2.2.4含有绝对值的不等式

授课班级

21机1、汽1 授课内容 2.2.3含有绝对值的不等式

授课地点 835、803 授课时间 11.11-11.12

教学目标 知识目标 1. 理解绝对值的定义和几何意义；

2. 掌握含有绝对值的不等式的等价形式

；

3. 会解简单的含有绝对值的不等式的解法。

能力目标 会解形如|ax+b|>c或|ax+b|

素质目标 通过教学，体会树形结合、整体代换及等价转换的数学思想方法．

教学重难点 教学重点 含有绝对值不等式的解法

教学难点 理解绝对值的几何意义，绝对值符号的去除

教学过程

教学环节 教学内容 学生活动 教师活动 设计意图

一、回顾旧知，做实铺垫

二、引课示标，明确方向

三、自学质疑，合作探究

1. 绝对值的概念

|2|=______ |0|=_______ |-2|=______

2. 数轴上到原点的距离为2的点有几个？

3. 代数意义

1.含有绝对值不等式的解法

2.理解绝对值的几何意义，绝对值符号的去除

自学一：

自学范围：课本26-27页例7以上内容.

自学时间：3分钟

自学要求：

1. 理解|a|的几何意义

数轴上表示实数a的点到原点的距离 学生回答绝对值的概念

学生自己回答

全班齐读学习目标，30秒内内化

学生在3分钟内自学,并记录自学过程中产生的疑惑

学生结合教师出示问题，进行提问

预设问题点：对于绝对值的几何意义大部分同学遗忘

老师讲解重难点

教师轻声巡视，轻声提醒自学不认真不投入的学生，把握学生进度

对于每个问题都请以提问的方式复习旧知识，引出新问题

通过学习目标的解读，明确知识点

学生自学，能够提高学生自主思考总结的能力

关注点：强调前提：a是正数

类比旧知识，教师

2.|x|>a与|x|

（1）解方程|x|=3，并说明|x|=3的几何意义是什么？

（2）试叙述|x|>3,|x|<3的几何意义，你能写出解集吗？

（1）|x|=3的几何意义是：在数轴上对应实数3的点到原点的距离等于3，这样的点有二个：对应实数3和-3的点：

1 / 12 2.1 不等式的性质

一、知识要点：

性质1(传递性)

如果 a＞b，b＞c，则 a＞c．

性质2(加法法则) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．

如果 a＞b，则 a＋c＞b＋c．

不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．

例1

(1)在－6＜2 的两边都加上9，得 ；

(2)在4＞－3 的两边都减去6，得 ；

(3)如果 a＜b，那么 a－3 b－3；

(4)如果 x＞3，那么 x＋2 5；

(5)如果 x＋7＞9，那么两边都 ，得 x＞2．

性质3(乘法法则) 如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．

如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c；如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c．

练习2

(1)在－3＜－2的两边都乘以2，得 ；

(2)在1＞－2的两边都乘以－3，得 ；

(3)如果 a＞b，那么－3 a －3 b；

(4)如果 a＜0，那么 3 a 5 a；

(5)如果 3 x＞－9，那么 x －3；

(6)如果－3 x＞9，那么 x －3．

练习3 判断下列不等式是否成立，并说明理由．

(1)若 a＜b，则 a c＜b c． ( )

(2)若 a c＞b c，则 a＞b． ( )

(3)若 a＞b，则 a c2＞b c2． ( )

(4)若 a c2＞b c2，则 a＞b． ( )

(5)若 a＞b，则 a(c2＋1)＞b(c2＋1) ． ( ) 2 / 12 2.2 区间的概念

一、知识要点：

设 a，b 是实数，且 a＜b．

不等式的基本性质与解法

不等式在数学中起着重要的作用，它描述了数值之间的大小关系。解不等式是解决问题、推导结论的常用方法之一。本文将介绍不等式的基本性质与解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、不等式的基本性质

1.1 传递性：若a>b，b>c，则a>c。这个性质说明了不等式在数值之间的传递性，即如果一个数大于另一个数，而后者又大于第三个数，则第一个数一定大于第三个数。

1.2 加法性：若a>b，则a+c>b+c。这个性质说明了不等式在两边同时加上一个相同的数时，不等号的方向不变。

1.3 减法性：若a>b，则a-c>b-c。与加法性类似，减法性说明了不等式在两边同时减去一个相同的数时，不等号的方向不变。

1.4 乘法性：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac

1.5 除法性：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c

二、不等式的解法 2.1 图解法：对于一元一次不等式，可以通过图像来解决。首先将不等式转换为等式，画出等式对应的直线，然后根据不等号的方向确定直线上的某一边的解集。这种方法适用于简单的线性不等式。

2.2 求解法：对于更复杂的不等式，通常需要应用一些不等式性质和运算法则。例如，可以通过加、减、乘、除等操作将不等式化简为简单的形式，再求解。

2.3 分类讨论法：对于一元高次不等式，可以将不等式中的变量分别取不同的值，然后根据不等式的性质进行分类讨论。通过逐个排除不符合条件的情况，最终得到解集。

2.4 绝对值法：对于含有绝对值的不等式，可以通过拆分绝对值的定义，建立不等式的多种情况，然后分别求解。最后将这些情况的解集合并，得到最终的解集。

2.5 应用场景法：对于实际问题中出现的不等式，可以根据问题背景将不等式转化为数学表达式，然后根据数学方法求解。这种方法常用于物理、经济等领域中的问题求解。

三、示例

为了更好地理解不等式的基本性质与解法，我们来看一个简单的例子：

●教学目标

1．进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；

2．能综合运用不等式的有关性质、定理对不等式进行证明.

●教学重点

不等式性质、定理的综合运用

●教学难点

常见证明技巧

●教学方法

学导式

●教具准备

幻灯片

●教学过程

Ⅰ.复习回顾：

师：上一节课，我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质，并认识到证明不等式的方法的多样性与灵活性，这一节，我们将综合运用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证明不等式.

Ⅱ.讲授新课：

例2 设a,b,c,d都是不等于0的实数，求证||||||||addccbba≥4.

证明：∵,0||,0||,0||,0||adaccbba

∴,||2||2||||2||||cacbbacbbacbba ①

,||2||2||||2||||acaddcaddcaddc ②

又2||2||||2||||4accaaccaacca ③

由①，②，③式，得

4)||||2( ||2||2||||||||accaaccaaddccbba

说明：此题作为一含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.

例3 已知|a|＜1,|b|＜1,求证|1|abba＜1.

证明：|1|abba＜122)1()(abba＜1 .0)1)(1(012122222222222babababaabbaba

由|a|＜1,|b|＜1,可知（1－a2）(1－b2)＞0成立，

所以 |1|abba＜1.

说明：此题作为一个含有绝对值的不等式，运用|x|＜ax2＜a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性、灵活性.