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第三章直线与方程知识点总结与题型

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第三章：直线与方程的知识点

倾斜角与斜率

1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l

的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角?

的范围是0????. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k?tan?.

如果知道直线上两点

y?y1

. 特别地是，当x1?x2，y1?y2时，直线与x轴垂直，斜率kP(x1,y1),P(x2,y2)，则有斜率

公式k?2

x2?x1不存在；当x1?x2，y1?y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，

斜率k=0；当0????90?时，斜率k?0，随着α的增大，斜率k也增大；当90????180?时，斜

率k?0，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围

的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线l1 、l2，其斜率分别为k1、k2，有：

（1）l1//l2?k1?k2；（2）l1?l2?k1?k2??1.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x

轴；….

直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y?y0?k(x?x0). 2. 斜截式：直线

l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y?kx?b.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它

的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x?x0?0，或

x?x0.

y?y0

?k与y?y0?k(x?x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点P0(x0,y0)，后者才是4. 注

意：

x?x0整条直线.

直线的两点式方程

1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

y?y1x?x1

?， y2?y1x2?x1

xy

??1. ab

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

x?xy?y2

4. 线段P1P2中点坐标公式(12,1).

222. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为

直线的一般式方程

1. 一般式：Ax?By?C?0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程Ax?By?C?0(B?0)化为斜截式

ACAC

方程y??x?，表示斜率为?，y轴上截距为?的直线.

BBBB 2. 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线，可设所求方程为Ax?By?C1?0；与直线Ax?By?C?0垂直

的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C1?0.

?C?0（A2,B2不3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x?B1y?C1?0（A1,B1不同时为0），

l2:A2x?2By2

同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）l1?l2?A1A2?B1B2?0； （2）l1//l2?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0；

（3）l1与l2重合?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （4）l1与l2相交?A1B2?A2B1?0.

ABCABCAB

如果A2B2C2?0时，则l1//l2?1?1?1；l1与l2重合?1?1?1；l1与l2相交?1?1.

A2B2C2A2B2C2A2B2

两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组?

?A1x?B1y?C1?0

. 若方程组有惟

Ax?By?C?0?222

一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时

两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

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人教新课标第三章一元一次方程知识点总结

人教新课标第三章一元一次方程知识点总结

1 3.1.1一元一次方程

知识点归纳

一、等式的概念

※※★1、表示相等关系的式子叫等式。

※※★2、判断一个式子是不是等式的方法：看一个式子中含不含有“=”号。

二、方程的有关概念

※※※★★1、方程的概念：含有未知数的等式叫方程。

【注意】（1）判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数，两者缺一不可

（2）方程中的未知数可以用表示，也可以用其他字母表示

（3）方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上

（4）方程和等式的关系：方程一定是等式，但是等式不一定是方程。因为等式可以分为三类：第一类是恒等式，即无论用任何允许取的数值代替等式中的字母，等式两边的值总相等，如；第二类是条件等式（也就是方程），只取某些数值代替等式中的字母时等式成立，而去另一些数值代替等式中的字母时，等式不成立，如等；第三类是矛盾等式，无论去任何数值代替等式中的字母，等式总不成立，如等。

※※★2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值。叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。

【注意】判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点，①它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，如果左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，两者缺一不可。

※※★3、解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。

【注意】①求方程的解有很多种方法，不管用什么方法，求方程解的过程，都叫做解方程。

②方程的解和解方程是不同的概念，它们一个是求得的结果，一个是变形的过程，要区别开。

三、 一元一次方程的有关概念

※※※★★1、只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

※※※★★2、一元一次方程满足的条件

（1）未知数所在的式子是等式，即分母中不含有未知数（字母）

（2）只含有一个未知数，并且未知数的次数为1。

一个方程如果能满足上述两个条件，它就是一元一次方程；否则，不满足其中任何一条，就不是一元一次方程。

第三章 直线与方程知识点

第三章 直线与方程知识点

直线与圆的方程知识点总结

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是：k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线斜率公式:定两点21222111),,(),,(xxyxPyxP,用两点的坐标来表示直线21PP的斜率：1212xxyy

二、两条直线的平行与垂直

1、若已知直线方程为111:bxkyl与222:bxkyl

则：2121//kkll且21bb，12121kkll

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果2121bbkk且, 那么一定有21//ll；用一般式方程判断才是等价的：01221BABA且211221//0llCBCB

2、若已知直线方程为0:1111CyBxAl与0:2222CyBxAl，则01221BABA且211221//0llCBCB，2121210llBBAA

三、直线的方程

1、点斜式：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k，其方程是)(00xxkyy

2、斜截式：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(b，其方程是bkxy

3、两点式：已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxx，其方程是121121xxxxyyyy

人教版七年级数学上第三章一元一次方程知识点总结及应用题详解

人教版七年级数学上第三章一元一次方程知识点总结及应用题详解

天天补习社 阿狸艺编

一元一次方程

1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.

2．等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.

3．方程：含未知数的等式，叫方程.

4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！

5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.

6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

8．一元一次方程解法的一般步骤：

化简方程----------分数基本性质

去 分母----------同乘（不漏乘）最简公分母

去 括号----------注意符号变化

移 项----------变号

合并同类项--------合并后注意符号

系数化为1---------未知数细数是几就除以几

知能点1：市场经济、打折销售问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．

1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？

人教版七年级数学上第三章一元一次方程知识点总结

人教版七年级数学上第三章一元一次方程知识点总结

一元一次方程

1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.

2．等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.

3．方程：含未知数的等式，叫方程.

4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！

5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.

6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

8．一元一次方程解法的一般步骤：

化简方程----------分数基本性质

去 分母----------同乘（不漏乘）最简公分母

去 括号----------注意符号变化

移 项----------变号

合并同类项--------合并后注意符号

系数化为1---------未知数细数是几就除以几

10．列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

11．解实际应用题：

知识点1：市场经济、打折销售问题