《非线性科学选讲》教学大纲

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《非线性科学选讲》课程教学大纲

一、 课程基本信息

课程代码：

课程名称：非线性科学选讲之对称与复杂

Course Name：Symmetry and Complexity of Nonlinear Science

课程类别：公共选修课

学 时：16

学 分：1.0

适用对象：经管类和理工类

考核方式：考查

先修课程：微积分或高等数学

二、 课程简介

300年来，牛顿力学以其严格的方法、严密的数学工具、精确的计算结果，征服了科学界，被誉为近代科学的典范。但是随着科学的发展和对自然界认识的深入，人们发现了牛顿力学的局限性，于是相对论和量子力学应运而生，相对论的建立排除了绝对空间和时间的牛顿幻觉，而量子力学的建立则排除了对可控测量过程的牛顿迷梦。相对论和量子力学在两个方向上发展了牛顿力学，成为20世纪的两次科学革命。然而牛顿力学的绝对确定性和可逆性，注定它越来越难以解决自然界随处可见的随机性和不可逆性。因此以混沌为核心的非线性科学的问世，标示着科学的发展进入了一个新的时代。

非线性科学的基本概念、精神思想、研究方法已经渗透到了包括人文社会科学在内的几乎所有科学领域。本课程主要讲授非线性科学的魂与美：对称与复杂。无论对称是美、复杂是魂，还是对称是魂、复杂是美，对称与复杂都是驱动当今非线性科学的两大要素。线性科学已经成就了科学昨日的辉煌，非线性科学很可能造就科学明天的灿烂……

本课程所为本科生公共选修课程，以《微积分》或《高等数学》为先修课程，主要介绍线性思想、非线性思想、从线性科学到非线性科学的转化，以及早期文化、数学、生命科学、经济学、计算机科学、艺术领域中有趣的的对称与复杂性问题，主要内容包含了大量的图示和图片，向学生展现了非线性科学的魂与美。

For three hundred years, Newtonian mechanics have conquered scientific word

and was praised as model of modern science because of its rigid method, tight 2 mathematical means and exact compute results. But, along with scientific

development and thoroughgoing understanding of environment, peoples foudd the

limit of the Newtonian mechanics, thereupon, relativity theory and quantum

mechanics come into being. Establish of relativity theory removed Newtonian fancy

of the absolutely space and time, and establish of quantium mechanics removed

Newtonian pipe dream of controllable measurably processes. Relativity theory and

quantium mechanics developed the Newtonian mechanics in two orientations, and

becomed two scientific revolution at the 20th centenary. However, absolutely

definitiveness and reversibility, Newtonian mechanics was doomed to solve the

randomness and non-reversibility of the natural words more and more. Hence the

emergent of the nonlinear science that its kernel is chaos, mark science have going

into a new times.

Basic concept, rigour thought, research method of the nonlinear science have

permeated into all scientific flied including the humanistic social science. Symmetry

and complexity are the spirit and beauty of nonlinear science. No matter what

symmetry is beauty, complexity is spirit, and symmetry is spirit, complexity is beauty,

both symmetry and complexity are two essential factors of the nonlinear science.

Linear science have achieved the last scientific rightness, nonlinear science probably

bring up tomorrow magnificent ……

This course is an applicant elective course, its reparatory course is Calculus or

Higher Mathematics, it mainly introduce the linear idea, nonlinear idea, from linear

science to nonlinear, symmetry and complexity in early culture, in mathematics, in

life science, in economics, in computer science and arts. This course include a large

number pictures, let students understand the spirit and beauty of the nonlinear science.

三、 课程性质与教学目的

以混沌为核心的非线性科学的建立，排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想，它的精神将持久地影响整个科学进程，成为21世纪继相对论、量子力学之后的第三次革命。在所有这三次革命中，只有非线性科学涉及和人自身同一尺度的宏观对象，它使日常经验和真实的世界图景成为实际的研究目标。通过本课程的学习，使学生深刻认识线性分析的局限性，理解非线性现象的无处不在，理解确定性与随机性共存于一体的世界奇妙，使学生基本掌握非线性系统分析的基本概念和方法，能用所掌握的基本技能分析相关领域的非线性动力系统的稳定性，有助于培养学生的非线性思维，为培养学生分析、解决实际问题的能力，为从事各类工作，科学研究以及开拓新领域，打下坚实的基础。

四、 教学内容及要求

本大纲将基本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”，“了解”，“理解”三级区分，对运算、方法和技巧方面的知识，由低到高分别用“会或能”，“掌握”，“熟练掌握”三级区分。

第一章 线性科学到非线性科学的转变 3 (一)目的与要求

1. 理解线性关系和非线性关系的概念

2. 理解叠加原理

3. 了解线性化处理

4. 理解混沌现象以及意义

5. 理解分形现象，分形图的制作以及分形维数的计算

(二)教学内容

第一节 线性科学向非线性科学的转变

1. 线性关系和非线性关系的基本概念，非线性系统的例子

2. 处理线性问题的方法

3. 线性与非线性物理现象的本质区别

4. 我们生活在复杂的非线性世界

第二节 非线性现象——混沌

1. 差之毫厘，谬以千里

2. 混沌的特征

3. 我们生活在混沌的世界里

第三节 非线性现象——分形

1. 问题的提出：英国的海岸线有多长？

2. 分形——大小各异的孪生儿

3. 如何研究分形？

4. 分形作品欣赏.

(三)思考与实践

思考线性关系的本质是什么？如何对实际问题作线性化处理？并分析结果与实际情况的误差。思考非线性关系的本质是什么？并举例说明身边的非线性现象。非线性系统的几个核心现象是什么？又是如何刻画这几种常见现象？

(四)教学手段与方法

课堂讲授与多媒体教学相结合，引导学生讨论线性关系和非线性关系的本质区别，确定性与随机性共存于一体，运用经验与现象来理解非线性的核心指标。

第二章 从对称破缺看复杂系统的演化 4 (一) 目的与要求

1．理解对称性的定义

2. 理解对称破缺的定义

3、了解对称破缺与自然界的进化

(二) 教学内容

第1节 对称的定义源于生活

1、从实际例子中引入对称的定义

2、对称的基本概念

第2节 因果关系和对称性原理

1、对称性原理

2、对称性与守恒定律

第3节 对称性破缺

1、对称性破缺的概念

2、对称性的自发破缺

3、对称性破缺与自然界的进化

(三) 思考与实践

观察并讨论生活中的对称与复杂现象，思考对称与复杂的构成要素，结合所学专业知识思考对称破缺的现象。

（四）教学方法与手段

课堂讲授与多媒体教学相结合。

第三章 早期文化中的对称与复杂

(一) 目的与要求

1. 观察一些图像, 了解古代文化中的对称与复杂

2. 理解多样性的含义

3. 理解随机现象中的对称性

(二) 教学内容

第一节 文化与宇宙中的和谐

1. 宗教和神话里的世界地图

2. Navajo Indians 的对称沙像