二阶常微分方程解
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第七节
二阶常系数线性微分方程
在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐
§7.1
二阶常系数线性齐次方程及其
22dxyd＋pdxdy＋qy＝0 (7.1)
其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y２
我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxyd，dxdy，y各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其22dxyd，dxdy，y之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数erx
y＝erx
(其中r为待定常数)
将y＝erx，dxdy＝rerx，22dxyd＝r2erx代入方程(7.1)
得 r2erx＋prerx＋qerx＝0
或 erx（r2＋pr＋q）＝0
因为erx≠0
r2＋pr＋q＝0
由此可见，若r
r2＋pr＋q＝0 (7.2)
的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)
特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面
(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r１，r2，此时er１x，er2x是方程(7.1) 因为 xrxr21ee＝ex)rr(21
所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)
y＝C1er1x＋C2er2x
(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r1＝r2，此时p2－4q＝0，即
有r1＝r2＝2p，这样只能得到方程(7.1)的一个特解y１＝er１x，因此，我们还要设法找出另一个满足12yy≠常数，的特解y2，故12yy应是x的某个函数，设12yy＝u，其中u＝u(x)
y2＝uy1＝uer１x
对y2
dxdy2＝dxduer1x＋r１uer1x＝(dxdu＋r1u)er1x
222dxyd＝(r2１u＋2r1dxdu＋22dxud)er1x
将它们代入方程(7.1)
(r21u＋２r1dxdu＋22dxud)er1x＋p(dxdu＋r1u)er1x＋quer1x＝0
［22dxud＋(2r1＋p) dxdu＋(r２１＋pr1＋q)u］er1x＝0
因为er1x≠0，且因r1是特征方程的根，故有r２１＋pr１＋q＝0，又因r1＝－2p故有2r1＋p＝0，于是上式
22dxud＝0
显然满足22dxud＝0的函数很多，我们取其中最简单
u(x)＝x
则y2＝xerx是方程(7.1)的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是
y＝C1er1x＋C2xer1x＝(C1＋C2x)er1x
(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1＝α＋iβ，r2＝α－iβ
此时方程(7.1)
y1＝e(α＋iβ)x y2＝e（α－iβ）x
y＝C1e（α＋iβ）x＋C2e（α－iβ）x
其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式
eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx
有 21 (eix＋e－ix)＝cosx
i21 (eix－e－ix)＝sinx
21 (y1＋y２)＝21eαx(eiβx＋e－iβx)＝eαxcosβx
i21 (y1－y2)＝i21eαx(eiβx－e－iβx)＝eαxsinβx
由上节定理一知，21 (y1＋y2)，i21 (y1－y2)是方程(7.1)的两个特解，也即eαxcosβx，eαxsinβx是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)
y＝C1eαxcosβx＋C2eαxsinβx
或 y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)
其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三 特征方程r2＋pr＋q＝0的根 微分方程22dxyd＋pdxdy＋qy＝0的通解
有二个不相等的实根r1，r2
y＝C1er1x＋C2er2x
有二重根r1＝r2
y＝(C1＋C2x)er1x
有一对共轭复根irir21 y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)
例1.
(1)
22dxyd＋3dxdy－１０y＝0
(2) 22dxyd－4dxdy＋4y＝0
(3) 22dxyd＋4dxdy＋7y＝0
解 (1)特征方程r2＋3r－10＝0有两个不相等的
r1＝－5，r2＝2
所求方程的通解 y＝C1e－5rC2e2x
(2)特征方程r2－4r＋4＝0
r1＝r2＝2
所求方程的通解y＝(C1＋C2x)e2x
(3)特征方程r2＋4r＋7＝0
r1＝－2＋3i r2＝－2－3i 所求方程的通解 y＝e－2x(C1cos3x＋C2sin3x)
§7.2
二阶常系数线性非齐次方程的
由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系
22dxyd＋pdxdy＋qy＝f(x) (7.3)
的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)
方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行
一、f(x)＝pn(x)eαxpn(x)是n次多项式，我们先讨论当α＝0
f(x)＝pn（x
22dxyd＋pdxdy＋qy＝pn(x) (7.4)
(1)如果q≠0，我们总可以求得一n次多项式满足~y＝Qn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋ana0，a1，…an是待定常数，将~y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，…an
例1. 求22dxyd＋dxdy＋2y＝x2－3
解 自由项f(x)＝x2－3是一个二次多项式，又q＝2≠0
~y＝a0x2＋a1x＋a2
求导数 ~'y＝2a0x＋a1
~"y＝2a0
代入方程有2a0x2＋(2a0＋2a1)x＋（2a0＋a1＋2a２）＝x2－3
3a2aa20a2a21a2210100 解得
47a21a21a210
所以特解~y＝21x2－21x－47
(2)如果q＝0，而p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时~y＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)
~y＝xQn(x)＝a0xn＋1＋a1xn＋…＋anx
代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a0，a1，…an
例2. 求方程22dxyd＋4dxdy＝3x2＋2
解 自由项 f(x)＝3x2＋2是一个二次多项式，又q＝0，p＝４≠0，故设特解
~y＝a0x3＋a1x2＋a2x
求导数 ~'y＝3a0x2＋2a1x＋a2
~"y＝6a0x＋2a1
12a0x2＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数
2a4a20a6a83a1221010 解得
3219a163a41a210 所求方程的特解 ~y＝41x3－163x2＋3219x
(3)如果p＝0，q＝0，则方程变为22dxyd＝pn(x)，此时特解是一个(n＋2)
~y＝x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积
下面讨论当α≠0时，即当f(x)＝pn(x)eαx时方程
22dxyd＋pdxdy＋qy＝pn(x)eαx (7.5)
的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子eαx，如果能通过变量代换将因子eαx去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设y＝ueαx，其中u＝u(x)是待定函数，对y＝ueαx
dxdy＝eαxdxdu＋αueαx
求二阶导数 22dxyd＝eαx22dxud＋2αeαxdxdu＋α2ueαx
代入方程(7.5)
eαx［22dxud＋2αdxdu＋α2u］＋peαx［dxdu＋αu］＋queαx＝pn(x)eαx 消去eαx
22dxud＋(2α＋p) dxdu＋(α2＋pα＋q)u＝pn（x）
(7.6)
由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结
(1)如果α2＋pα＋q≠0，即α不是特征方程r2＋pr＋q＝0的根，则可设(7.6)的特解u＝Ｑn(x)，从而可设(7.5)
~y＝Qn(x)eαx
(2)如果α2＋pα＋q＝0，而２α＋p≠0，即α是特征方程r2＋pr＋q＝0的单根，则可设(7.6)的特解u＝xQn(x)，从而可设(7.5)
~y＝xQn(x)eαx
(3)如果r2＋pα＋q＝0，且２α＋p＝0，此时α是特征方程r2＋pr＋q＝0的重根，则可设(7.6)的特解u＝x2Qn(x)，从而可设(7.5)
~y＝x2Qn(x)eαx
例3.
(1)22dxyd＋5dxdy＋6y＝e3x
