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Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
柯西—施瓦茨积分不等式
柯西—施瓦茨积分不等式是一个数学定理，指出对于具有特定性质的函数，其积分的绝对值总是不大于函数的乘积的积分。
设f(x)和g(x)是定义在[a,b]上的实值函数，满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在[a,b]上连续；
2. f(x)和g(x)在[a,b]上可积；
3. 在[a,b]上，g(x)不为零。
那么柯西—施瓦茨积分不等式可以表述为：
∣∫[a,b]f(x)g(x)dx∣ ≤ √[∫[a,b]f^2(x)dx ∫[a,b]g^2(x)dx]
换句话说，函数f(x)和g(x)的乘积的积分的绝对值，总是小于等于函数f(x)的平方的积分和函数g(x)的平方的积分之积的平方根。
柯西—施瓦茨积分不等式在数学分析和其他领域中具有广泛的应用，例如在量子力学中的波函数的归一化、Hilbert空间的内积等方面都有应用。
高斯积分不等式是一个有广泛应用的数学定理，由拉格朗日在1734年发现。
它宣告了以下关于正态分布函数f(x)和它的积分F(x)之间的关系：Φ(x) ≤
f(x)F(x) 其中Φ(x)是拉格朗日函数，为0.5erf(x/2)。
高斯积分不等式的推广和应用 1、Hoeffding不等式。
Hoeffding不等式是高斯积分不等式的一般化，它宣布了以下关于服从指数分布的随机变量X的概率分布函数f(x)和它的积分F(x)之间的关系：Φ(x) ≤ f(x)F(x) 其中Φ(x)是哈夫丁函数，为erf(a*x+b)。
2、Chebyshev不等式。
Chebyshev不等式是高斯积分不等式的一般化，它宣告了以下关于任意分布的随机变量X的概率分布函数f(x)和它的积分F(x)之间的关系：Φ(x) ≤ f(x)F(x) 其中Φ(x)是切比雪夫不等式函数，为erf[a*(x-b)]。
3、
应用于估计理论。
利用高斯积分不等式可以得出一个最优的统计估计量，即最小均方误差估计量。
4、应用于信号处理。
高斯积分不等式可以用来研究信号处理中的图像处理、语音识别等问题，以提高系统的性能。
柯西积分不等式取等号的条件
他就跟我比划起来，手在空中乱晃，像个指挥家。
他说啊，这里面涉及到函数的一些特殊性质，什么线性相关之类的。
我听着就头疼，我就说：“你可别跟我整那些文绉绉的词儿，你就说像咱平常过日子一样，这事儿到底咋回事儿。
”
他就跟我讲，你就想象啊，这柯西积分不等式就像一个家庭里的财产分配，取等号的时候呢，就像是家里每个人都分得恰到好处，不多不少。
这函数之间啊，就像是家里的成员，得有某种特殊的关系，就好比大家都商量好了似的。
我就想啊，这函数还能商量？我脑袋里就出现了一群函数在那开会的画面，有高的函数，瘦巴巴的，有矮的函数，胖嘟嘟的，它们在一个大黑板前面争论着取等号的事儿。
他又说，从数学的严格意义上讲啊，这函数得在一定的条件下，就像是按照一个特殊的规则行事。
比如说，当两个函数满足某种比例关系的时候，就像你种庄稼，得按照节气和土地的肥力来种一样，这柯西积分不等式就取等号了。
我听着听着，好像有点明白了。
我就说：“你这一说，好像也不是那么难懂嘛。
”他就笑了，那笑啊，脸上的皱纹都挤到一块儿去了，像个干瘪的橘子。
我又想起来，我在一个小教室里看到一群学生在讨论这个问题。
那教室里的气氛啊，紧张又热烈。
有个学生眉头皱得死死的，像个疙瘩，他在纸上不停地写啊算啊。
旁边一个女生，眼睛亮晶晶的，好像已经懂了，还在给旁边的人解释。
我就凑过去听，那女生说：“这取等号啊，就像是数学世界里的一个小秘密，当我们找到函数之间那个特殊的联系的时候，这个秘密就被我们揭开了。
”。
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法本文介绍了定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法。
定积分不等式是指对于连续函数f(x)，有如下不等式成立：
∫a^b f(x)dx ≤ (b-a) · max {f(x)} (a ≤ x ≤ b)
其中，a,b 为实数，f(x) 在区间 [a,b] 上连续。
这个不等式的证明可以采用两种方法，一种是通过构造函数的方法，另一种是通过利用积分中值定理的方法。
对于最佳常数的求解，可以采用类似于证明方法一的思路，构造一个特定的函数来达到最优解。
具体来说，我们需要构造一个函数，使得该函数在区间 [a,b] 上取到最大值，并且在该最大值处与 f(x) 相等。
通过求解该函数的表达式，可以得到最佳常数的值。
通过这两种方法的分析和证明，可以更加深入地理解定积分不等式及其最佳常数的概念和应用，加深对数学知识的掌握和理解。
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关于推广的Ostrowski积分不等式
吕中学
【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(020)003
【摘要】通过引入参数r>1,给出了满足(1)/(p)+(1)/(q)=1-(1)/(r)的新的Ostrowski积分不等式,从而推广了Ostrowski积分不等式.
【总页数】4页(P19-22)
【作者】吕中学
【作者单位】徐州师范大学,工学院基础部,江苏,徐州,221011
【正文语种】中文
【中图分类】O17.178
【相关文献】
1.Ostrowski积分不等式对有限Hadamard积分变换的数值逼近 [J], 吕勇;刘兴国
2.几个推广的Ostrowski-Grüss型不等式及其应用 [J], 黄弘;徐国进
3.几个推广的Ostrowski-Grüss型不等式及其应用 [J], 黄弘;徐国进;
4.涉及二阶局部分数阶导数的广义Ostrowski型积分不等式 [J], 时统业; 曾志红
5.一个Ostrowski-Grüss型不等式的加强和推广 [J], 曾志红;时统业;张然然因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
２００５年第４４卷第１期数学通报３７分式型哥西不等式——证明分式不等式的一个利器徐彦明（山东临沂师范学院数学系２７６００１）读了《数学通报＞＞２００４年第２期《构造向量证三元分式不等式》一文Ｈｊ，笔者很叹服作者那种高超的“构造”技巧，作为工具的向量不等式ｌａ１２Ｉｂ１２≥（ａ·ｂ）２（１）简洁而深刻，它是欧几里得空间中的哥西——施瓦兹不等式．在用它证明分式不等式时，关键就是如何恰当地构造出向量ａ和参，这种构造是需要技巧的，文［１］举出的５个例子就体现了这种技巧，但是，技巧越高，难度也就越大，从这一个角度来说，构造向量证明分式不等式好象又不是一种最优的方案．那么，有没有比构造向量证明分式不等式更好的方案呢？当然有的．我们知道，向量不等式（１）在欧几里得空间彤中的表现形式是（口；＋ｔ／，；＋…＋０２。
）（ｂ；＋ｂ；＋…＋６２）≥（ｏｌｂ１＋０，２ｂ２＋…＋ａ．ｂ。
）２（２）这也就是通常所说的哥西不等式，其中啦和ｂｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）都是实数．由这个不等式（２）很容易推出，当缸是实数而Ｙｉ是正实数（ｉ＝１，２，…，ｎ）时，有（誓＋誓＋…＋手）（，，１＋ｙ２＋…＋ｈ）≥（菇１），１，，２ｈ一…’＋省２＋…＋菇。
）２（３）事实上，只需将Ｙｉ改写为（＾）２，就可以看出不等式（３）和（２）的关系，或者干脆地说，在不等式（２）中令口ｉ＝睾，ｂｉ＝＾（ｉ＝１，２…，ｎ）就导出不等√Ｙｉ式（３）了．需用线将它们连成一个网络（即使人可以从任一点出发沿此网络中之线走到任何别的点），问此网络应按什么方式连接这四点方使所用线的总长为最小．（１９９５年高考备选题）解首先，符合要求的网络一定是由直线段连成的．我们按照结点（从该点走出的线不止两条时的点）数多少对网络进行分类．取正方形的边长为ａ．（１）当网络中无结点时，网络相当于正方形的三边，总长为３０．（２）当网络中取一个结点时，由三角形两边之和大于第三边原理知，以正方形两条对角线组成的网络最优，其总长是２√２０．（３）当网络中有且仅有２个结点时，情形稍微复杂．我们采用局部调整法．图５（ａ）是网络一般情形，当保持ＡＭ＋ＢＭ不变时膨将在一个以Ａ、曰为焦点的椭圆上移动，同样保持ＣＮ＋ＤＮ不变Ⅳ也将在一个以Ｃ、Ｄ为焦点的椭圆上移动．所以当Ｍ、Ⅳ调整到使ＡＭ＝ＢＭ，ＣＮ＝ＤＮ时，即图５（ｂ）所示网络时，线的总长度较少（此时肘、Ⅳ两点最近）．再运用费尔马点性质，当将肘、Ⅳ调整到分别是ＡＡＯＢ、△ＣＯＤ的费尔马点处时，网络总长度最短，如图５（ｃ）．此时，么ＡＭＢ＝么ＢＭＮ＝么ＭＮＣ＝么ＣＮＤ＝１２００．网络总长为（１＋√３）口．（４）当网络中有３个或３个以上结点时，必存在某条直线段是多余的，如图５（ｄ）中的朋．故肯定不是长度最短的．综上所述，以图５（ｃ）的形式连接四点时，所用线的总长度为最短．当然，由于正方形的对称性，还存在另一种方式的连接图５（ｅ），但本质上与图５（ｃ）一致．ＢＣ圈５０丑Ｃ圈５ｄＢＣ图５ｅ～圆一圜澍～圜 万方数据３８数学通报２００５年第４４卷第１期不等式（３）通常被改写为以下形式：ｘ：菇；菇２ｎ万＋瓦＋…＋一Ｙｎ≥堕Ｌ±兰±二上丛（４）ｙｌ＋ｙ２＋…＋％其中戈ｆ是任意实数，Ｙｉ是任意正实数（ｉ＝１，２，…，ｎ），当且仅当兰：兰：…：一Ｘｎ时，其中的等号成Ｙ１Ｙ２ｙｎ立．这个分式型不等式（４）被称为分式型哥西不等式．笔者认为，它是证明一类分式不等式的利器．以下借用文…中的例子来说明这个不等式在证明分式不等式中的应用．例１设ｏ，ｂ，Ｃ∈Ｒ＋，则ａｂｃ１１１萨＋７＋孑≥一ａ＋ｉ＋ｉ’证由不等式（４），有。
高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-3平均值不等式选学2-4最大值与最小值问题优化的数学模型学案新人教B版选修4_5[读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)：设a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋an≥ ，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.①推论1：设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n.且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数；则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(2)定理2：设a1，a2，…，an为n个正数，则na1a2…an≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(3)定理3：设a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋an≥≥，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.推论：设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)(＋＋…＋)≥n2.2．最值问题设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[例1]求x＋y的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用。
