2020年高考数学真题汇编 4：数列 理

2020高考真题分类汇编：数列

一、选择题

1.【2020高考真题重庆理1】在等差数列}{na中，12a，54a则}{na的前5项和5S=

A.7 B.15 C.20 D.25

【答案】B

2.【2020高考真题浙江理7】设nS是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是

A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项

B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0

C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意*Nn，均有0nS

D. 若对任意*Nn，均有0nS，则数列﹛Sn﹜是递增数列

【答案】C

3.【2020高考真题新课标理5】已知na为等比数列，472aa，568aa，则110aa（ ）

()A7 ()B 5 ()C ()D

【答案】D

4.【2020高考真题上海理18】设25sin1nnan，nnaaaS21，在10021,,,SSS中，正数的个数是（ ）

A．25 B．50 C．75 D．100

【答案】D

5.【2020高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=

(A)58 (B)88 (C)143 (D)176

【答案】B

6.【2020高考真题四川理12】设函数()2cosfxxx，{}na是公差为8的等差数列，125()()()5fafafa，则5123)]([aaaf（ ）

A、0 B、2116 C、218 D、21316

【答案】D 7.【2020高考真题湖北理7】定义在(,0)(0,)U上的函数()fx，如果对于任意给定的等比数列{}na， {()}nfa仍是等比数列，则称()fx为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)U上的如下函数：

①2()fxx； ②()2xfx； ③()||fxx；

④()ln||fxx.

则其中是“保等比数列函数”的()fx的序号为

A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④

【答案】C

8.【2020高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B.

9.【2020高考真题安徽理4】公比为32等比数列{}na的各项都是正数，且31116aa，则162loga=（ ）

()A4 ()B5

()C ()D

【答案】B

10.【2020高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为

(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100

【答案】A

二、填空题

11.【2020高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。

【答案】32

12.【2020高考真题四川理16】记[]x为不超过实数x的最大整数，例如，[2]2，[1.5]1，[0.3]1。设a为正整数，数列{}nx满足1xa，1[][]()2nnnaxxxnN，现有下列命题：

①当5a时，数列{}nx的前3项依次为5,3,2；

②对数列{}nx都存在正整数k，当nk时总有nkxx； ③当1n时，1nxa；

④对某个正整数k，若1kkxx，则[]nxa。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

【答案】①③④

【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大.

13.【2020高考真题新课标理16】数列{}na满足1(1)21nnnaan，则{}na的前60项和为

【答案】1830

14.【2020高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且251021,2()5nnnaaaaa，则数列｛an｝的通项公式an =______________。

【答案】2n

15.【2020高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若711ba，2133ba，则55ba__________。

【答案】35

16.【2020高考真题北京理10】已知}{na等差数列nS为其前n项和。若211a，32aS，则2a=_______。

【答案】12a，nnSn41412

17.【2020高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，4223aa，则an=____．

【答案】12n

18.【2020高考真题重庆理12】nnnn51lim2 .

【答案】52

19.【2020高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nVVV21，则)(lim21nnVVV 。

【答案】78。

20.【2020高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2020=___________. 【答案】3018．

三、解答题

21【2020高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列{}na和{}nb满足：221nnnnnbabaa，*Nn，

（1）设nnnabb11，*Nn，求证：数列2nnba是等差数列；

（2）设nnnabb•21，*Nn，且{}na是等比数列，求1a和1b的值．

【答案】解：（1）∵nnnabb11，∴11222=1nnnnnnnnabbaabba。

∴ 2111nnnnbbaa。

∴ 222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa 。

∴数列2nnba是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00nna>b>，，∴22222nnnnnnabab

∴12212nnnnnab

设等比数列{}na的公比为q，由0na>知0q>，下面用反证法证明=1q

若1,q>则212=2aaa时，112nnaaq>，与（﹡）矛盾。

若01,a>q，∴当11logqn>a时，111nnaaq<，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1q。∴1*naanN，∴112

若12a，则121>a，于是123b

又由221nnnnnbabaa即11221nnabaab，得22111212=1naaaba。

∴123bbb，，中至少有两项相同，与123b

∴2222222==221nb。

∴ 12==2ab。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设221nnnnnbabaa和nnnabb11，求出2111nnnnbbaa，从而证明22111nnnnbbaa而得证。

（2）根据基本不等式得到12212nnnnnab

从而得到1*naanN的结论，再由1122=nnnnbbbaa••知{}nb是公比是12a的等比数列。最后用反证法求出12==2ab。

22.【2020高考真题湖北理18】（本小题满分12分）

已知等差数列{}na前三项的和为3，前三项的积为8.

（Ⅰ）求等差数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）若2a，3a，1a成等比数列，求数列{||}na的前n项和.

【答案】 （Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，则21aad，312aad，

由题意得1111333,()(2)8.adaadad 解得12,3,ad或14,3.ad

所以由等差数列通项公式可得

23(1)35nann，或43(1)37nann. 故35nan，或37nan.

（Ⅱ）当35nan时，2a，3a，1a分别为1，4，2，不成等比数列；

当37nan时，2a，3a，1a分别为1，2，4，成等比数列，满足条件.

故37,1,2,|||37|37,3.nnnannn

记数列{||}na的前n项和为nS.

当1n时，11||4Sa；当2n时，212||||5Saa；

当3n时，

234||||||nnSSaaaL5(337)(347)(37)nL

2(2)[2(37)]311510222nnnn. 当2n时，满足此式.

综上，24,1,31110,1.22nnSnnn

23.【2020高考真题广东理19】（本小题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，满足12211nnnaS，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．

（1） 求a1的值；

（2） 求数列{an}的通项公式．

（3） 证明：对一切正整数n，有2311121naaa.

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.