数学中考第21题
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专题复习（21题）圆的计算与证明
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图形研究线段；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径、弓高(知二推二)；④构造勾股定理模型（已知线段长度）；⑤构造三角函数(已知有角度的情况）;○6找相似
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。
（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。
（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：
①CK=CD；BK=DE；CK=21BE=DC；AE+AB=2AD;
②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB
（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG=241DG=DC2
图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：
（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。 图2EGOFDCBAH图3ABCDFOGE图1EODCBA图1OEDCBAF图2ABCDEOF图3ABCDEOK图4ABCDEOG图5ABCDEO（2）①G是⊿BCD的内心；② ；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=21CE2；
（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二推二。
（4）如图（3），若①BC=CE，则：②ADAE=21=tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH
图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：（1）DE切⊙OE是BC的中点；
（2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,
BABCBDCDRDE
图形特殊化：在（1）的条件下
如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：
①31EFDE ;②21RBE
图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
基本结论有：
（1）DE⊥ACDE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；
②EF=EC；③D是 的中点。④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD，产生母子三角形。
图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：
（1）如图1：①AD+BC＝CD； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC＝AB412=R2；
（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.
图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。 OEABCDACDOEBFBDEOCAFEDCBOABFCG=GD图1OEDCBA图2FABCDEO图3GFABCDEO基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)；
（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一
（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：
（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；
③∠AIB=90°+21∠ACB;
（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.
图形8：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC
于E、F。基本结论有：
（1）CD=21BG；BE=EF=CE；GF=2DE
(反之，由CD=21BG或BE=EF可得：C是 中点)
（2）OE=21AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；②
补充（切割线定理、正弦定理、内切圆半径、弦切角，角平分线定理、中线定理）
QRPEOBAQRPEOBQRPEOBAQRPEOBHOGFEDCBABC=CG=AGBGBG图1EOIDCBAABCDIOE图2一、典例分析：
二、学生练习
1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：APAC3；
（2）如图②，若2524sinBPC，求PABtan的值．
2、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5
(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长
(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA得长
OP第22题图①CBA第22题图②OPCBA
