高中数学-对数

第 1 页 共 7 页 3. 2.1 对数的概念

教学目标

1． 理解对数的概念；

2． 能够说明对数与指数的关系；

3． 掌握对数式与指数式的相互转化；

4． 了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法；

5． 了解对数恒等式．

教学重点与难点

本节课的重点是对数的概念，对数式与指数式的相互转化；难点是对数概念的理解．

教学过程

一、 创设情境

(对数的起源)介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；

二、 学生活动、建构数学

探究：在第2.2.2节的例4中，我们研究了一种放射性物质不断变化为其他物质的过程．设该物质最初的质量是1，则经过x年后，该物质的残留量0.84xy，由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的残留量y；反过来，知道了该物质的残留量y，怎样求出所经过的时间x呢？特别地，经过多少年这种物质的残留量为原来的一半？

三、 数学理论、数学运用

1． 对数的概念

上述问题也就是求满足0.840.5x中的x，此时问题就转化为已知底数和幂的指求指数的问题．

一般地，若(0,1)aaa的b次幂等于N，即baN，则就称b是以a为底N的对数(logarithm)，记作logaNb，其中，a叫做对数的底数(base of logarithm)，N第 2 页 共 7 页 叫做真数(proper number)．

logaN的意义：a的多少次方是N？

说明：①．注意底数的限制0a，且1a；

②．xNNaaxlog；

③．注意对数的书写格式．

思考：①为什么对数的定义中要求底数0a，且1a；

②是否是所有的实数都有对数呢？

设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．

2．对数的性质

⑴．零和负数没有对数，即Nalog中N必须大于零；

⑵．1的对数为0，即log10a;

⑶．底数的对数为1，即1logaa．

3. 常用对数：通常将以10为底的对数称为常用对数(common logarithm)

1

对数与对数函数

1.对数

（1）对数的定义：

如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.

（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

（3）对数运算性质:

①loga（MN）=logaM+logaN.

②logaNM=logaM－logaN.

③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④对数换底公式：logbN=bNaaloglog（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.

2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1

在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义

2 运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）

（2）对数函数的图象

Ox yy= logx a> Ox y

( ))

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

（3）对数函数的性质:

①定义域：（0，+∞）.

②值域：R.

③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

基础例题

1.函数f（x）=|log2x|的图象是?

2.若f －1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f －1（x）的值域为___________________.

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对数与对数函数

1.对数

（1）对数的定义：

如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.

（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

（3）对数运算性质:

①loga（MN）=logaM+logaN.

②logaNM=logaM－logaN.

③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④对数换底公式：logbN=bNaaloglog（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.

2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1

对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？

在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切

2 实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）

（2）对数函数的图象

Ox yy= logx a> Ox y

( ))

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

（3）对数函数的性质:

①定义域：（0，+∞）.

②值域：R.

③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

基础例题

1.函数f（x）=|log2x|的图象是

武陟三中导学案

对数

编写人 王大毛 审核 数学组 上课时间 月 日

寄语：谁要游戏人生，他就一事无成，谁不能主宰自己，永远是一个奴隶

教学目的：（1）理解对数的概念；

（2）能够说明对数与指数的关系；

（3）掌握对数式与指数式的相互转化．

教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化

教学难点：对数概念的理解．

教学过程：

一、 引入课题

1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；

设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．

2． 尝试解决本小节开始提出的问题．

二、 新课教学

1．对数的概念

一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数（Logarithm），记作：

Nxalog

a— 底数，N— 真数，Nalog— 对数式

说明：○1 注意底数的限制0a，且1a；

○2 xNNaaxlog；

Nalog武陟三中导学案

○3 注意对数的书写格式．

思考：○1 为什么对数的定义中要求底数0a，且1a；

○2 是否是所有的实数都有对数呢？

设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．

两个重要对数：

○1 常用对数（common logarithm）：以10为底的对数Nlg；

○2 自然对数（natural logarithm）：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．

2． 对数式与指数式的互化

xNalog  Nax

对数式  指数式

对数底数 ← a → 幂底数

对数 ← x → 指数

真数 ← N → 幂

例1．（教材P73例1）

巩固练习：（教材P74练习1、2）

设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．

说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．