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第二讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.3 行列式的性质；§1.4 行列式按行（列）展开Ⅱ 教学目的与要求：了解行列式的性质，会将行列式按一行（一列）展开，会用行列式的性质计算一些较简单的行列式以及某些n 阶行列式Ⅲ 教学重点与难点：重点：行列式的性质，将行列式化为上三角行列式，行列式按行列展开 难点：行列式的计算Ⅳ 讲授内容：§1.3 行列式的性质定义1.8 行列式D 中的行与列对换后得到的行列式称为D 的转置行列式，记作T D即：若=D nnn n n n a a a a a a a a a ... (2)12222111211，则有=T D nnnnn n a a a a a a a a a ... (212221212111)注1 行列式的转置可以看作将行列式以主对角线为对称轴做对称变换；注2 D 中位于第i 行第j 列的元素ij a ，在T D 中位于第j 行第i 列；D 与T D 中同位于第i 行第j 列的元素，D 中是ij a ，而T D 中是ji a 性质1 D =T D证 D 中的项是取自不同行不同列的元素的乘积，可以表示为：n n nj j j j j j N a a a ...)1(212121)...(- 它的符号为) (21)1(n j j j N -而由于D 与T D 中的元素行列互换，这些元素在T D 中位于相应的不同列不同行， 因而它们的乘积nnj j j a a a (2)121也是T D 中的一项。
又由定理1.3知，作为T D 中的一项，它的符号可由行标排列n j j j ...21的逆序数与列标排列n...12的逆序数确定，因而在T D 中，其符号为)...()...12() (2121)1()1(n n j j j N n N j j j N -=-+综上所述，D 中的任一项都是T D 中的一项，且符号相同。
反之也成立 从而得证D =T D注 由本性质可知，行列式的行具有的性质，列同样也有。
§1.5 行列式的性质行列式是矩阵最为基础的性质之一，它具有众多的特性、定理和性质。
行列式在线性代数、微积分、算法设计、物理、统计学等众多学科中都有着广泛的应用。
了解行列式的性质可以帮助我们更好地掌握矩阵的相关知识，在各个领域更为灵活地应用数学知识。
行列式的性质包括：1. 矩阵中任意两行（列）交换，行列式的值变号，即 $det(A) = - det(A^T)$，其中$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
2. 矩阵中某一行（列）加上另一行（列）的若干倍，行列式的值不变。
3. 矩阵中某一行（列）乘以一个非零常数 $k$，行列式的值乘以 $k$。
5. 对于$n$阶矩阵，行列式可以按任意一行（列）展开，展开后的行列式值等于该行列式中所有元素的代数余子式乘以对应元素的余子式。
6. 若矩阵中有两行（列）的对应元素成比例，则该矩阵的行列式为 $0$。
7. 若矩阵 $A$ 是可逆的，则其行列式值不为 $0$，并且$det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$。
8. 对于矩阵 $A$ 和 $B$，$det(AB)=det(A)det(B)$，其中 $A$ 和 $B$ 的阶数应当相同。
9. 对于 $n$ 级单位矩阵 $I_n$，其行列式的值为 $1$。
这些性质并不是行列式的全部，但是是最基本的性质。
它们在计算行列式的各种方法和技巧中发挥了重要的作用。
掌握这些性质可以使我们更加熟练地应用行列式进行矩阵运算和分析问题。
接下来，我们将对一些常用的性质和定理进行详细的讲解。
对于$n$级方阵$A$，若将它的任意两行交换，则其行列式$det(A)$的值变号。
这意味着行列式具有交换性和反对称性。
对于$n$级矩阵$A$，如将它的第$i$行与第$j$行交换，则有：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}$$使用这一方法可以将行列式划分成多个简单的子项，方便进行计算。
