一元二次不等式的解法教案

一元二次不等式的解法

[学习目标]

1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2.掌握图像法解一元二次不等式

[教学过程]

一、一元二次不等式的概念

一元二次不等式

定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式

表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数

解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合

思考 下列不等式是一元二次不等式的有________．

①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.

答案 ①②

解析 ①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．

二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像

ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} 错误! R

ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅

思考 一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根________．(填“相同”或“不相同”)

课题： 一元二次不等式的解法

教材: 人民教育出版社全日制普通高中教科书(必修)第一册(上)

授课教师: 甘肃省嘉峪关市第一中学 李长杉

教学目标

知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.

能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.

德育目标：通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.

情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.

教学重点: 一元二次不等式的解法.

教学难点: 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.

教学过程:

(一)引入新课.

问题1：(幻灯片1)画出一次函数y=2x-7的图象，填空：

2x-7=0的解是 .不等式 2x-7>0的解集是 .不等式 2x-7<0的解集是 .

请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系).

从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论.

(幻灯片2): 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0,0),就有如下结果.

一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x0}

一元一次不等式ax+b>0(<0)解集

(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x0};

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x

(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x0}.

(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果).

问题2：(幻灯片3)（2004年江苏省高考试题）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x -3 -2 -1 0 1 2

3 4

y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

则ax2+bx+c>0解集是 .

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

注意：

（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程

规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

二次函数

（）的图象

经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式

（1）； （2）； （3）

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

总结升华：

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

一元二次不等式的解法

一、教学目标

1、知识与技能目标：

理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法，培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

2、过程与方法目标

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过图像探究一元二次不等式相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。

3、情感与价值目标

激发学生学习数学的热情，培养用于探究的精神，勇于创新的精神，同时体会事务之间普遍联系的辩证思想。

二、教学的重点与难点

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式的解法。

难点：理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集的关系

三、教学方法

引导启发式，讲练结合的教学方法。

四、课时安排

一课时

五、教学过程

（一）设置情境，引导新课。

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型

巴西世界杯足球场馆外要把一个长为8米，宽为6米的长方形绿化带进行美化，计划在四周栽种宽度相同的花卉，中间种植小草，为了美观要求草坪的种植面积超过绿化带总面积的一半，此时花卉带的宽度设计的宽度应在什么范围？

设：花卉的宽为x(0

（8-2x）(6-2x)>(1/2)*8*6

整理得 x2-7x-6>0

二、引导探究，获得新知。

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型

x2-7x+6>0

（1）一元二次不等式的定义

像ax2+by+c>0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

（2）探究一元二次不等式x2-7x+6>0的解集。

1、二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程有两个实数根：x1=1,x2=6

二次函数有两个零点： x1=1,x2=6于是，我们得到，二次方程的根就是二次函数的零点。