第二章 流体的运动

第二章 流体的运动

一、教学基本要求

1.掌握理想流体稳定流动的概念；掌握连续性方程及伯努利方程的物理意义并熟练应用；掌握泊肃叶定律的意义和应用。

2.理解粘性流体伯努利方程的物理意义、层流、湍流、雷诺数、斯托克司定律及应用。

3.了解牛顿粘滞定律；了解心脏作功、血流速度及血管中血压分布的物理基础；了解血液流变学的基础知识。

二、知识要点

本章主要研究流体运动的一般规律，重点讨论理想流体的稳定流动及粘性流体的稳定层流的特点及规律，同时介绍了血液在循环系统中的流动。同学们可以从流体模型的建立入手，在相关的物理基础知识和适当的高等数学知识的基础上，建立起完整的流体运动的知识体系。

1.理想流体的稳定流动

理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体称为理想流体。

流线：任一时刻，我们都可以在流场中划出一些曲线，曲线上每一点的切线方向与该时刻流经该点流体质点的速度方向一致，这些曲线称作这一时刻的流线。

稳定流动：若流体中流线上各点的流速都不随时间发生变化，则该流动称为稳定流动，即流体质点流经空间任一给定点时的速度不随时间变化的流动。

流管：在稳定流动的流体中任选截面，通过截面的周边各点作流线，由这些流线所围成的管状区域称为流管。

连续性方程：

2211vvSS

上式表明，当理想流体在同一流管中做稳定流动时，单位时间内流过任意两横截面的流体体积相同。此方程对于不可压缩、稳定流动的粘性流体同样适用，只是流速v必须是流管横截面上的平均流速。

流线的特点：流线不可能相交，也不可能突然转折；稳定流动时流体质点的流迹与流线相互重合；对同一流管来说，截面大处流速小，流线疏散；截面小处流速大，流线密集。 理想流体的伯努利方程

常量ghP221v

伯努利方程表明，理想流体在流管中作稳定流动时，单位体积流体的动能、势能和该处的压强之和为一常量，伯努利方程是理想流体作稳定流动时所遵从的基本方程。伯努利方程对稳定流动的理想流体中的任意一条流线也成立。

第二章 流体的运动

复杂的心脏流动模式可以利用速度场中假象粒子的轨迹直观地表示出来。此图使用时间分辨三维相差磁共振成像技术通过粒子轨迹直观地表示了流入左心室的血流

本章是用这些一般规律去研究适用于液体和气体流动的较为特殊的规律。液体和气体的各部分之间可以有相对运动，因而没有固定的形状。物体各部分之间可以有相对运动的特性，称为流动性。具有流动性的物体，称为流体。从具有流动性来看，液体和气体都是流体。

流体的运动规律在水利、电力、煤气和石油的输送等工程部门都有广泛的应用。在人体生命活动中，也起着十分重要的作用。

本章研究流体运动的方法，选用欧拉法，即通过确定流体质元每一时刻在空间各点的密度和速度来描述流体的运动。

实际流体是复杂的，具有可压缩性和粘滞性，研究流体的运动时，可分为理想流体和粘性流体。一般流体的运动也是复杂的，根据流体的运动状态可分为层流（即稳定流动）、湍流和过渡流。

实际流体及其运动都是复杂的。实际流体具有可压缩性和粘滞性；一般实际流体运动时，流速是空间点(位置)及时间的函数，即v = f ( x ,y,

z, t )。但在某些问题中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使问题简化。因此，提出流体的理想模型——绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体，称为理想流体。把在流体中，各点质元流速不随时间改变的流动称为稳定流动(或定常流动)。为了形象地描述流体的运动情况，引入流线和流管；为了便于描述流体在管道中运动，定义了横截面上的体积流量和平均速度等物理概念。经分析得出不可压缩的流体、稳定流动时的运动规律——连续性方程。

可压缩性：流体的体积（或密度）随压力的大小而变化的性质，称为流体的可压缩性。

压力增大时，流体的体积减小：压力减小时，流体的体积增大。液体的可压缩性很小；气体流动时，可压缩性可以忽略。

粘滞性：流体分层流动时，速度不同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力（即内摩擦力），流体的这种性质称为流体的粘滞性。流速大的一层给流速小的一层以拉力，流速小的一层给流速大的一层以阻力。

第二章 流体的运动

一、基本要求

1．掌握理想流体和稳定流动的概念，掌握连续性方程和伯努利方程的物理意义并熟练应用。

2．理解层流、湍流、雷诺数的的概念，理解牛顿粘滞定律、泊肃叶定律、斯托克斯定律及应用。

3．了解血液的流动。

二、本章提要

1．理想流体：绝对不可压缩、且完全没有内摩擦力的流体。

2．稳定流动：流场中各点的流速不随时间变化的流动。

3．连续性方程（质量守恒方程）： 常量2211vSvSQ

常量222111vSvSm

4．伯努利方程：（能量守恒方程）

常量222221112121vghpvghp

5．层流、湍流、雷诺数：

流体的分层流动称为层流。

流体不再保持分层流动，各层之间相互混合并出现漩涡的流动称为湍流。

vrRe 称为流体的雷诺数，是一个无量纲数。可以通过雷诺数判断粘性流体的运动状态：当1000eR时，流体作层流；1500eR时，流体作湍流；15001000eR时，流体处于过渡流动状态。

6．牛顿粘滞定律：dxdvSf

7．泊肃叶定律：LPRQ84

8．斯托克斯定律：vRf6

三、典型例题

例2-1 水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动（内摩擦忽略不计），截面1S处的压强为Pa105，流速为11.0sm，截面2S处的压强为Pa30，求2S处水的流速及水管两处的截面积之比。（水的的密度33100.1mkg）

解：设2S处水的流速为2v，根据在水平管中的伯努利方程 2222112121vPvP

)()(2212221vvPP

代入数据 )1.0(100.1)30105(22223v

得 124.0smv

由连续性方程 2211vSvS

1:41.04.01221vvSS

即截面1S处与截面2S处的截面积之比为4：1。

第二章 粘性流体运动的基本方程组

第一节 体积分的随体导数

本章及后续各章均采用欧拉方法描述流体运动，即将流动中的有关物理量表示为空间和时间的函数。可以直接采用欧拉观点建立方程，即在流场中取空间微控制体，在某瞬时对微控制体内的流体应用有关基本定律，建立相应的微分方程;也可采用拉格朗日观点建立方程，即对流动中有限体积内的流体应用有关基本定律，然后将有限体积内流体的质量、动量等的实体变化率（随体导数）用欧拉方法表示。本章采用后一种方法。

如图2-1所示，在运动的流体中，任意取一流体质点系，其体积为，边界面为A。这有限体积内流体的质量、动量、动量矩和能量可分别写为：

2,,,()2VdVdrVded

有限体积内单位体积的各物理量（密度）、V（动量）、rV（动量矩）和2(/2)eV（能量）可统一用其分布函数(,,,)xyzt表示。(,,,)xyzt可以是标量，也可以是矢量。于是，上述四个体积分可统一表示为：

(,,,)xyztd

图2-1 体积分的随体导数

在流体运动的过程中，由于采用了拉格朗日的观点，则可认为由有限体积组成的流体质点系与流体一道运动，其质量恒定不变，而其体积却不断地改变它的大小和形状。物理量(,,,)xyzt也随着流体的运动而变化。(,,,)xyzt的体积分随时间的实体变化率 (,,,)dxyztddt

称为体积分的随体导数。这是流动体积内某物理量随着流体质点的运动而产生的变化率，因而体积分的随体导数是从拉格朗日观点出发而建立的。下面将要把体积分的随体导数，分解为随时间和空间变化的两部分，从而转化为用欧拉方法描述流体运动。

设流体质点系在t时刻的流动体积为()t，边界面为A，A面上的流体质点，由于存在着速度的法向分量n，经过t时间，在法线方向移动了距离nt，因而在()tt时刻，组成了新的边界面'A，其所包围的体积为()tt，如图2-1所示。于是，根据定义，体积分的随体导数为：