轴向拉压应力与材料的力学性能材料力学

2-4. 图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm，试求两杆内的应力。设两根横梁皆为刚体。

解：（1）以整体为研究对象，易见A处的水平约束反力为零；

（2）以AB为研究对象

由平衡方程知

0ABBRYX

（3）以杆BD为研究对象

由平衡方程求得 1

2 B A

1m 1m D C 10kN

B N2

N1 1m 1m D C 10kN B A XB

YB RA KNNNNYKNNNmC20010 01001101 021211

（4）杆内的应力为

MPaANMPaAN7.63204102012710410102322223111πσπσ

2-19. 在图示结构中，设AB和CD为刚杆，重量不计。铝杆EF的l1=1m，A1=500mm2，E1=70GPa 。钢杆AC的l2=，A2=300mm2，E2=200GPa。若载荷作用点G的垂直位移不得超过。试求P的数值。

解：（1）由平衡条件求出EF和AC杆的内力

PNNNPNNACEFAC4332 2112

（2）求G处的位移

22221111212243)ΔΔ23(21)ΔΔ(21Δ21ΔAElNAElNllllllACG

（3）由题意 2m

1m

G A B

CD E

F

P 钢杆 铝杆 kNPPPAEPlAEPlmmlG1125.2300102001500500107010009212143435.233222111

2-27. 在图示简单杆系中，设AB和AC分别是直径 为20mm和24mm的圆截面杆，E=200GPa，P=5kN，试求A点的垂直位移。

解：（1）以铰A为研究对象，计算杆AB和杆AC的受力

kNNkNNACAB66.3 48.4

（2）两杆的变形为

伸长mmπEAlNlABABABAB201.04201020045cos20001048.42303Δ

1 第二单元

第二章 杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能

§2-1 引言

工程实例: 连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩„„等等。

力学特征:

构件：直杆

外力：合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?)

内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N，它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。规定拉力为正，压力为负。

变形：轴向伸缩

§2-2 拉压杆的应力

一、拉压杆横截面上的应力(可演示，杆件受拉，上面所划的横线和纵线仍保持直线，仅距离改变，表明横截面仍保持为平面)

平面假设→应变均匀→应力均匀

AN或AP

(拉为正，压为负)

二、Saint-Venant原理(1797-1886，原理于1855年提出) 2 问题：杆端作用均布力，横截面应力均布。

杆端作用集中力，横截面应力均布吗? 如图, 随距离增大迅速趋于均匀。

局部力系的等效代换只影响局部。它已由大量试验和计算证实，但一百多年以来，无数数学力学家试图严格证明它，至今仍未成功。这是固体力学中一颗难以采撷的明珠。

三、拉压杆斜截面上的应力

(低碳钢拉伸，沿45°出现滑移线，为什么?)

0cosPAp

coscosAPp

2coscosp

22sinsinp

0max

452max

方位角：逆时针方向为正

剪应力：使研究对象有顺时针转动趋势为正。

例1和例2，看书p17,18

§2-3 材料拉伸时的力学性能

(构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且与材料的力学性能有关。拉伸试验是最基本、最常用的试验。)

3 一、拉伸试验

P18： 试样

拉伸图绘图系统放大变形传感器力传感器

第二章轴向拉(压)变形

[习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

（a）

解：（1）求指定截面上的轴力

FN

11

FFFN

2

22

（2）作轴力图

轴力图如图所示。

（b）

解：（1）求指定截面上的轴力

FN2

11



022

22

FFN

（2）作轴力图

FFFFN

22

33

轴力图如图所示。

（c）

解：（1）求指定截面上的轴力

FN2

11



FFFN

2

22

（2）作轴力图

FFFFN322

33



轴力图如图所示。

（d）

解：（1）求指定截面上的轴力

FN

11

FFa

aF

FFqaFN222

22



（2）作轴力图

中间段的轴力方程为：

x

aF

FxN)(]0,(ax

轴力图如图所示。[习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积

，试求各横截面上的应力。2

400mmA

解：（1）求指定截面上的轴力

kNN20

11



)(102010

22kNN



)(10201020

33kNN



（2）作轴力图

轴力图如图所示。

（3）计算各截面上的应力

MPa

mmN

AN

50

4001020

23

11

11





MPa

mmN

AN

25

4001010

23

22

22





MPa

mmN

AN

25

4001010

23

33

33





[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积

，，，并求各横截面上的应力。2

1200mmA2

2300mmA2

3400mmA

解：（1）求指定截面上的轴力

kNN20

11



)(102010

22kNN



)(10201020

33kNN



（2）作轴力图

轴力图如图所示。

（3）计算各截面上的应力

MPa

mmN

AN

100

2001020

23

111

11



第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能

2-1 试画图示各杆的轴力图。

题2-1图

解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1

2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。

题2-2图

(a)解：由图2-2a(1)可知，

qxqaxF2)(N

轴力图如图2-2a(2)所示，

qaF2max,N

图2-2a

(b)解：由图2-2b(2)可知，

qaFR

qaFxFR1N)(

22R2N2)()(qxqaaxqFxF

轴力图如图2-2b(2)所示，

qaFmaxN,

图2-2b 2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图

解：该拉杆横截面上的正应力为

100MPaPa1000.1m10500N10508263－AFσ

斜截面m-m的方位角，50α故有

MPa3.41)50(cosMPa100cos22ασσ

MPa2.49)100sin(MPa502sin2αστα

杆内的最大正应力与最大切应力分别为

MPa100maxσσ

MPa502maxστ

2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5

解：由题图可以近似确定所求各量。

220GPaPa102200.001Pa10220ΔΔ96εσE

MPa220pσ, MPa240sσ

MPa440bσ, %7.29δ

该材料属于塑性材料。 2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长 l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。