高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件

第三章 导数及其应用

备课人 周志英

3.1 导数的概念

教学目的

1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

教学重点和难点

导数的概念是本节的重点和难点

教学过程

一、前置检测(导数定义的引入)

1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)

2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系105.69.42ttth，那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t时间段内的平均速度v，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1

格2 0t时，在2,2t这段时间内 0t时，在t2,2这段时间内

1.139.41.139.422222tttttthhv 1.139.41.139.422222ttttththv

当t0.01时，v13.051； 当t0.01时，v13.149；

当t0.001时，v13.095 1； 当t0.001时，v13.104 9；

当t0.000 1时，v13.099 51； 当t0.000 1时，v13.100 49；

第三章 导数及其应用

本章综述

微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一,它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本模块中,将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的基本概念与思想方法；通过应用导数研究函数的性质(特别是单调性)、极值、最值等性质中的作用,解决生活中的最优化问题,初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下良好基础.

另外,导数也是研究函数增减、变化快慢、最大、最小等问题的一般而有效的工具,因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率,以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的有力工具.微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有非常广泛而重要的应用.

通过该章的学习,将体会导数的思想及其丰富的内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值,体会微积分在人类文化发展中的意义和价值.在学习过程中，要注意从实际生活中的问题出发，把感性认识提高到理性认识；要注意数形结合；会对现实生活中的一些类似现象进行对比发现它们的异同点，搞清内在联系，发现规律；努力在知识的学习过程中培养自己分析解决问题的能力.

这一章的重点内容是导数的概念、几何意义；几种常见的基本函数的导数；导数的四则运算；利用导数研究函数的最值，从而去解决一些实际问题.

通过反复观察图形来认识和感受导数的意义，以及用导数的几何意义法解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用.研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性.在处理导数计算时，首先对几个常见的函数（如：y=c, y=x, y=x2,y=1x）用导数定义求出它们的导数，然后直接给出其他基本初等函数的导数和导数运算法则，学会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数，但要避免过量的形式化运算练习.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.

§3.1 导数的概念及运算

1．导数的概念

(1)定义

如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔyΔx就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ′0|xx，即f′(x0)＝0limx ΔyΔx＝0limx f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.

(2)导函数

当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim f（x＋Δx）－f（x）Δx.

(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法

①求函数的增量Δy＝ ；

②求平均变化率ΔyΔx＝ ；

③取极限，得导数f′(x0)＝0limxΔyΔx.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是

．相应的切线方程为 ．

3．基本初等函数的导数公式

(1)c′＝(c为常数)，

(xα)′＝(α∈Q*)；

(2)(sinx)′＝____________，

(cosx)′＝____________；

(3)(lnx)′＝____________，

(logax)′＝____________；

(4)(ex)′＝____________，

(ax)′＝____________.

4．导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.

选修1-1文数“§3.1.3导数的几何意义”教学设计

姓名高二数学备课组黄海明 学科 文科数学 年级 高二

教学课题 §3.1.3导数的几何意义 课型 新授课

一、

教

学

分

析 1、教材分析

导数的几何意义是高中数学新教材人教A版选修1-1第三章第1单元第3节内容。是在学生学习了平均变化率，导数的定义及其物理意义的背景下，对导数的几何意义进行探讨。教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，更有利于学生对知识的理解和掌握。通过本节的学习，可以帮助学生更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具。

2、学情分析

通过对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。选修1-1是文科学生学习的内容，学生的学习能力在年级里属中等程度。虽然学生学习兴趣较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足.根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重点、难点。

二、教

学

目

标 1、知识与技能：

理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法。

2、过程与方法：

①通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力。 ②通过问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观：

让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答。

三、

重点

难点

教学重点：掌握运用导数求过曲线上一点的切线。

教学难点：学生对曲线的切线的理解和运用。

五、

学 法与

教 法 学法：

(1) 自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与教学活动（如对导数几何意义的探讨）。