x－2)•3＝18x－12．

法2yx＝yu•ux

例2求y＝(2x＋1)5的导数．

解：设y＝u5，u＝2x＋1，

则yx＝yu•ux＝(u5)u•(2x＋1)x＝5u4•2＝5(2x＋1)4•2＝10(2x＋1)4．

练习1.

求函数的导数.

例4.

解：设y＝u－4，u＝1－3x，则

yx＝yu•ux＝(u－4)u•(1－3x)x＝－4u－5•(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝

《简单复合函数求导法则》示范公开课教案【高中数学北师大】

《简单复合函数求导法则》示范公开课教案【高中数学北师大】

简单复合函数的求导法则

1．理解复合函数的概念，了解简单符合函数的求导法则

2．会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数

重点：简单复合函数的求导法则

难点：复合函数的导数应用

一、新课导入

复习：常见函数的导数公式

1. 𝐶′=________ (𝑥𝑛)′=________ (𝑠𝑖𝑛𝑥)′=________ (𝑐𝑜𝑠𝑥)′=________

2.[𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥)]′=________ [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]′=_________ [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]′=________

二、新知探究

问题：海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜油膜的面积

𝑆 (单位:𝑚2)与油膜的半径𝑟(单位:𝑚)的函数关系为𝑆=𝑓(𝑟)=𝜋𝑟2,油膜的半径𝑟随着时间𝑡

(单位:𝑠)的增加而扩大,设𝑟关于𝑡的函数解析式为𝑟=𝜑(𝑡)=2𝑡+1,油膜的面积𝑆关于时间𝑡的瞬时变化率是多少?

分析:由题意知,时间𝑡决定油膜的半径𝑟,进而决定油膜的面积𝑆,所以可得𝑆关于𝑡的函数解析式为𝑆=𝑓(𝜑(𝑡))=𝜋(2𝑡+1)2,油膜的面积𝑆关于时间𝑡的瞬时变化率就是函数𝑆=𝑓(𝜑(𝑡))的导数.因为𝑓(𝜑(𝑡))=𝜋(2𝑡+1)2=𝜋(4𝑡2+4𝑡+1) ,根据导数公式表和导数的四则运算法则,可得[𝑓(𝜑(𝑡))]′=𝜋(8𝑡+4)=4𝜋(2𝑡+1),所以油膜的面积𝑆关于时间𝑡的瞬时变化率为4𝜋(2𝑡+1).另外,𝑓′(𝑟)=2𝜋𝑟, 𝜑′(𝑡)=2我们可以观察到4𝜋(2𝑡+1)=2𝜋𝑟∙2即[𝑓(𝜑(𝑡))]′=𝑓′(𝑟)𝜑′(𝑡).

新知：

一般地,对于两个函数𝑦=𝑓(𝑢)和𝑢=𝜑(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏,如果给定𝑥的一个值,就得到了𝑢

2.3 教学设计—— 复合函数的求导法则

2.3 教学设计—— 复合函数的求导法则

单元教学设计

课题名称 学时数 课程类型

复合函数的求导法则 2 理论课

教学内容及学情分析 本节课主要学习复合函数的求导，以及在复合函数求导的基础上，学习隐函数的导数。复习复合函数的分解是掌握复合函数求导的基础。

教学目标 知识目标 1.掌握复合函数的求导法则；

2.通过显函数和隐函数的对比，掌握隐函数的概念和隐函数的求导法则；

3.掌握对数求导法。

能力目标 1.会求复合函数的导数；

2.会求隐函数的导数；

3.对于幂指函数，能利用对数求导法求导；

4.会求任意一个初等函数的导数。

素质目标 1.培养学生的数学文化素养；

2.让学生体会由简到难、逐层深入的数学思想；

3.提高学生的分析推理能力，培养学生严谨的学习态度。

教学过程

教学环节 时间分配 教学内容 教学活动 教学资源 覆盖目标

课程育人 10’ 融入数学文化的知识，查阅历史上的第三次数学危机，了解在解决问题的时候不能犯“自我指谓”的错误。 师生共同分享各自查阅的有关资料，并介绍罗素的“理发师悖论”帮助学生理解“自我指谓”的问题。 多媒体课件 素质目标1

导入新课 10’ 求复合函数xy2sin的导数 1.教师引导学生利用倍角公式转化问题；

2.学生动手练习，得到结果；

3.教师引导学生分析得到的结果所具有的特征。 板书 素质目标2 讲授新课 35’ 1.复合函数的求导法则

2.隐函数的概念

3.隐函数的求导法则

4.对数求导法

5.初等函数的导数 1.讲授复合函数的求导法则；

2.通过显函数和隐函数的对比讲解隐函数的概念和隐函数的求导法则；

3.讲解幂指函数的求导法——对数求导法；

4.形成初等函数的导数。 板书 知识目标1,2,3

学生互动 25’ 练习巩固 1.巩固理解复合函数和隐函数的求导法则；

2.学生以小组为单位完成练习，教师强调应该注意的地方。 黑板 能力目标1,2,3,4

素质目标3

课堂小结 5’ 1.本节课学习了复合函数和隐函数的求导法则以及对数求导法；