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全等三角形压轴题训练(含答案)

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《全等三角形》压轴题训练

⑴

1.如图，在 MBC中，AD _L BC,CE _L AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H ,EH、

=EB =3,AE =4,则 CH 的长是（）

_… 一 . .............. . ,1 ............... .. 〜一一一

AC, AB于点M , N ,再分别以M , N为圆心，大于-MN长为半径回弧，两弧交于点P ,

作射线AP交边BC于点D ,若CD =4, AB =25 ,则&ABD的面积为()

3 .如图，在 RtMBC 中，/C =90*AC =12, BC =6, 一条线段 PQ = AB,P,Q 两点分

4 .如图， AD// BC, AB_L BC, CD! DE CD ED AD 2, BC 3 则 AADE 的面积

5 .⑴观察推理：如图①，在AABC中，/ACB =90：AC=BC ,直线l过点C,点A, B在

直线l的同侧，BD _Ll,AE _Ll，垂足分别为D,E .求证：AAEC三ACDB.

(2)类比探究：如图②，在 Rt^ABC中，/ACB =90© AC =4 ,将斜边 AB绕点A逆时 A. 4 B. 5 C. 1 D. 2

2.如图，在 RtAABC 中，/C=90",以顶点

A. 15 B.30 C. 45 D. 60

别在线段 AC和以点A为端点且垂直于 AC的射线AX上运动，要使 AABC和AQPA全

等，则AP的长为 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边

n

第3题 n

第4题 针旋转90。至AB',连接BC ,求AABC的面积.

(3)拓展提升：如图③，在AEBC中，/E =/ECB =601 EC =BC =3,点O在BC上,

且OC =2 ,动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接 OP ,将线 段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上，求点P运

动的时间t.

6 .【初步探索】

(1)如图①，在四边形 ABCD 中，AB =AD,/B=/ADC =90，E,F 分别是 BC,CD

上的点，且EF =BE + FD.探究图中/BAE,/FAD,/EAF之间的数量关系.小王同学

探究此问题的方法：延长FD到点G ,使DG = BE .连接AG.先证明AABE三AADG , 再证

MEFmMGF ,可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形 ABCD中，AB =AD,/B+/D =180©. E,F分别是BC,CD上

的点，且EF =BE+FD ,上述结论是否仍然成立 ？请说明理由.

【延伸拓展】

(3)如图③，在四边形 ABCD中，/ABC+/ADC =180：AB = AD .若点E在CB的延

长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF =BE + FD ,请写出/EAF与/DAB的 数量关系，并给出证明过程 .

(2)

1 .如图，在AABC中，AB =12, BC =8,BD是AC边上的中线，则BD的取值范围是()

3 :二 BD <10

4 ：二 BD :二 20

2 .如图，在锐角三角形 ABC中，AH是BC边上的高，分别以 AB, AC为一边，向外作正

方形ABDE和ACFG ,连接CE, BG和EG, EG与HA的延长线交于点 M ,下列结论：

①BG=CE;②BG_LCE ;③AM是AAEG的中线；@NEAM =/ABC.其中正确结 论的个数是（）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3 .如图，AB〃CD,O是NACD和/BAC的平分线的交点，且 OE_LAC,垂足为E,

. 一. _ _ ____ _ . 1

4 .如图，在 AABC 中，/C =90：/BAC =45）点 M 在线段 AB 上，/GMB=1/A,

2

BG -LMG ,垂足为G,MG与BC相交于点H .若MH = 8 cm ,则BG = cm. 5 .如图，在AABC中AB =AC =10cm, BC =8 cm, D为AB的中点，点P在线段BC上

以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点 Q在线段CA上由点C向点A以acm/s

的速度运动.设运动的时间为ts.

(1)求CP的长;(用含t的代数式表示)

(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以 B,D,P为顶点的三角形全等，且 NB和/C是对应

角，求a的值. OE=2. 5 cm ,则AB与CD间的距离为 cm. 第1题 第2题

第3题 第5题

6 .【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法 (即“SAS' "ASA' "AA6 "SS6 )和直角三角形全等的判定 方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情 形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示 ：在AABC和ADEF中， AC = DF ,BC = EF ,

/B =NE ,然后对BB进行分类，可以分为“ /B是直角、钝角、锐角”三种情况进行 探究.

【深入探究】

第一种情况：当/B为直角时，AABC三ADEF .

(1)如图①，在 AABC 和 ADEF 中 AC = DF , BC = EF , NB=NE=90°,根据,

可以知道Rt ABC -Rt DEF .

第二种情况：当/B为钝角时， MBC三ADEF .

(2)如图②，在 AABC和ADEF中AC = DF , BC = EF ,2B =2E ,且NB/E都是

钝角.求证：MBC三ADEF .

第三种情况：当/B为锐角时，AABC和ADEF不一定全等.

(3)在 4ABC 和 ADEF 中，AC = DF ,BC = EF , /B =/E ,且/B,/E 都是锐角，请

你用尺规在图③中作出 ADEF ,使ADEF和AABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

⑷ 2B还要满足什A C= D,F BC E壬 =B/” E /B/E都是锐角.

参考答案(1)

1.C 2. B

3.6 或 12 4. 1 5.(1) Q BD _l,AE _l

. BDC = . AEC =90

••• RtAAEC中/EAC十/ACE=90◎ NACB=90*, /ECD =180。

. DCB . ACE =90 . EAC =/DCB

在AAEC和ACDB中

.AEC =/CDB

I

上EAC "DCB

AC =CB

. ：AEC 三：CDB

(2)如图①，作 B'D_LAC 于点 D,则』ADB' = NBCA=90'

•••斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB',

•.AB'=AB, ZB'AB =90°

即 B'AC . BAC =90

•在 AACB 中，NB 十NCAB=90口

. B -/B'AC

在 AB'AD 和 AABC 中，

ADB ' =/BCA

I

KB'AD =/B

AB' =BA

.・BAD = . ABC

B'D = AC =4

- 1 1 _

SAB,C =5 AC B'D =5 4 4=8

(3)如图②根据题意，画出图形 .

. BC =3,OC =2

OB -BC -OC -1

•••线段OP绕点O逆时针旋转120。得到线段OF .

・ ./FOP =120*, OP=OF

12 =60

.在 &BCE 中，/E=/ECB = 60’ OBF = PCO =120

• ・在 APCO 中，N2 +/3 = 60中

. ・1=3

在ABOF和ACPO中

OBF = PCO

. 1

OF -PO

BOF 三 CPO

PC =OB =1

• . EP =EC PC = 3 1 = 4

4 • ••点P运动的时间t =； =4(s)

① ②

第5题

6.(1) . BAE . FAD = . EAF

(2)成立.

理由：延长FD倒点G ,使得DG =BE ,连接 AG

. ZADG +ZADC =180% ZB+ZADC =180°

ADG =/B

在MBE和AADG中

AB =AD

I

-；ZB =/ADG

BE =DG

. ABE 三 ADG

，/BAE=/DAG, AE=AG

EF =BE FD

EF = DG FD =GF

在MEF和MGF中

AE = AG

I

«AF =AF

EF =GF

••• AEF 三 AGF

，EAF u/GAF

••• . GAF =/FAD DAG =/FAD . BAE

，BAE FAD = EAF

_ _ 1 _ _

(3) . EAF =180 DAB.

2

证明：在DC的延长线上取一点 G ,使得DG =BE ,连接AG

• /ABC 十/ADC =1801 NABC+/ABE=180"

••• ADC "ABE

在MDG和MBE中

AD 二 AB ：/ADG =/ABE

DG =BE

. . ADG 三 ABE

AG =AE , /DAG =/BAE

. EF =BE FD

EF = DG FD

. GF = DG FD

EF =GF

在AAEF和MGF中

EF =GF I

，AE =AG

AF =AF J

. AEF 三. AGF

. EAF =. GAF

EAF GAF GAE =360

・•. 2 EAF (. GAB . BAE) =360

••• 2 EAF (. GAB . DAG) =360

即 2 EAF DAB -360

一一 I--

EAF -180 DAB 2

(2)

1.C 2.A

3.5 4. 4

5.(1)由题意，得 BP=3tcm^ BC=8cm.

CP =BC - BP =(8 -3t)cm.

(2)分两种情况讨论：①当BD = CP时，ABDP三ACPQ

AB=10cm, D 为 AB 的中点

1 -

…BD AB = 5 cm. 2

5 =8 -3t

解得t =1

.BDP 三 CPQ

BP =CQ

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初中数学《全等三角形中辅助线的添法》压轴题及答案

初中数学《全等三角形中辅助线的添法》压轴题及答案

1全等三角形中辅助线的添法(三大模型)

【模型一：倍长中线模型】

1.(23-24八年级上·江苏·期末)如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D．

(1)如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD．

(2)如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．

(3)如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．

2.(23-24八年级上·广西北海·期末)八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，

得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法思考作答：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB

的理由是；

2A.SSS B.SAS C.AAS D.HL

(2)求得AD的取值范围是；

A.5

C.2

(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解

答．

如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分

∠BAC．

3.(23-24八年级上·安徽安庆·期末)(1)如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，

求AD的取值范围；

(2)如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，

判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是

∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

4.(23-24八年级上·江苏南通·期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若

第1章《全等三角形》压轴题训练(含答案)

第1章《全等三角形》压轴题训练(含答案)

第1章《全等三角形》压轴题训练

(1)

1.如图，在ABC中，,ADBCCEAB,垂足分别为,,,DEADCE交于点,HEH、3,4EBAE，则CH的长是( )

A. 4 B. 5 C. 1

D. 2

2.如图，在RtABC中，90C，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边,ACAB

于点,MN，再分别以,MN为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若4,25CDAB，则ABD的面积为( )

A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

3.如图，在RtABC中，90,12,6CACBC，一条线段,,PQABPQ两点分别在线段AC和以点A为端点且垂直于AC的射线AX上运动，要使ABC和QPA全等，则AP的长为 .

4.如图，//,,,,2,3ADBCABBCCDDECDEDADBC，则ADE的面积为 .

5. (1)观察推理:如图①，在ABC中，90,ACBACBC,直线l过点C，点,AB在直线l的同侧，,BDlAEl，垂足分别为,DE.求证:AECCDB.

(2)类比探究:如图②，在RtABC中，90,4ACBAC，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB，连接BC，求ABC的面积.

(3)拓展提升:如图③，在EBC中，60,3EECBECBC，点O在BC上，且2OC，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t.

八年级上册数学全等三角形压轴题

八年级上册数学全等三角形压轴题

八年级上册数学全等三角形压轴题

一、如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。

解：∵△ABC≌△AED

∴∠D=∠B=50°∵∠ACB=105°∴∠ACE=75°∵∠CAD=10° ∠ACE=75°∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°

二、如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？

解：∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，∴∠B′=∠B=30°，∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，∴∠BOB′=52°，∵∠A′CO是△B′OC的外角，∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．

三、如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？

解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，=180°-90°-60°=30°．

四、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A等于多少？

解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°；故答案为：55°．

五、已知，如图所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD是多少？

全等三角形的判定压轴题附答案

全等三角形的判定压轴题附答案

全等三角形压轴题

一．选择题（共9小题）

1．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）

A． △AOB≌△BOC B． △BOC≌△EOD C． △AOD≌△EOD D． △AOD≌△BOC

第1题 第2题 第3题

2．（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）

A． AB=AC B． ∠BAC=90° C． BD=AC D． ∠B=45°

3．（2011•南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（ ）

A． BD=DC，AB=AC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC C． ∠B=∠C，BAD=∠CAD D． ∠B=∠C，BD=DC

4．（2011•梧州）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）

A． △ACE≌△BCD B． △BGC≌△AFC C． △DCG≌△ECF D． △ADB≌△CEA

第4题 第5题 第6题

5．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：

①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．

其中结论正确的是（ ）

A． 只有①② B． 只有①②④ C． 只有③④ D． ①②③④

6．（2008•沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（ ）