内蒙古乌兰察布市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
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内蒙古乌兰察布市2016-2017学年高二下学期期中
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设函数y=f（x）可导，则等于（ ）
A．f'（1） B．3f'（1） C．D．以上都不对
2．椭圆的焦距等于2，则m的值为（ ）
A．5或3 B．5 C．8 D．16
3．经过点M（3，﹣1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．y2﹣x2=8 B．x2﹣y2=±8 C．x2﹣y2=4 D．x2﹣y2=8
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．双曲线的渐进线为y=±x，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．或 C．2 D．或
6．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2
7．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围（ ）
A．k＞10 B．k＜4 C．4＜k＜7 D．7＜k＜10
8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则P的坐标是（ ）
A．（±4，2） B．（2，±4） C． D．
10．若抛物线y2=﹣16x上一点P到x轴的距离为12，则该点到焦点的距离为（ ）
A．5 B．8 C．﹣5 D．13
11．函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞） D．（﹣3，1）
12．已知双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，则实数k的值是（ ）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在△ABC中，已知=（2，4，0），=（﹣1，3，0），则∠ABC=______．
14．与椭圆=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的方程______．
15．抛物线y2=2x与直线l相交于A，B两点，且，则直线恒过定点______．
16．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围是______．
三、解答题（17小题10分，18-22每题12分，共70分）
17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．
18．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面体PEFC的体积．
19．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|=p，求AB所在的直线方程．
20．已知双曲线=1，P为双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．
21．已知椭圆+=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
22．已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．
内蒙古乌兰察布市2016-2017学年高二下学期期中试卷
（理科数学）参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设函数y=f（x）可导，则等于（ ）
A．f'（1） B．3f'（1） C．D．以上都不对
【考点】极限及其运算．
【分析】先有极限的运算性质变形得=，再由导数定义得到结果对比四个选项找出正确答案
【解答】解：由题意函数y=f（x）可导
∴==
故选C
2．椭圆的焦距等于2，则m的值为（ ）
A．5或3 B．5 C．8 D．16
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．
【解答】解：由题意可得：c=1．
①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．
②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m﹣1，解得m=3．
则m的值为：3或5．
故选A．
3．经过点M（3，﹣1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．y2﹣x2=8 B．x2﹣y2=±8 C．x2﹣y2=4 D．x2﹣y2=8
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入M的坐标，可得双曲线的方程．
【解答】解：设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），
将点M（3，﹣l），代入可得9﹣1=λ，
∴λ=8，
∴方程为x2﹣y2=8，
故选：D．
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：由可知a=4，b=3，c=5，
∴其中一个焦点为（5，0），
一条渐近线方程为，
所以．
故选B．
5．双曲线的渐进线为y=±x，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．或 C．2 D．或
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】双曲线的渐近线为y=±x，可得=或，利用e==，可求双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，
∴=或，
∴e===或．
故选：B．
6．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2
【考点】导数的运算．
【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．
【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），
得：f′（x）=2x+2f′（1），
取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），
所以，f′（1）=﹣2．
所以f′（x）=2x﹣4
故f′（0）=2f′（1）=﹣4，
故选：C．
7．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围（ ）
A．k＞10 B．k＜4 C．4＜k＜7 D．7＜k＜10
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】方程，化为： +=1，根据表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程即可得出关系式，解出即可得出．
【解答】解：方程，化为： +=1，
由于表示焦点在x轴上的椭圆，∴k﹣4＞10﹣k＞0，
解得7＜k＜10，
则实数k的取值范围是7＜k＜10，
故选：D．
8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的应用；数列的应用．
【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．
【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
则2a+2c=2×2b，
即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，
整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），
故选B．
9．抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则P的坐标是（ ）
A．（±4，2） B．（2，±4） C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义与等腰三角形的性质即可求得P的坐标．
【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x，
∴其焦点F（2，0），其准线方程为：x=﹣2；
设点P（x0，y0）在它准线上的射影为P′，
由抛物线的定义知，|PP′|=|PF|，
∵|PP′|=|PO|，|PP′|=|PF|，
∴|PO|=|PF|，即△POF为等腰三角形，过P向x轴引垂线，垂足为M，则M为线段OF的中点，
∴点M的坐标为M（1，0），于是x0=1，
∴=8x0=8，
∴y0=±2． ∴点P的坐标为P（1，±2）．
故选D．
10．若抛物线y2=﹣16x上一点P到x轴的距离为12，则该点到焦点的距离为（ ）
A．5 B．8 C．﹣5 D．13
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先把点P的纵坐标代入抛物线方程求得点P的横坐标，进而根据抛物线的定义求得答案．
【解答】解：依题意可知点P的纵坐标|y|=12，代入抛物线方程求得x=﹣9
抛物线的准线为x=4，
根据抛物线的定义可知点P与焦点F间的距离4+9=13
故选：D．．
11．函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞） D．（﹣3，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求导函数，令其大于0，解不等式，即可得到函数的单调递增区间．
【解答】解：求导函数得：y′=（﹣x2﹣2x+3）ex
令y′=（﹣x2﹣2x+3）ex＞0，可得x2+2x﹣3＜0
∴﹣3＜x＜1
∴函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（﹣3，1）
故选D．
12．已知双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，则实数k的值是（ ）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，双曲线kx2﹣2ky2=4可化为=1，可得a2=﹣，b2=﹣，c2=﹣，利用双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线kx2﹣2ky2=4可化为=1，
∴a2=﹣，b2=﹣，c2=﹣，
∵双曲线kx2﹣2ky2=4的一条准线是y=1，
∴=1，
∴k=﹣，
故选：B．
