第3章 流体运动学2

1 第2章 流体运动的基本方程

流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。

2.1 连续方程

2.1.1 微分形式的连续方程

质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。

在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V，质量为M，则

VdVM

根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立

0VdVdtddtdM (2-1)

应用物质体积分的随体导数公式（1-15b），则

0dV)]v(divt[dV)vdivDtD(dVdtdVVV

因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有

0vdivDtD （2-2a）

或

0)v(divt （2-3a）

上式亦可以写成如下形式

0xuDtDii （2-2b）

或

0x)u(tii （2-3b） 2 式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。

在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为

0z)u(y)u(x)u(tzyx （2-4）

微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。

由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为

第三章 流体流动的基本概念和方程

引言： 流体流动的特点 1、 流体的变形运动 2、 描述流体运动的主要物理量 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力

学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系 l 3.1研究流体运动的两种方法

连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间

隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的

坐标和时间的连续函数

流场（ flow field ）：流体质点运动的全部空间。

流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（ Lagrange ）方法，

另一种是欧拉（ Euler ）方法。

一、拉格朗日方法

1、 分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。

2、 位置表示：

这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻 t ，任一流体质点的位

置可表为：

（ velocity ）和加速度（ acceleration ）为：

4、密度表示：

流体的密度（ density ）、压强（ pressure ）和温度（ temperature ) 写成 a 、 b 、 t

的函数，即 ρ= ρ ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t)

二、欧拉法

1、 分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研

究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化

规律。

2、 表示：流体质点的流动是空间点坐标（ x , y , z ）和时间 t 的函数，

流体质点的三个速度分量表示为：

流体质点密度表示：

（3——6） 式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 t 求导就可得流体质点沿

李玉柱流体力学课后题答案 第三章

第三章 流体运动学

3-1 已知某流体质点做匀速直线运动，开始时刻位于点A(3，2，1)，经过10秒钟后运动到点B(4，4，4)。试求该流体质点的轨迹方程。

tt3t解:

3-2 已知流体质点的轨迹方程为

试求点A(10，11，3)处的加速度α值。

解

:由

10，解得 15.2

把代入上式得

-3 已知不可压缩流体平面流动的流速场为，其中，流速、位置

坐标和时间单位分别为m/s、m和s。求当t,l s时点A(1，2)处液体质点的加速度。

解:根据加速度的定义可知:

当t,l s时点A(1，2) 处液体质点的加速度为:

于是，加速度a

加速度a与水平方向(即x方向)的夹角: 的大小:

-4 已知不可压缩流体平面流动的流速分量为。求(1) t,0时，过

(0，0)点的迹线方程;(2) t,1时，过(0，0)点的流线方程。

解:(1) 将带入迹线微分方程dt得 uv

t2

解这个微分方程得迹线的参数方程:

将时刻，点(0,0)代入可得积分常数:。

将代入得: t3

所以:，将时刻，点(0,0)代入可得积分常数:。 6

联立方程，消去

得迹线方程为:

(2) 将带入流线微分方程dxdy得

y2

t被看成常数，则积分上式得，c=0 2 y2

时过(0,0)点的流线为

3-5 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程(连续性方程的极坐标形式可参考题3—7)。

解:对于不可压缩均质流体，不可压缩流体的连续方程为。

直角坐标系中不可压缩流体的连续性方程为:。

，因，满足

，因，满足

，因，满足

，满足 ，因

，满足 ，因，满足 ，因

在圆柱坐标系中不可压缩流体的连续性方程为:。

，满足 ，因

，满足 ，因

，不满足 ，因，仅在y=0处满足 ，

因

其中，k、α和C均为常数，式(7)和(8)中

第3章 流体运动学

教学要点

一、 教学目的和任务

1、 本章目的

1） 使学生掌握研究流体运动的方法

2） 了解流体流动的基本概念

3） 通过分析得到理想流体运动的基本规律

4） 为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础

2、 本章任务

1） 了解描述流体运动的两种方法；

2） 理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平均流速等；

3） 掌握连续性方程及连续性微分方程、并能熟练应用于求解工程实际问题的应用

二、 重点、难点

重点：拉格朗日与欧拉方法，加速度公式，定常流动，流线，流量

难点：流线方程，输运公式的推导

教学方法

本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。

第5次课 年 月 日

章 题目 第3章 流体运动学 方式 课堂

模块 流体运动学模块 方法 重点内容学习法

单元 基本概念、连续性方程 手段 多媒体

基本要求 （1）了解描述流体运动的两种方法；（2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平均流速等；（3）掌握连续性方程

重点 基本概念、连续性方程 难点 连续性微分方程

内容拓展 应用Flash动画演示，使抽象概念直观、生动形象

参考教材 张也影，流体力学（第二版），高等教育出版社.1999.

徐文娟，工程流体力学，哈尔滨工程大学出版社，2002.

莫乃榕，《工程流体力学》，华中科技大学出版社，2000

禹华谦，工程流体力学，西南交通大学出版社，1999

作业 习题：3—1 思考题：3—1、3— 2、3—3

§3-1研究流体运动的两种方法

一、流体运动要素

表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、、和F等。