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中考数学之二次函数获取最大利润问题

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二次函数中如何确定销售价才能获取最大利润

在商品经济的时代，人们往往最关心的是如何以最少的投入，获得最大的经济效益。下面以二次函数为例说明如下：

一、直接确定销售价

例1 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌子的彩电每台降价100x（x为整数）元，每天可以多销售出3x台。（注：利润=销售价－进价）

（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；

（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？

分析：利润=销售价－进价是解答问题的关键。

解：（1）每台彩电的利润是(39001003000)x元，每天销售(63)x台，

则2(39001003000)(62)30021005400yxxxx

（2）2300(3.5)9075yx

300a＜0，又x为整数，

当3x或4时，9000y最大值

当3x时，彩电单价为3600元，每天销售15台，营业额为36001554000元，

当4x时，彩电单价为3500元，每天销售18台，营业额为35001863000元，

所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元，此时每台彩电的销售价是3500元时，能保证彩电的销售量和营业额较高。

点评：关注生活，关注社会是提高自身数学素养的一个基本的有效途径。

二、结合图象确定销售价

例2 某种日记本的专卖柜台，每天柜台的租金，人员工资等固定费用为160元，该日记本每本进价是4元，规定销售单价不得高于8元/本，也不得低于4元/本，调查发现日均销售量y（本）与销售单价x（元）的函数图象如图线段AB。

（1）求日均销售量y（本）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，日均获利最多，获得最多是多少元？

分析：根据题意，结合图象可以知道线段AB表示的是一次函数的图象，

因此，本题可以先构建一次函数模型再确定销售价，从而求出获取最大利润。

解：（1）由题意设日均销售量y与销售单价x的函数关系式为ykxb

则得：4240880.kbkb， 解得40400.kb，

40400yx（48x≤≤）

（2）设日均获利为A元，则

(40400)(4)160Axx240(7)200x

当7x时，A最大值为200

答：当销售单价为7元时，日均获利最多为200元．

点评：读懂题意，弄清图象的真实含义是解答本题的关键。

三、挑战自我

1、 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x＋240。设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：

（1）求y与x的关系式；

（2）当x取何值时，y的值最大？

（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？ y（日均销售量/本）

x O A

B

（例2题图） （销售单价4 8 80 240 2、 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少

参考答案：

1、解：⑴ y＝(x－50)∙ w＝(x－50) ∙ (－2x＋240)＝－2x2＋340x－12000，

∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000

⑵ y＝－2x2＋340x－12000＝－2 (x－85) 2＋2450，

∴当x＝85时，y的值最大

⑶ 当y＝2250时，可得方程 －2 (x－85 )2 ＋2450＝2250

解这个方程，得 x1＝75，x2＝95

根据题意，x2＝95不合题意应舍去．

∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元

2、（1）903(50)yx化简得：3240yx

（2）2(40)(3240)33609600wxxxx

（3）233609600wxx

0a，抛物线开口向下．

当602bxa时，w有最大值

又60x，w随x的增大而增大 当55x元时，w的最大值为1125元

当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润

(2015)(4535)(100)750(2015)(4535)(100)760aaaa≥≤

因此，不等式组的解集为4850a≤≤

根据题意，a的值应是整数，48a或49a或50a

该商场共有三种进货方案：

方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，

方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件，

方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件．

（3）根据题意，得

第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 2002010（件）

第二天只购买乙种商品有以下两种情况：

情况一：购买乙种商品打九折，32490458％（件）

情况二：购买乙种商品打八折，32480459％（件）

一共可购买甲、乙两种商品10818（件）

或10919（件）

答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．

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初中数学九年级《实际问题与二次函数：最大利润问题》公开课教学设计

初中数学九年级《实际问题与二次函数：最大利润问题》公开课教学设计

22.3实际问题与二次函数（第2课时）

——销售中最大利润问题

【学习目标】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。

【学习重点】

让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。

【学习难点】

如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。

一、知识回顾：

函数y=6(x-2)2+5 中，x=________时，y的最

值是

二、合作交流，解读探究

探究２（课本50页）：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

[议一议]涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？

1、 在涨价的情况下，最大利润是多少？

想一想：若每件涨价x元，由此可知商品

①每件的利润为 元

②每星期的销售量为 件

③所获利润是 元

若设所获得利润为y元，则y与x的函数关系为：

④自变量x的取值范围是

⑤如何求最大值？（能否利用二次函数的图像求最大值？）

2、在降价的情况下，最大利润又是多少呢？

我们用类似的方法进行分析。

设每件降价m元，每件的利润为 元,每星期的销售量为

件,所获利润是 元。

设所获利润为s元，则s与m的函数关系为：

【归纳】利用二次函数求最大利润问题时，需注意一下几点：

① 分类讨论。（涨价与降价）

② 分清每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系。 ③ 自变量的取什范围的确定。保证实际问题有意义。

二次函数的应用题利润最值问题

二次函数的应用题利润最值问题

二次函数的应用题利润最值问题

一、利润最值的含义

你知道吗？有时候做生意，就像放风筝一样，得掌握好风向。你抓得住风，风筝飞得高；抓不住风，风筝掉得快。所谓“利润最值”，就是让你的“风筝”飞得最高、最稳的那一刻。换句话说，我们做生意时，要想赚得最多，就得找出最佳的定价、最佳的生产量，这些都可以通过数学来解决，特别是二次函数。二次函数，是一种看似简单，实则能解决大问题的数学工具。它就像是你手中的指南针，指引你走向“最值”——最高利润或者最低成本的位置。你可能会觉得这些话有点“高大上”，不过其实它就是帮你找出一个最合适的“平衡点”，不至于赚得太少，也不至于因为一味追求过多而掉进“过度生产”的陷阱。

二、二次函数怎么帮助我们找利润最值

如果你一直想着如何让自己生意最大化，那你得学会从每一个细节入手。二次函数的应用就是一个很好的工具，它能帮助你通过一些数学方法，找到在什么情况下，利润会达到最大。比如，你正在做一个小吃摊，卖煎饼果子。你发现，如果煎饼卖得太贵，客人就不愿意买；但如果卖得太便宜，虽然客人多了，但每个单价低，利润也低，最后你忙活半天，挣的钱还不够请个帮手。怎么调价才能确保在大部分客人能接受的范围内，又能赚到最多的钱呢？这时候，你就得通过二次函数来计算利润的最大值了。其实就是通过一条抛物线，找到这个“最高点”，你既能吸引顾客，又能保证自己有足够的收益。

你看，二次函数的标准形式是：

f(x)=ax^2+bx+c

这里的a、b、c，都是影响利润的因素，比如生产成本、定价等等。而x代表的是你调整的变量，比如价格或者生产量。二次函数的图形是抛物线，最高点或者最低点，就是我们的利润最值。简而言之，就是在你调整这些参数时，找到那个“最佳点”，让利润最大化。

三、实例讲解：如何通过二次函数找出利润最大值

比如你做的是一个小小的工厂，生产某种玩具。你发现，当生产量达到100个时，利润就比较大。可是，生产得再多，就会增加成本，导致利润下降。如何计算出生产多少个最合适呢？这时候，你可以利用二次函数来帮助你找出答案。假设你根据市场调查，得出这个利润函数是：

九年级数学二次函数应用之最大利润问题

九年级数学二次函数应用之最大利润问题

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最大利润问题

知识点一：当自变量为全体实数时的二次函数的最值

对于二次函数acbxaxy20），当自变量x的取值范围是全体实数时，求它的最值，常用的方法有两种：①配方法：把acbxaxy(20）通过配方化成khxay2)(的形式，若a＞0，则当x＝h时，

y最小值＝k；若a＜0，则当x＝h时，y最大值＝k。

②公式法：2)2(abxayabac442，若a＞0，则当abx2时，abacy442最小值；

若a＜0，则当abx2时，244acbya最大值

例1 求二次函数213212xxy的最小值。

变式训练

1、求二次函数542xxy的最大值或最小值。

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知识点二：当自变量在一定范围内时的二次函数的最值

对于二次函数acbxaxy(2)0，当自变量x在一定范围内取值时，求它的最值，通常要考虑函数的增减性，若自变量x的取值范围是1xx≤≤2x，则①若122bxxa≤≤，则当abx2时，244acbya最值

②若abx2不在1xx≤≤2x范围内时，则要考虑函数在1xx≤≤2x范围内的增减性：

Ⅰ．如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，222yaxbx最大值＋c；当1xx时，;121cbxaxy最小值

Ⅱ．如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，121bxaxy最大值+c；当2xx时，222yaxbxc最小值

例2 分别在下列范围内求函数322xxy的最大值或最小值。(1)02x (2)23x≤≤

分析：先求出抛物线322xxy的顶点坐标，然后看横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况讨论确定最值；也可画出图象，利用图象求解。

点拨：求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数图象，借助于图象的直观性求解。

二次函数与实际问题之“商品最大利润”(学生版)20160809

二次函数与实际问题之“商品最大利润”(学生版)20160809

二次函数与实际问题之“商品最大利润”

【知识点】

1. 单件商品的利润=商品的售价—商品的进价

2. 单件利润销售量利润商品的总

3. 100%商品的进价商品的利润商品的利润率

4. 二次函数的最值

（1）顶点式：khxa2y )(kh，

（2）一般式：cbxax2y )442(-2abacab，

5. 注意：

（1）实际问题要考虑x的取值范围。

a.销售量不能小于零

b.销售单价不能小于进价

c.为方便计算，一般要求涨或降的金额为正整数。

（2）在实际问题中求最值，要注意二次函数的对称轴是否在x的取值范围内，如果是，那么实际问题的最值就是二次函数的最值，如果不是，那么实际问题的最值可能在取值范围端点处取得。

（3）如果实际问题x是整数，而二次函数对称轴不是整数，则要找一个离对称轴近的整数，再求最值。

【例题】

1. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（为方便计算，要求商品售价为整数）

【分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，要分情况一个一个分析】

（1）当商品涨价时，设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y。

a.销售量

因为每涨价1元，每星期要少卖出10件，所以涨x元时，每星期要少卖出x10件。

涨价前每星期可卖出300件，所以涨价后每星期可卖出）（x10-300件。

b.单件利润

因为原先的售价为每件60元，涨了x元，所以涨价后的单价是)(60x元

单价利润=涨价后单价-进价

=）（4060x元

=）（x20元

c.每星期售出商品的总利润y

因为每星期售出商品的总利润=单件利润销售量

所以)10300)(20(yxx

6000100-102xx