初三数学最大利润问题公式

22.3实际问题与二次函数（第2课时）

——销售中最大利润问题

【学习目标】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。

【学习重点】

让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。

【学习难点】

如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。

一、知识回顾：

函数y=6(x-2)2+5 中，x=________时，y的最

值是

二、合作交流，解读探究

探究２（课本50页）：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

[议一议]涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？

1、 在涨价的情况下，最大利润是多少？

想一想：若每件涨价x元，由此可知商品

①每件的利润为 元

②每星期的销售量为 件

③所获利润是 元

若设所获得利润为y元，则y与x的函数关系为：

④自变量x的取值范围是

⑤如何求最大值？（能否利用二次函数的图像求最大值？）

2、在降价的情况下，最大利润又是多少呢？

我们用类似的方法进行分析。

设每件降价m元，每件的利润为 元,每星期的销售量为

件,所获利润是 元。

设所获利润为s元，则s与m的函数关系为：

【归纳】利用二次函数求最大利润问题时，需注意一下几点：

① 分类讨论。（涨价与降价）

② 分清每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系。 ③ 自变量的取什范围的确定。保证实际问题有意义。

第5讲 二次函数的实际应用

【知识点睛】

❖ 利润最大化问题与二次函数模型

牢记两公式：①单位利润=售价-进价；

②总利润=单件利润×销量；

谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；

②总利润转化为售价的二次函数；

函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；

❖ 利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤

1. 设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入

2. 用含自变量的代数式表示销售商品成本

3. 用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式

4. 根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值

注意：

①与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；

②二次函数实际应用的问题，如果是分段函数，最后需要写成一个整体，后边分别写上对应的取值范围

【类题训练】

1．（2022•金安区校级开学）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）

A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2 C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2

【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．

【解答】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，

由题意可得：

y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，

故选：C．

2．（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）

A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）

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最大利润问题

知识点一：当自变量为全体实数时的二次函数的最值

对于二次函数acbxaxy20），当自变量x的取值范围是全体实数时，求它的最值，常用的方法有两种：①配方法：把acbxaxy(20）通过配方化成khxay2)(的形式，若a＞0，则当x＝h时，

y最小值＝k；若a＜0，则当x＝h时，y最大值＝k。

②公式法：2)2(abxayabac442，若a＞0，则当abx2时，abacy442最小值；

若a＜0，则当abx2时，244acbya最大值

例1求二次函数213212xxy的最小值，

解：解法1：（公式法）

,021a ∴当321232abx时，22114342244142acbya最小值

解法2：（配方法）

22(2121321xxxy]8)3[(21)1996(21)1622xxxx21(3)42x

当x＝ -3时，y有最小值﹣4。

解法3：（判别式法）

,213212xxy26(12)0xxy

∵x是任意实数，∴△＝36－4（1－2y）≥0，∴y≥﹣4，即y有最小值﹣4。此时0962xx，即x＝ -3

变式训练

1、求二次函数542xxy的最大值或最小值。

解：由a＝1 ＞0知，抛物线开口向上

∴当abx22124时，y有最小值，abacy442最小值201694

知识点二：当自变量在一定范围内时的二次函数的最值

对于二次函数acbxaxy(2)0，当自变量x在一定范围内取值时，求它的最值，通常要考虑函数的增减性，若自变量x的取值范围是1xx≤≤2x，则①若122bxxa≤≤，则当abx2时，244acbya最值

小升初数学：利润与折扣问题公式汇总+行程问题公式

反向行程问题可以分为“相遇问题”(二人从两地出发，相向而行)和“相离问题”(两人背向而行)两种。这两种题，都可用下面的公式解答：

(速度和)×相遇(离)时间=相遇(离)路程;

相遇(离)路程÷(速度和)=相遇(离)时间;

相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度和。

小升初数学：利润与折扣问题公式汇总

利润=售出价-成本

利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%

涨跌金额=本金×涨跌百分比

折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣〈1)

利息=本金×利率×时间

税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)