完整版)十字相乘法因式分解练习题
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完整版)十字相乘法因式分解练习题
1、x^2+3x+2=0
2、x^2-7x+6=0
3、x^2-4x-21=0
4、x^2+2x-15=0
5、2x^4+6x^2+8=0
6、(a+b)-4(a+b)+3=0
7、x^2-11x+10=0
9、-3xy+2y^2=0
10、x^2+4x+3=0
11、y^2-7y+12=0
12、12q^2-6q+8=0
13、x^2-3x+2=0
14、m^2+7m-18=0
15、2p^2-5p-36=0
16、t^2-2t-8=0
18、a^2-22a+120=0
20、x^2+7ax-8=0
21、x^2+11xy+18y^2=0 22、-a^2+4a-4=0
23、3x^2+11x+10=0
24、2x^2-l=35=0
25、6x^2-7x-5=0
26、5x^2+6xy-8y^2=0
27、2x^2+15x+7=0
28、3a^2-7a-6=0
29、5x^2+7x-6=0
31、3a^2+7a-6=0
32、4x^2-6x+9=0
33、4n^2+4n-15=0
34、6l^2-4l-5=0
35、10x^2-21xy+2y^2=0
解一元二次方程时，可以采用直接开平方、因式分解、求根公式法或配方法。其中，直接开平方和因式分解法常用整体思想，求根公式法虽然万能，但不一定最简单，而配方法较为复杂，常用于证明一个式子大于或小于零。 一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程。一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）。
解一元二次方程有四种方法：
1）直接开平方法（适用于没有一次项的一元二次方程）
2）因式分解法：包括提取公因式法、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法（适用于左边能分解为两个一次式的积，右边是的方程）
3）公式法（适用于任何一个一元二次方程）
4）配方法（适用于二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程）
在解一元二次方程时，首先需要将其化为一般式，即ax^2+bx+c=0.然后求出判别式的值，判别式的值大于或等于零时才有实数解。最后，代入公式求值。
教学目标： 掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的特点，能够根据不同方程的特点选用恰当的方法，准确、快速地解一元二次方程。
重点：
会根据不同方程的特点选用恰当的方法，准确、快速地解一元二次方程。
难点：
通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的数学思想。
在解一元二次方程时，我们可以使用四种方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中直接开平方法和配方法是基础方法，公式法和因式分解法则是进阶方法。
直接开平方法是指将方程化为未知数的平方等于一个常数的形式，然后利用开平方根的定义进行开方。配方法是直接开方法的“升级版”，先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号的另一端，然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后进行开方。
公式法是“盗”用了配方法的结果，在应用公式法来解一元二次方程的过程中，应先将一元二次方程化为一般式，然后求出判别式的值，判别式的值大于或等于零时才有实数解。最后代入公式进行求值。
因式分解法的理论依据为：若A×B=0，则A＝0或B＝0.在使用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为乘积的形式，先找公因式，如果没有公因式，再使用完全平方公式、平方差公式或十字相乘法进行分解。
在解题时，我们需要注意不同方法的特点和适用范围，以及记忆各种方法的步骤和顺口溜，才能更加轻松地解决一元二次方程的问题。
首先分析四道例题的特点，让学生总结出每道题最适合使用的解法。然后让四名学生进行板书演示，其余同学分组完成，男生从前往后做，女生从后往前做。在黑板上的同学完成后，讲解、分析完成的情况。讲解时应注意强调解题的格式，特别是在第四题中，未知数为y，不要写成x。在第二题中，二次项系数为1，一次项系数较小，而常数项的绝对值较大，适合使用配方法完成，当然也可以使用公式法。没有完成的题目让学生下课完成。
五、完成课堂练
让学生根据自己的程度完成课堂练。程度较差的同学完成1-4题，程度中等的同学完成1-5（1）（2）（3）（4），程度较好的同学全部完成。让八名同学进行板书演示，每人一道解方程。学生完成演示后进行讲解，没做完的同学下课完成。
六、布置作业
布置配套练册中与解方程相关的题目。让学生复“一元二次方程的解法”，并完成课前练。在课前练中，让学生把方程（x+2）（x-3）=-5化为一般形式，求方程2x=8的根，求方程x-2x+1=4的根，求方程x-6x+1=0的根，以及用法解方程（x-2）=2x-4比较简便。让学生总结一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和分解因式法。
例题研究：
用适当的方法解下列方程：
1）2（x-5）-32=0 2）x+2x-399=0
3）5x（x-3）=2x-6
4）2y+4y=1
一、直接开平方法
让一名学生演示如何使用直接开平方法解课前练第二题。直接开平方法适用于把方程化为X2=a（a≥0）的形式。解方程时，一边整理成未知数的平方X2=a（a≥0）或含有未知数的一次代数式的平方的形式（mx+n）2=p（p≥0），另一边为常数，常数不能小于0.然后利用开平方根的定义进行开方，开方时，应注意X=±
a
不要丢掉正负号。为了方便学生记忆，总结了一个顺口溜：直接开方不万能，条件符合才能行，一边开方一边常，不要丢掉正负号。
二、配方法
让学生演示如何使用配方法解课前练第三题。配方法是直接开平方法的“升级版”。在使用配方法解方程时，首先要把二次项系数化为1，然后把常数项移到等号的另一端。接着，把一次项的系数除以2，再平方，加上一个恰当的常数，使等式两边相等。最后，把等式化为X2=a（a≥0）的形式，使用直接开平方法求解。
删除了一些段落，因为没有明确的内容或与主题无关。对每段话进行了小幅度的改写，使其更加清晰和易于理解。
2、将方程两边同时加上一次项系数的一半，再进行配方，最后开方。
为了帮助学生记忆，可以使用以下口诀：
一化二移三配方，同加一系半之方，最后开根号方可行。
3、公式法解一元二次方程需要先将其化为一般式，然后求出判别式的值。当判别式大于或等于零时，才有实数解。最后代入求解公式，需要记住公式和判别式的计算方法。
为了帮助学生记忆，可以使用以下口诀：
公式法虽万能，记准公式才能行，用时先化一般式，判别式要弄清。
4、因式分解法解一元二次方程需要将方程化为乘积的形式，找出公因式或使用完全平方公式、平方差公式或十字相乘法。记住若A×B=0，则A＝0或B＝0.
为了帮助学生记忆，可以使用以下口诀：
因式分解很简单，一端乘积一端零，用时先把因式找，再看公式通不通，这个方法不万能，用时看准才能行。
课堂练：
1、D、（x+3）（x-4）=0
2、C、3
3、B、x=3
4、B、（x+4）=9
5、
1）x=19/4
2）y=-5/13 or y=-2
3）x=28 or x=-32
4）x=2/5 or x=6/7
5）x=2 or x=3
6）x=-2 or x=10
7）x=-1/3 or x=2 8）x=9
一、关于$x$的方程$(m-1)x^2-2(m-3)x+m+2=0$有实数根，求$m$的取值范围。
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，有实数根的充要条件是$b^2-4ac\geq 0$。因此，对于给定的方程，我们有：
m-3)^2-(m-1)(m+2)\geq 0$$
化简得到$m^2-10m+13\leq 0$，解得$3\leq m\leq 7$。
二、用配方法证明，不论$x$取任何实数时，代数式$x^2-5x+7$的值总大于，再求出当$x$取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？
解：将$x^2-5x+7$写成完全平方的形式，即$x^2-2\cdot\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{2}\right)^2+7-\left(\frac{5}{2}\right)^2$。化简得到：
x^2-5x+7=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{3}{4}$$
由于平方项非负，因此$x^2-5x+7$的值总大于$\frac{3}{4}$。当$x=\frac{5}{2}$时，平方项为$0$，此时$x^2-5x+7=\frac{3}{4}$，是最小值。
三、用适当的方法解下列一元二次方程：
1、$2(2x+1)-2(5-x)=6$
解：化简得到$8x+12=6$，解得$x=-\frac{3}{4}$。
2、$(x-3)(x+2)=6$
解：展开得到$x^2-x-12=0$，解得$x=-3$或$x=4$。
3、$3x^2-7x+5=x$
解：移项化简得到$3x^2-8x+5=0$，解得$x=\frac{5}{3}$或$x=1$。
4、$4(x-3)+x(x-3)=0$
解：因式分解得到$(x-3)(x+4)=0$，解得$x=3$或$x=-4$。
5、$2x^2-5x-2=2(5x-1)-2$
解：移项化简得到$2x^2-10x+2=0$，解得$x=1+\sqrt{3}$或$x=1-\sqrt{3}$。
6、$x^2-7x-30=0$
解：因式分解得到$(x-10)(x+3)=0$，解得$x=10$或$x=-3$。
7、$2(x+1)-2(5-x)=5(x-1)$
解：化简得到$7x=17$，解得$x=\frac{17}{7}$。
8、$3x^2-6x+1=0$
解：用求根公式解得$x=\frac{1}{3}$。
