二阶常微分方程级数解法

二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线形微分方程的概念

形如 )(xfqyypy (1)

的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实数,)(xf为已知的连续函数.

如果0)(xf,则方程式 (1)变成

0qyypy (2)

我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.

二、二阶常系数齐次线性微分方程

1．解的叠加性

定理1 如果函数1y与2y是式(2)的两个解, 则2211yCyCy也是式(2)的解,其中21,CC是任意常数.

证明 因为1y与2y是方程(2)的解,所以有

0111qyypy

0222qyypy

将2211yCyCy代入方程(2)的左边,得

)()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC

=0)()(22221111qyypyCqyypyC

所以2211yCyCy是方程(2)的解.

定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.

叠加起来的解从形式看含有21,CC两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.

2.线性相关、线性无关的概念

设,,,,21nyyy为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数,,,,21nkkk使得当在该区间内有02211nnykykyk, 则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.

例如 xx22sin,cos,1在实数范围内是线性相关的,因为

0sincos122xx

b1高等数学教材

第一章：导数与微分

在这一章中，我们将深入了解导数和微分的概念及其应用。我们将学习如何使用导数来描述函数的变化率，并探索微分的几何和物理意义。通过一系列的例题和练习，我们将掌握导数的计算方法，包括常见函数的导数、导数运算法则以及隐函数求导等内容。

第二章：定积分

定积分是数学中非常重要的概念，也是微积分的核心内容之一。在这一章中，我们将学习如何用定积分计算曲线下的面积，以及如何利用定积分解决几何和物理中的实际问题。我们将研究定积分的基本性质和计算方法，包括换元积分法、分部积分法和定积分的应用等。

第三章：微分方程

微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具。在这一章中，我们将学习如何求解常微分方程的基本方法，包括一阶线性微分方程、可分离变量微分方程和齐次微分方程等。我们还将研究二阶线性齐次微分方程及其特解的求法，并介绍一些常见的物理和生物问题如何用微分方程建模和求解。

第四章：多元函数微分学

在这一章中，我们将进一步研究多元函数的导数和微分。我们将学习多元函数的极限、连续性和偏导数，并探讨这些概念在几何和物理中的应用。通过一些具体的例子和实际问题，我们将加深对多元函数微分学的理解，包括最值问题、拉格朗日乘数法和多元函数的泰勒展开式等内容。

第五章：多元函数的积分学

在这一章中，我们将学习如何计算多元函数的定积分和曲线曲面积分。我们将引入重积分的概念和计算方法，包括二重积分和三重积分，并研究它们的性质和应用。通过解决一些实际问题，我们将加深对多元函数积分学的理解，包括坐标变换、极坐标和球坐标系下的积分计算等内容。

第六章：无穷级数

无穷级数是数学中重要的概念之一，也是数学分析的核心内容之一。在这一章中，我们将研究数列、数列极限和级数的概念，并探讨级数的收敛性和发散性。我们还将学习级数的求和方法，包括常数项级数、幂级数和傅里叶级数等，并探索级数在数学和物理中的应用。

第七章：常微分方程的级数解法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解

我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

ypyqy0

得

(r 2prq)erx 0

由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解

特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

2422,1qppr

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数xrey11、xrey22是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数xrey11、xrey22是方程的解 又xrrxrxreeeyy)(212121不是常数

因此方程的通解为

xrxreCeCy2121

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数xrey11、xrxey12是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

这是因为 xrey11是方程的解 又

xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1()2()()()(1211

常微分方程级数解法中系数递推公式的一种推导方法

杨志坚

【摘 要】在数学物理方法中常见的几种偏微分方程在柱坐标系或球坐标下分离变量时会出现二阶线性齐次常微分方程,为了求解这类常微分方程,常用级数解法.该方法的核心问题就是找解函数级数的系数递推公式,本文推荐一个比较简单的求系数递推公式的方法.

【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2011(037)006

【总页数】4页(P971-974)

【关键词】微分方程;级数解法;递推公式

【作 者】杨志坚

【作者单位】西南民族大学电信学院,四川成都610041

【正文语种】中 文

【中图分类】O175

在常见的柱坐标和球坐标系中对数学物理方程进行分离变量时, 就会出现连带勒让德方程, 勒让德方程,贝塞尔方程和球贝塞尔方程等特殊函数方程[1-2]. 它们大多是二阶线性齐次变系数常微分方程. 为了方便将其表示为复函形式：

其中已知函数 ()p z、 ()q z为系数函数, 0z是任意指定点, 0c和 1c为任意指定常数.

这里不涉及方程解的存在性, 唯一性和敛散性问题, 仅讨论方程的解存在且唯一时, 如何求其级数解.

我们知道, 微分方程的级数解法就是求级数解的系数递推公式. 大多数教材处理这个问题的方法, 是将级数解代入微分方程, 再比较各同次幂的系数, 从中归纳总结出系数递推公式[3]. 这种处理方法思路简单清晰,初学者容易理解、掌握. 但是其计算过程较繁长, 且不易归纳总结出递推公式. 这里我们给出另一种计算递推公式的方法, 它简便易行, 初学者也容易掌握.

为此, 我们将问题分成常点邻域和正则奇点邻域两种情况给予介绍.

由于 0z是方程（1）中 ()p z和 ()q z的解析点, 可将其分别展开成泰勒系数

其中 na和 nb（n=0.1.2……）是已知的展开系数.

又因方程（1）在常点 0z的邻域内存在唯一的解析解, 故可将解函数 ()w z在此邻域内展开泰勒级数：