三角形角平分线五大模型

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等

中垂线（垂直平分线）：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

角平分线和中垂线是我们学过全等之后，非常重要的两个内容，因此很多全等三角形的问题，都需要

通过角平分线的性质和中垂线的性质进行切入来构造辅助线。

【精1】 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若

DE＝a

，则下列说法正确的个数有( )

①DC平分

BDE； ②BC

长为

(22)a；

③△BCD

是等腰三角形； ④△CED的周长等于BC的长．

A． 1个； B．2个； C．3个； D．4个

【精2】 如图，在△中，，平分交于，于交于，

∥交于，连接．求证：

CBA

ED

CBA

C'ED

CBA

ABC90BACBDABCACDAEBCEBDGFG

ACBCFDF

DFBC

G

FED

CBA全等三角形经典模型系列精讲—角平分线和中垂线

精选例题

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

【精3】 如图（1）所示，

OP是

MON的平行线，请你利用该图形画一对以

OP所在直线为对称轴的全等

三角形．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图（2），在

ABC中，

ACB是直角，

60B，

AD、

CE分别是

BAC、

BCA的平

分线，

AD、

CE相交于点

F． 请你判断并写出

FE与

FD之间的数量关系．

（2）如图（3），在

ABC中，如果

ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在

（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【精4】 在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．

（1）P

NM

O

（2）FE

D

CB

A

（3）FE

D

CB

A

ABCABACAD

BACPAD

ABACPBPC

CDBPA

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

【精5】 如图⑴，

ABAC，

全等三角形的基本模型

一、平移模型

常见的平移模型：

例1：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE

＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.

例2：如图，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.

二、轴对称模型

常见的轴对称类型：

例3：如图3－ZT－5，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )

A．AC＝BD

B．∠CAB＝∠DBA

C．∠C＝∠D

D．BC＝AD

例4：如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 ______ 对全等三角

形．

例5：如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：BE＝CD.

例6：如图3－ZT－8，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，

AE＝AF. 试证明下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.

三、旋转模型

常见的旋转模型

例7：如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角

边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.

两个特殊的旋转模型：

（一）绕点型：（手拉手模型）

（1）自旋转

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例7：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

1) △ABE≌△DBC

2) AE=DC

3) AE与DC的夹角为60。

4) △AGB≌△DFB

5) △EGB≌△CFB

6) BH平分∠AHC

7) GF∥AC

练习：

1. 如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

1) △ABE≌△DBC

2) AE=DC

3) AE与DC的夹角为60。

4) AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

H

FGED

ABC

E

BD

AC2. △ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O

1将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)

第一部分【知识点归纳】

【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段

两端点的距离相等；4.垂线段最短.

【基本模型】

【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；

图1

【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小

(同侧转化为异侧)；

图2

【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

图3

【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边

形PAQB的周长最小。

2图4

【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA

与点P到射线OM的距离之和最小。

图5

【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，

使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图6

【题型目录】

【题型1】两定一动型.......................................................3;

【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;

【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；

【题型4】两定两动型.......................................................12;

【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;

1NM

OA

BP第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA。模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例

22图4321ACPBDA

BC图1

A

BDC（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP平分∠BAC。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点

3ABDCP

PONM

BA P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。

模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。模型实例

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5图2DPABCDC1图PBA

ABCD

ABCD（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。

热搜精练1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC的长。

2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。 求证：BC=AB+CD。

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7EDCBA

PONM

BA

EDCBA

21EDCBA模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△AOB是等腰三角形。

模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 1.如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。