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二次函数综合题一(与等腰三角形、直角三角形相关的)

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1 二次函数综合题一（与等腰三角形、直角三角形相关的）

1、如图，已知抛物线223yxbxc与y轴交于点C，与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA=1，OC=2

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）点E是抛物线在第一象限内的一点，且tan1EOB，求点E的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得PBE为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

2 3.如图，已知二次函数2yxbxc的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（12，）。（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。

4．已知，抛物线2yaxbxc与x轴交于(1,0)A和(2,0)B两点，与y轴交于(0,2)C。

（1） 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点M的坐标；

（2） 求四边形ABMC的面积；

（3） 在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

xyOABCP3

5、如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

⑴求抛物线的函数表达式；⑵求直线BC的函数表达式；

⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ=34AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：点A坐标为 （ ， ） ；抛物线的解析式为

．

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？ B A O

C D 1 1

x=1 x y

第5题图 第5题图备用图 B A O

C D 1 1

x=1 x y 4 （3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

7、2014年济南如图1，抛物线2163xy平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积阴影S；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设tOM，试探求： ①t为何值时MAN为等腰三角形；

②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

A Ｂ

Ｃ

Ｄ ｘ y

O

第28题图P

A B

C M N

x y

O

第28题图

合集下载

二次函数综合题——等腰三角形

二次函数综合题——等腰三角形

二次函数综合题——等腰三角形

一．解答题（共30小题）

1．（2014?新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△AOB的面积；

（3）点Q在x轴上运动，求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．

2．（2014秋?怀宁县校级月考）如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

3．（2011?淮安）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；

（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2014?曲靖模拟）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．

（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．

（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

5．（2008秋?密云县期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（﹣2，﹣5），

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ABC是等腰三角形，求出点B的坐标．

6．（2008?海淀区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：

（1）求这个二次函数的解析式；

中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解3类：①因动点产生的等腰三

角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.

一、方法与技巧：已知线段AB和直线l，在直线l上找点P，使ABP△为等腰三角形．

lB

A

P

5P

4k

P

1P

2P

3AB

l知识互联网

思路导航二次函数与图形综

合

题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题

2

A

P

3P

4B

ll

P

2P

1B

A

lB

A几何法：①分别以点A、B为圆心，AB为半径作圆，找点

1P，

2P，

3P，

4P．（检验）

②作线段AB的垂直平分线k，找点

5P．（检验）

代数法：设点P的坐标为

mn，，求出AB、AP、BP的长度，分类讨论：

①ABAP；②ABBP；③APBP．求出点P

mn，．（检验）

二、方法与技巧：已知线段AB和直线l，在直线l上找点P，使ABP△为直角三角形．

几何法：①分别过点A、B作线段AB的垂线，找点

1P，

2P．（检验）

②以线段AB为直径作圆，利用直径所对的圆周角为90，找点

3P，

4P．（检验）

代数法：设点P的坐标为

mn，，求出AB、AP、BP的长度，分类讨论：

①222ABAPBP；②222APABBP；③222BPABAP.

求出点P

mn，．（检验）

三、方法与技巧：以点A、B、C为顶点的三角形和OPQ△相似．

根据“两组角对应相等，两三角形相似．”进行分类讨论：

①ABCOPQ△∽△，②ACBOPQ△∽△，

③BACOPQ△∽△，④BCAOPQ△∽△，

⑤CABOPQ△∽△，⑥CBAOPQ△∽△.（检验）

【例1】 已知二次函数23yxbx的图象与x

轴的一个交点为

40A，，与y

轴交于点B．

⑴ 求此二次函数关系式和点B的坐标；

⑵ 在x

轴的正半轴上是否存在点P．使得PAB△是以AB为底边的等腰三角形？若存在，

求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】⑴ 把点

二次函数与等腰三角形综合题

二次函数与等腰三角形综合题

1.(2009贵州)已知二次函数22aaxxy.

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为2133，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由

2.（2009年崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A (0，2)，点C (−1，0)，如图所示：抛物线22axaxy经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由

（2009年江苏）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D (3，0)和点E (0，4)．动点C从点M (5，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

（2）以点C为圆心、t21个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；

②是否存在t,使得△PAB为等腰三角形，若存在，求出t的值．

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-二次函数综合训练含答案

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1.如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 𝑨(𝟏,𝟎) 、 𝑩(𝟓,𝟎) 、 𝑪(𝟎,𝟒) 三点.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）𝑷 是抛物线对称轴上的一点，求满足 𝑷𝑨+𝑷𝑪 的值为最小的点 𝑷 坐标（请在图1中探索）；

（3）在第四象限的抛物线上是否存在点 𝑬 ，使四边形 𝑶𝑬𝑩𝑭 是以 𝑶𝑩 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点 𝑬 坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）

2.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.

（3）当PH＝2时，求点P的坐标.

4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线