部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》
一. 教材分析
人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是学生在学习了三角函数基础知识之后的一个实践应用部分。本节内容通过实际问题引入方位角和坡度的概念，让学生了解在实际问题中如何利用三角函数知识解决问题。教材通过实例分析，引导学生掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析
九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对直角三角形有一定的认识。但是，将理论知识应用于实际问题解决中，特别是涉及到方位角和坡度的问题，对学生来说还是一个新的挑战。因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标
1. 知识与技能：让学生理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法。
2. 过程与方法：通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点
1. 重点：方位角、坡度的概念及应用。
2. 难点：如何将方位角、坡度与直角三角形相结合，解决实际问题。
五. 教学方法
采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备
1. 准备相关的实际问题，用于引入方位角、坡度的概念。
2. 准备一些图片或实物，用于展示直角三角形的应用。
3. 分组讨论的素材，让学生在课堂上进行实践操作。 七. 教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过展示一些实际问题，如建筑工人测量高度、航海员确定船只位置等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。让学生认识到方位角、坡度在实际生活中的重要性。
2. 呈现（10分钟）
教师讲解方位角、坡度的概念，并通过实例解释其在实际问题中的应用。同时，引导学生回顾直角三角形的知识，为后续解直角三角形打下基础。
1
2 28.2.2 应用举例
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)
2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)
一、情境导入
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝hl.
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．
二、合作探究
探究点一：利用方位角解直角三角形
【类型一】 利用方位角求垂直距离
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．
解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，1
2 解得PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题
【类型二】 利用方位角求水平距离
1 28.2.2 应用举例
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
【学习目标】
⑴ 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶ 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
2
四、学生展示：
完成课本77页练习
补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第78页 习题28．2复习巩固第5、7题
七、自我反思：
本节课我的收获:
28.2.2 应用举例
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)
2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)
一、情境导入
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝hl.
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．
二、合作探究
探究点一：利用方位角解直角三角形
【类型一】 利用方位角求垂直距离
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．
解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题
【类型二】 利用方位角求水平距离
“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)
