2.2.4含有绝对值的不等式
课 型：新授课
授课教师：
教学目标：
1.知道目标：理解绝对值的几何意义，掌握含有绝对值不等式| x |
a（a>0）的解法
2. 能力目标：培养数形结合的能力以及通过换元转化的思想方法提高
学生抽象思维的能力
3. 情感目标：培养学生辩证思维方法和能力，以及严谨的治学精神
教学重点：含有绝对值不等式的解法
教学难点：理解绝对值的几何意义，绝对值符号的去除
教学方法：启发探究、讲练结合
教学课时：2课时
第1课时
教学内容及过程：
一、复习回顾：
师：我们在初中学过绝对值的有关概念，请同学们想一想绝对值的有关
概念。
1. 数轴上到原点的距离为2的点有几个？
2. |2|= |0|= |-2|= 3.
代数意义| a |＝
3. | a |几何意义
数轴上表示实数的点到原点的距离
二、新授：问题1 ：如何求方程|x|=2的解呢？|x|=2 的几何意义是什么呢？
（预设）生：方程的解为x=2或x=－2
几何意义：到原点的距离等于2的点
问题2：能表达|x|<2 、|x|>2的几何意义吗？其解集是什么？（引出课
题）
（预设）生：|x|<2几何意义：到原点的距离小于2的点。解集为：x －2
|x|>2的几何意义: 到原点的距离大于2的点。
解集为：x x>2或x<－2，或
问题3：能否尝试归纳出|x|< a 、|x|> a（a>0）的几何意义吗？其解
集是什么？
方法1.（绝对值的几何意义）
(预设)生：|x|< a几何意义：到原点的距离小于a的点。
解集为：x -a
|x|> a的几何意义: 到原点的距离大于a的点。
解集为：x x<-a或x>a，或
方法2.（绝对值的代数意义）
结论：
拓 展：当a =0时 ,两个不等式 | x |< a、| x |> a有无解呢？a<0时
呢？
(预设）生：当a =0时,不等式| x |< a的解集为，
| x |> a的解集为x x≠0
当a <0时，不等式| x |< a的解集为，
| x |> a的解集为R
绝对值方程与绝对值不等式教案
第一章：绝对值概念回顾
1.1 绝对值的定义
绝对值表示一个数与零点的距离，不考虑数的正负号。
例如：|3| = 3, |-5| = 5
1.2 绝对值的性质
性质1：|a| = |-a|
性质2：|a + b| ≤ |a| + |b| （三角不等式）
性质3：如果a是实数，|a| ≥ 0，且|a| = 0当且仅当a = 0
第二章：绝对值方程的解法
2.1 绝对值方程的一般形式
|ax + b| = c
2.2 分类讨论解绝对值方程
当c > 0时，方程有两个解：x = (c b)/a 或 x = -(c b)/a
当c = 0时，方程变为|ax + b| = 0，此时x = -b/a
当c < 0时，方程无解
第三章：绝对值不等式的解法
3.1 绝对值不等式的一般形式
|ax + b| ≥ c 或 |ax + b| ≤ c
3.2 分类讨论解绝对值不等式
当c ≥ 0时，|ax + b| ≥ c的解集为：x ≤ (c b)/a 或 x ≥ -(c b)/a
当c < 0时，|ax + b| ≥ c的解集为：实数集R，因为任何数的绝对值都不可能小于负数。
第四章：绝对值不等式的性质和应用
4.1 绝对值不等式的性质
如果a > 0，|ax| > |bx|等价于|x| > |b|/a
如果a < 0，|ax| > |bx|等价于|x| < |b|/a
4.2 绝对值不等式的应用
求解绝对值不等式时，先考虑a的正负，再根据不等式的性质进行求解。
第五章：绝对值方程和不等式的实际应用案例
5.1 实际应用案例一：距离问题
问题描述：两个人从A、B两地出发，相向而行，已知他们的速度和相遇时间，求他们各自走了多远。
建立模型：设两人的速度分别为v1和v2，相遇时间为t，A、B两地距离为d，则有|v1t v2t| = d。
求解：根据绝对值方程的解法，求出两人各自走了多远。
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第 1 页 共 6 页 含有绝对值的不等式数学教案
（1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法；
（2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法；
（3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法；
（4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神． ②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点．
三、教学建议
（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例．
（2）课前复习应充分．建议复习：当时
；
；
以及绝对值的性质：
，为证明例1做准备．
（3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论． 本文格式为Word版，下载可任意编辑
第 2 页 共 6 页 （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨．
- - 2 - - 绝对值不等式的解法（选修4-5第一讲1.2.2）
教学目标：
知识目标：理解绝对值的几何意义
能力目标：会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式
cbax cbax cbxax cbxax
教学重点：
绝对值不等式解法
教学难点：
绝对值不等式解法
教学过程：
一、复习引入：
在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即
0000xxxxxx，如果，如果，如果。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
二、新课学习：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面就解不等式问题展开探讨。
解含有绝对值的不等式（也称绝对值不等式），关键在于如何去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义和定义以及不等式的性质。
1.含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，
不等式ax的解集是}|{axax，
它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间),(aa，
如图所示。
a 图1-1 a
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，
不等式ax的解集是{|xax或ax}，
- - 2 - - 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间),(),,(aa的并集。
如图1-2所示。
–a a
图1-2
