2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义课件新人教B版选修1_1

描述：

例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用

一、学习任务

1.

了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．

2.

了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）

值．

二、知识清单

导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值

利用导数求函数的最值

三、知识讲解

1.导数与函数的图象

（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，

切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于

且小于 ，函数曲线呈下降状态．

（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f′

x

0y=f(x)(,f()x

0x

0

90∘90∘

180∘

(a,b)(x)=0f′y=f(x)(a,b)

是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选

项中的（ ）

解：C

导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在

轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在

轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导

函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项． (x)f′

f(x)y=(x)f

′

f

(x)

x

xx∈(−∞,0)

xx∈(0,1)

x

描述：

例题：2.利用导数研究函数的单调性

一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间

内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果

，那么函数 在这个区间内单调递减．

注：在 内可导的函数 在 上递增（或递减）的充要条件是 （或

）， 恒成立，且 在 的任意子区间内都不恒等于 ．已知函数 的图象如图所示，则导函数 的图象可能是（ ）

描述：

例题：高中数学选修1-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章导数及其应用 3.3 导数的应用

一、学习任务

1. 能利用导数研究函数的单调性；会求一些函数的单调区间．

2. 掌握利用导数求函数的极值．

3. 掌握利用导数求连续函数在闭区间上的最值．

二、知识清单

利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值

三、知识讲解

1.利用导数研究函数的单调性

一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果

，那么函数 在这个区间内单调递减．

注：在 内可导的函数 在 上递增（或递减）的充要条件是 （或

）， 恒成立，且 在 的任意子区间内都不恒等于 ． (a,b) (x)>0f′ y=f(x)

(x)<0f′ y=f(x)

(a,b)f(x)(a,b)(x)⩾0f′

(x)⩽0f′

x∈(a,b)(x)f′(a,b)0

求下列函数的单调区间：

（1） ；（2）；

（3）．

解：（1）函数的定义域为 ．

令 ，解得

令 ，解得

所以 的单增区间为 ，；单减区间为 ．

（2） 的定义域为 ．f(x)=−3−9x+5x3

x2f(x)=x−lnx

f(x)=−+2x+11

3x3

x2

R

(x)=3−6x−9=3(x−3)(x+1),f′

x2

(x)>0f′

x<−1或x>3,

(x)<0f′

−1

f(x)(−∞,−1)(3,+∞)(−1,3)

f(x)(0,+∞)

(x)=1−=,f′1

xx−1

x

令 ，解得

令 ，解得

所以 的单增区间为 ，单减区间为 ．

（3） 的定义域为 ．

在 上恒成立，所以 在 上恒增．

(

x

)>0f′

x>1;

(x)<0f′

0

f(x)(1,+∞)(0,1)

f(x)R

(x)=−2x+2=(x−1+1,f′

x2)2

(x)>0f′Rf(x)R

若函数 在 内单调递减，求实数 的取值范围．

解：求导，得

因为 在 内单调递减，所以不等式 在 内恒成立，即

令 ，则

第三章 导数及其应用

本章概览

内容提要

1.导数概念及其几何意义

(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.

(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

2.导数的运算

(1)能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=x1,y=x等的导数.

(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数.

(3)会使用导数公式表.

3.导数在研究函数中的应用

(1)结合实例，借助几何直观探索了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.

(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

4.生活中的优化问题举例

例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.

学法指导

1.本章中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的.学习中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，使自己认识由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数.通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵.这样学习的目的是使自己直观理解导数的背景、思想和作用.

2.在学习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值.要认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述.

3.在解决具体问题的过程中，要对函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

精选中小学试题、试卷、教案资料

§3.1 导数的概念及运算

最新考纲1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

1．导数与导函数的概念

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx f′(x)＝cosx

f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx 精选中小学试题、试卷、教案资料

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axlna

f(x)＝lnx f′(x)＝1x

f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xlna

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；