2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)4：数列

2012 高考真题分类汇编：数列

一、选择题

1.【 2012 高考真题重庆理 1】在等差数列 { an} 中， a2 1 ， a4 5 则 { an} 的前 5 项和 S5 =

A.7 B.15 C.20 D.25

【答案】 B

【 解 析 】 因 为 a2 1 ， a4 5 ， 所 以 a1 a5 a2 a4 6 ， 所 以 数 列 的 前 5 项 和

5( a1 a5 ) 5(a2 a4 ) 5 , 选 B.

S5

2

2 6 15

2

2.【 2012 高考真题浙江理 7】设 Sn 是公差为 d（ d≠ 0）的无穷等差数列﹛ an﹜的前 n 项和，则

下列命题错误的是

A.若 d＜ 0，则数列﹛ Sn﹜有最大项

B.若数列﹛ Sn﹜有最大项，则 d＜ 0

C.若数列﹛ Sn﹜是递增数列，则对任意 n N * ，均有 Sn 0

D. 若对任意 n N * ，均有 Sn 0 ，则数列﹛ Sn ﹜是递增数列

【答案】 C

【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：— 1，0， 1， 2， 3，⋯．满足数列 {S n}是递增数列，

但是 S n＞ 0 不成立．故选 C。

3.【 2012 高考真题新课标理 5】已知 an 为等比数列， a4 a7 2 ， a5 a6 8 ，则 a1 a10

（ ）

( A) 7 (B) 5 (C ) ( D )

【答案】 D

【 解 析 】 因 为 { an } 为 等 比 数 列 ， 所 以 a5a6 a4 a7 8 ， 又 a4 a7 2 ， 所 以

a4 4，a7 2 或 a4 2，a7 4 . 若 a4 4，a7 2 ， 解 得 a1 8，a10 1 ，

a1 a10 7 ；若 a4 2， a7 4 ，解得 a10 8， a1 1 ，仍有 a1 a10 7 ，综上选

D.

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4.【2012 高考真题上海理 18】设 an 1 sin n ， Sn a1 a2 an ，在 S1, S2 , , S100

n 25

中，正数的个数是（ ）

A． 25 B． 50 C．75 D． 100

【答案】 D

【解析】当 1≤ n ≤ 24 时， an ＞ 0，当 26≤ n ≤ 49 时， an ＜ 0，但其绝对值要小于 1≤ n ≤ 24

时相应的值，当 51≤ n ≤ 74 时， an ＞ 0，当 76≤ n ≤ 99 时， an ＜0，但其绝对值要小于 51

≤ n ≤ 74 时相应的值，∴当 1≤ n ≤ 100 时，均有 Sn ＞ 0。

5.【 2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列 {a n}中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=

(A)58 (B)88 (C)143 (D)176

【答案】 B

【解析】 在等差数列中， a1 a11 a4 a8 16, s11 11 (a1 a11 ) 88 ，答案为 B 2

【点评】 本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式，同时考查运算求解能

力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

6.【 2012 高考真题四川理 12】设函数 f ( x) 2x cos x， { an} 是公差为 的等差数列，

8

f (a1) f ( a2 ) f (a5 ) 5 ，则 [ f (a3 )] 2 a1a5 （ ）

A、 0 B、 1 2 1 2 13 2

C、 D、

16 8 16

【答案】 D

【解析】 f ( a1 ) f (a2 ) f (a5 ) (2a1 cosa1 ) (2a2 cosa2 ) (2a5 cosa5 ) 5 ，即

2(a1 a2 a5 ) (cosa1 cosa2 cosa5 ) 5 ，而 { an} 是公差为 的等差数列，

8

代入 2(a1 a2 a5 ) (cosa1 cosa2 cosa5 ) 5 ，即 10a3 [cos( a3 4)

cos(a3 ) cosa3 cos(a3 ) cos( a3 )] 5 ， (2cos 2cos 1)cos a3 不

8 8 4 4 8

是 的倍数， 10a3 5 , a3 . [ f ( a3 )] 2 a1a5 (2 0)2 ( )(

2 )

13 2 2 2 4 4

，故选 D.

16

7.【 2012 高考真题湖北理 7】定义在 ( ,0) (0, ) 上的函数 f ( x) ，如果对于任意给定的等

比数列 { an } ， { f ( an )} 仍是等比数列，则称 f (x) 为“保等比数列函数” . 现有定义在

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( ,0) (0, ) 上的如下函数：

① f ( x) x2 ；② f (x) 2 x ；③ f ( x) | x | ；④ f ( x) ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f (x) 的序号为

A．① ② B． ③ ④ C．① ③ D． ② ④

【答案】 C

【解析】 等比数列性质， an an

an2 1 ， ① f an f an 2 an2an2 2 an2 2

2 an 1 ； 2 1f

② f an f an 2 2a n 2an 2 2a n an 2 22an 1 f 2 an 1 ；

2

③ f an f an 2 an an 2 an 1f 2 an 1 ；

④ f a f a ln a ln a 2 f 2 a .选 C

2ln a

n 1

n n 2 n n n 1

8.【 2012 高考真题福建理 2】等差数列 {an}中， a1+a5=10,a4=7,则数列 {an}的公差为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】 B.

【解析】由等差中项的性质知 a3 a1 a5 5 ，又 a4 7, d a4 a3 2 .故选 B. 2

9.【 2012 高考真题安徽理 4 】公比为 3 2 等比数列 { an} 的各项都是正数，且 a3a11 16 ，则

log2 a16 =（ ）

( A) 4 (B) 5 (C) ( D )

【答案】 B

【解析】 a3 a11 16 a72 16 a7 4 a16 a7 q9 32 log 2 a16 5 ．

10【. 2012 高考真题全国卷理 5】已知等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn，a5 =5，S5=15，则数列的前 100 项和为

100 99 99 101

(A) (B) (C) (D)

101 101 100 100 【答案】 A

【 解 析 】 由 a5 5, S5 15 , 得 a1 1, d 1 ， 所 以 an 1 (n 1) n ， 所 以

1 1 1 1 ， 又

an an 1 n(n 1) n n 1

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ，选 A.

a1a2 a100 a101 1 2 2 3 100 101 101 101

二、填空题

11【.2012 高考真题浙江理 13】设公比为 q（q＞ 0）的等比数列 {an }的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2，

S4 =3a4+2，则 q=______________。

【答案】 3

2

【解析】将 S2 3a2 2 ， S4 3a4 2 两个式子全部转化成用 a1 ， q 表示的式子．

a1 a1q 3a1 q 2 ，两式作差得： a1q 2 a1q3 3a1q (q2 1) ，即： 2q2 q 3 0 ， 即 a q a q 2 a q 3 3a q 3 a 2

1 1 1 1 1

解之得： q 3 或 q 1 (舍去 )．

2

12.【2012 高考真题四川理 16】记 [ x] 为不超过实数 x 的最大整数，例如， [2] 2 ， [1.5] 1 ，

xn [ a ]

[ 0.3] 1 。设 a 为正整数，数列 { xn} 满足 x1 a ， xn 1 [ xn ]( n N ) ，现有下列

2

命题：

①当 a 5 时，数列 { xn } 的前 3 项依次为 5,3,2 ；

②对数列 { xn} 都存在正整数 k ，当 n k 时总有 xn xk ；

③当 n 1时， xn a 1；

④对某个正整数 k ，若 xk 1 xk ，则 xn [ a ] 。

其中的真命题有 ____________。（写出所有真命题的编号）

【答案】①③④

【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大 .

5 5 3 [ 5]

【解析】当 a 5 时， x1 a 5 x2 5 3， x3 [ 3 ] 2 ，故①正确；同样验证

2 2

可得③④正确，②错误 .

13.【 2012 高考真题新课标理 16】数列 { a n} 满足 an 1 ( 1) n an 2n 1 ，则 { a n} 的前 60 项

和为

【答案】 1830

【解析】由 an 1 ( 1)n

an 2 1得，