五年级奥数题目-数的整除

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教学内容 数的整除性

教学目标 掌握数的整除性

重点 能被1-9整除的数的特征、数的整除性

难点 数的整除性

教

学

过

程 课堂精讲

数的整除的特征：

（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6） ①能被7（13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或13）的倍数，这个数就能被7（或13）整除。

②连续的6个数（如111111）能被7整除

③若一个整数的个位数字截去，余下的数减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，那么原数能被7整除

（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）是0或能被11整除，那么它必能被11整除。

数的整除性质主要有：

（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

例：12能被6整除，6能被3整除，那么12就能被3整除

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

2 例：24能被4整除，8能被4整除，那么24+8和24-8都能被4整除

（3）几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

整除(一):拆除数

关键词与关键策略:

一、整除的含义：如果一个整数a除以一个非零整数b的商是整数，且没有余数(或余数为零)，我们就叫做b能整除a, a能被b整除；a是b的倍数，b是a的约数。记作: b∣a

1、0是任何非零整数的倍数，但不是任何整数的约数；1是任何数的约数。

2、0是最小的自然数，但不是最小的一位数；最小的一位数是1。

二、整除的性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个数的乘积整除 ；反过来，一个数能被两个互质数的乘积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

三、特殊数整除的特征:

1、尾数判断法：

(1)能被2（或5）整除的数的特征:个位数字能被2、5整除。

看个位 2 (2:个位为偶数； 5:个位为0或5)

（2）能被4（或25）整除的数的特征: 末两位数字能被4、25整除。

看末两位4 25= 100 25: 未两位为00、25、50、75)

例：1864=1800+64,1800是4与25的倍数，64能被4整除，但是不能被25整除。

（3）能被8（或125）整除的数的特征: 末三位数字能被8、125整除。

看末三位8 125 = 1000

2、数字求和法：

能被3或9整除的数的特征: 各个数位数之和是3或9的倍数(弃三法或弃九法)。

例1：判断下面数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407

（1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？

（2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？ （3）哪些数能被3整除？

（4）哪些数能被9整除？

练习：（1）判断33333333468675能不能被125整除？

（2）1234567891011121314能不能被3和9整除？

例2、有一个四位数是45ab, 同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。

1 五年级奥数第一讲：整除初步

例题1，判断下面12个数的整除性。23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407，91301301。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3568、5880、198954、6512、864都是4的倍数，因为末尾2位数都是4的倍数。

（2）哪些数能被8整除？--末尾3位数。

分析：3568、5880、6512、864都是8的倍数，末尾三位数是8的倍数即可。

（3）哪些数能被25整除？---末尾2位数。

分析：8875、93625都是25的倍数，因为末尾2位数是25倍数。

（4）哪些数能被125整除？---末尾3位数。

分析：8875、93625，末尾三位数都是125的倍数。

（5）哪些数能被3整除？-----数字和是3的倍数。

分析：23487、6765、5880、198954、864、91301301都是3的倍数，因为数字和都是3的倍数。

（6）哪些数能被9整除？---数字和是9的倍数。

分析：198954、864，因为数字和是9的倍数。

（7）哪些数能被11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：6765、6512、407是11的倍数。

（8）哪些数能被13整除？-截位判别法。

分析：91301301，末尾三位数和末尾三位数之前的数的差是13的倍2 数。

练习1：在数列3124，312，3823，45235，5289，5588，661，7314中。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3124、312、5588的末尾两位数都是4的倍数，所以是4的倍数。

（2）哪些数能被3整除？---数字和。

分析：312、5289、7314都是3的倍数，因为数字和是3的倍数。

（3）哪些数能11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：3124、5588是11的倍数。

例题2，173（ ）是一个四位数，在括号内依次输入三个数字，分别得到三个四位数，依次分别能被9，11，8整除。问：

小学数学思维能力（奥数）《整除》练习题

1、三个数的和是555，这三个数分别能被3、5、7整除，而且商都相同，求这三个数及相同的商。

2、在1～13中任意取两个不同的数相乘，可以得到许多不相等的乘积，在所有这些不同的乘积中有多少个能被6整除？

3、小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辩认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元（□表示不明数字）。你能帮助小马虎找出不明数字吗？

4、小明买了六支铅笔、两支圆珠笔、三本笔记本和七块橡皮，总共用去二元九角钱。已知圆珠笔三角九分一支，橡皮六分一块，售货员算错帐了吗？

5、商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？

6、有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别为8、9、16、20、22和27千克。当天只卖出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。问：这天水果店进了多少千克香蕉？

7、减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多少？

8、55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，

丙最少但也多于10个。问：三人各得多少苹果？

9、四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别为172535、568741、 620708、

845267，结果只有一名同学做对了。问：正确答案是几？

10、五年级七个班都有同学参加了春游，一至七班参加的人数依次为4、6、7、8、9、12、17，其中有六个班的同学爬山和划船，爬山的人数是划船人数的4倍，另外一个班的同学去观赏植物。问：观赏植物的是哪个班？

11、证明：任意两个连续奇数的和一定是4的倍数。

12、证明：任意两个连续偶数的乘积是8的倍数。