模拟卷对2009年高考数学上海卷理科第22题的深入研究

对2009年高考数学上海卷理科第22题的深入研究卫福山（上海市松江二中）2009年高考数学上海卷理科第22题如下：已知函数y=f -1(x)是y=f(x)的反函数。

定义：若对给定的实数a(a ≠0)，函数y=f(x+a)与y=f -1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足“a 和性质”。

若函数y=f(ax)与y=f -1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足“a 积性质”。

（1）判断函数g(x)=x 2+1(x ＞0)是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f(x)(x ＞0)对任何a ＞0满足“a 积性质”，求y=f(x)的表达式。

这道题目的得分率很低，特别是第（3）问的得分率低于0.1，算是一道难度偏大的题。

但从数学研究的角度，笔者对这道题进行了较深入的研究，觉得还是有一定的价值的，对中学数学教师的教学有一定的启示。

一、对题目的理解本题算是一道概念学习型问题，是从反函数的概念引发而来的，对高中生而言并不陌生，但反函数是学生学习中的难点。

学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。

1．关于题设的理解（1）从代数角度，由于y=f -1(x+a)的反函数为y=f(x)-a ，故函数y=f(x+a)与y=f -1(x+a)互为反函数即满足f(x+a)=f(x)-a 。

同理，函数y=f(ax)与y=f -1(ax)互为反函数，则1()()f ax f x a=。

（2）从几何角度，不妨假定a ＞0，由于函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平行移动a 个单位得到的，函数y=f -1(x+a)的图象是由函数y=f -1(x)的图象向左平行移动a 个单位得到的，所以函数y=f(x+a)与y=f -1(x+a)的图象关于直线y=x+a 对称。

同理，函数y=f(ax)与y=f -1(ax)的图象关于直线y=ax 对称。

2．关于问题的理解试题的第（1）问和第（2）问是让考生研究满足“a 和性质”的特殊函数，这里起点很低，一个是给定一个具体函数，让考生按照定义去验证，一个是让考生利用待定系数法求出一类满足“a 和性质”的函数（即一次函数）。

上海市闸北区2009届高三模拟考试卷数学（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题 (本大题满分50分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得5分，否则一律得零分. 1．函数x y 5.0log =的定义域为___________.2．若21cot -=α，则tan 2α的值为 ． 3．增广矩阵为⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛851231 的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 ．4．若9)12(-x 展开式的第9项的值为12，则)(lim 2nn x x x +++∞→ = ．5．已知向量和的夹角为︒120，2||=，且⊥+)2(，则=||________． 6．在极坐标系中，定点A )2,3(π，点B 在曲线θρcos 2=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 ．7．设圆C 与双曲线221916x y -=的渐近线相切，且圆心在双曲线 的右焦点，则圆C 的标准方程为 . 8．方程1|2sin|-=x xπ的实数解的个数为 ．9．如图1是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是__________． 图1 10．设R b a ∈,，且b a b ab a +=+-22，则b a +的取值范围为 ． 二．选择题（本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错一律得零分．11．已知复数1z i =-，则=--122z zz ……………………………………………………（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-12．过点)2,1(-A ，且与向量(4,3)m =-平行的直线的方程是…………………………( ) A ．01034=--y x B ．01034=++y x C ．0543=++y xD ．0543=+-y x13．在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边长，且满足条件a b c 2,2==，则ABC ∆面积的最大值为…………………………………………………………………( ) A ．1B ．23 C ．34 D ．2三．解答题 (本大题满分85分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.14．（本小题满分14分）如图2，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ABCD ⊥底面，2OA =，M 为OA 的中点．（Ⅰ）求异面直线OC 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求点M 到平面OCD 的距离．15．（本小题满分15分）一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0~9中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；其他情况均无奖金．（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率； （Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A ，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B ，请指出事件B A 的含义，并求事件B A 发生的概率； （Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量ξ，求ξ的数学期望．16．（本小题满分16分）设xx a x f 212)(+-=，其中实常数1-≥a ．（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域和值域；（Ⅱ）试研究函数)(x f 的基本性质，并证明你的结论．17．（本小题满分20分） 将数列{}n a 中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a……记表中的第一列数1a ，4a ，8a ，… ，构成数列{}n b ． （Ⅰ）设m a b =8，求m 的值；（Ⅱ）若11=b ，对于任何*∈N n ，都有0>n b ，且0)1(1221=+-+++n n n n b b nb b n ．求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{}n b ，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(>q q 的等比数列，且5266=a ，求上表中第k （*∈N k ）行所有项的和)(k S ．18．（本小题满分20分） 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系xyz O -中，空间曲面的方程是一个三元方程0),,(=z y x F ．（Ⅰ）在直角坐标系xyz O -中，求到定点)1,2,0(0-M 的距离为3的动点P 的轨迹（球面）方程；（Ⅱ）如图3，设空间有一定点F 到一定平面α的距离为 常数0>p ，即p FM =||，定义曲面C 为到定点F 与到 定平面α的距离相等（||||PN PF =）的动点P 的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系xyz O -，求曲面C 的方程； 图3 （Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面C 的几何性质．并在图4中通过画出曲面C 与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面C 的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面C 自身遮挡部分．闸北区09届高三数学（理）学科模拟考试参考答案与评分标准一．填空题：1．]1,0(； 2．43； 3．)1,3(- 4．2； 5．8； 6. )3,1(π； 7．16)5(22=+-y x ； 8．3； 9．)316,0(； 10．]4,0[．二．选择题：11．B ； 12．C ； 13．C ． 三．解答题：14．[解]（Ⅰ）方法一（综合法）设线段AC 的中点为E ，连接ME ，则EMD ∠为异面直线OC 与MD 所成的角（或其补角） ………………………………..1分由已知，可得5,3,2===MD EM DE ，222)5()3()2(=+DEM ∆∴为直角三角形 (1)分32tan ==∠∴EMDEEMD ， (4)分323arctan =∠∴EMD ． 所以，异面直线OC 与MD 所成角的大小323arctan ． …………………………..1分方法二(向量法)以AB,AD,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，则)0,2,0(),1,0,0(),0,2,2(),2,0,0(D M C O , ……………………………………………………2分)2,2,2(-=，)1,2,0(-=， (1)分设异面直线OC 与MD 所成角为θ，515||||cos =⋅=MD OC θ．……………………………….. …………………………2分∴OC 与MD 所成角的大小为515arccos．…………………………………………………1分（Ⅱ）方法一（综合法）作OD MF ⊥于F ， ……………………………………………………………………………1分CD OA ⊥ 且CD AD ⊥，⊥∴CD 平面ADO MF CD ⊥∴⊥∴MF 平面OCD ………………………………………………………………………………4分所以，点M 到平面OCD 的距离22=ME …………………………………………………2分方法二(向量法)设平面OCD 的一个法向量),,(z y x =，⎩⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0220200z y x n DO …………………………………………………………………2分y z x ==∴,0．)1,1,0(=n (2)分设M 到平面OCD 的距离为h则22||||=⋅=DM n n h ．……………………………………………………………………3分 15．[解]（Ⅰ）设“小明中一等奖”为事件1B ，“小辉中一等奖”为事件2B ，事件1B 与事件2B 相互独立，1B 2B 他们俩都中一等奖，则0001.001.001.0)()()(2121=⨯==B P B P B B P所以，购买两张这种彩票都中一等奖的概率为0001.0． ………………………………..4分（Ⅱ）事件B A 的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”…1分显然，事件A 与事件B 互斥， 所以，1.0101109101101)()()(=⨯+⨯=+=B P A P B A P ………………………………..3分故购买一张这种彩票能中奖的概率为1.0．……………………………………………………..1分（Ⅲ）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，ξ的分布列如下：ξ 2- 0 8 P9.009.001.0…………………………………………..………………………………………………….3分72.101.0809.009.02-=⨯+⨯+⨯-=ξE购买一张这种彩票的期望收益为损失72.1元．…………………………………………………..3分16．[解] （Ⅰ）由于021>+x恒成立，所以函数)(x f 的定义域为R ………………..2分121121221)(+++-=++--=xx x a x f ， （1）当1-=a 时，函数1)(-≡x f ，函数)(x f 的值域为}1{-…………………………1分（2）当1->a 时，因为02>x，所以112>+x ，11210+<++<a a x，从而a x f <<-)(1，………………………………………………..3分 所以函数)(x f 的值域为),1(a -． ……………………………………………………….1分 （Ⅱ）假设函数)(x f 是奇函数，则，对于任意的R x ∈，有)()(x f x f -=-成立，即10)12)(1(212212=⇔=+-⇔+--=+---a a a a x xxx x ∴当1=a 时，函数)(x f 是奇函数． …………………………………………………….2分 当1-=a 时，函数1)(-≡x f 是偶函数． ………………………………………………..2分 当1->a ，且1≠a 时，函数)(x f 是非奇非偶函数． ………………………………….1分对于任意的R x x ∈21,，且21x x <，-)(1x f )(2x f 0)21)(21()12(2)1(21121≥++-+=-x x x x x a ………………………………………..3分 所以，当1-=a 时，函数)(x f 是常函数 ………………………………………..1分∴当1->a 时，函数)(x f 是递减函数． ………………………………………..1分17．[解]（Ⅰ）由题意，4319876543=+++++++=m ……………………………6分（Ⅱ）解法1：由11=b 且0)1(1221=+-+++n n n n b b nb b n 知012222=-+b b ，02>b ，212=∴b 012323=-+b b ，03>b ，213=∴b因此，可猜测nb n 1=（*∈N n ） (4)分 将n b n 1=，111+=+n b n 代入原式左端得 左端11+=n n 1-0)1(1=++n n 即原式成立，故nb n 1=为数列的通项．……………………………………………………….3分用数学归纳法证明得3分解法2：由 0)1(1221=+-+++n n n n b b nb b n ，0>n b令nn a a t 1+=得0>t ，且0)1(2=-++n t t n 即0])1)[(1(=-++n t n t ，……… ……………………………………………………………..4分 所以11+=+n nb b n n 因此2112=b b ，3223=b b ，．．．，nn b b n n 11-=- 将各式相乘得nb n 1=………………………………………………………………………………3分 （Ⅲ）设上表中每行的公比都为q ，且0q >．因为6311543=+⋅⋅⋅+++，所以表中第1行至第9行共含有数列{}n b 的前63项，故66a 在表中第10行第三列，………2分因此5221066=⋅=q b a ．又10110=b ，所以2q =． …………………………………..3分则)12(11)1()(22-=--=++k k k kq q b k S ．*∈N k …………………………………………2分18．[解]（Ⅰ）动点P 的轨迹是以0M 为原点，以3为半径的球面 ……………………………1分并设动点P 的坐标为),,(z y x ，动点P 满足3||0=PM ． 则球面的方程为9)1()2(222=++-+z y x ． …………………………………………………4分（Ⅱ）设动点),,(z y x P ，则||||PN PF = 所以|2|)2(222pz p z y x +=-++ ……………………………………………………………5分整理得曲面C 的方程：pz y x 222=+ （*） …………………………………………2分若坐标系原点建在平面α上的点M 处，可得曲面C 的方程：)2(222pz p y x -=+同样得分．（Ⅲ）（1）对称性：由于),,(z y x P 点关于xOz 平面的对称点),,(z y x -、关于yOz 平面的对称点),,(z y x -均满足方程（*），所以曲面C 关于x O z 平面与y O z 平面对称． …………………2分又由于),,(z y x P 点关于z 轴的对称点),,(z y x --满足方程（*），所以曲面C 关于z 轴对称．（2）范围：由于022≥+y x ，所以，0≥z ，即曲面C 在xOy 平面上方． (2)分（3）顶点：令0=z ，得0==y x ，即坐标原点在曲面C 上，O 点是曲面C 的顶点． (2)分…………………………2分。

2009年上海市高考数学试卷（理科)一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．若复数z 满足z （1+i ）=1-i （i 是虚数单位），则其共轭复数z =_________． 【测量目标】复数的基本概念;复数代数形式的四则运算. 【考查方式】化简复数等式，求解一个复数的共轭复数. 【难易程度】中等 【参考答案】i【试题解析】设z ＝a ＋b i,则（a ＋b i ）(1+i) =1-i,即a －b ＋（a ＋b )i ＝1－i ，（步骤1）由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ,解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i,故答案为i ．（步骤2) 2．已知集合A ={x |x1｝，B =｛x |xa ｝,且A B =R ，则实数a 的取值范围是_________．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合,已知集合间的关系,运用数轴法求解集合中未知参数的取值范围． 【难易程度】容易 【参考答案】a1【试题解析】因为A B =R ,画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a 1。

第2题图3．若行列式4513789xx 中，元素4的代数余子式大于0,则x 满足的条件是_________．【测量目标】矩阵初步.【考查方式】根据代数余子式的概念，列出关于x 的不等式求出取值范围. 【难易程度】中等【参考答案】x ＞83【试题解析】依题意，得： (-1）2⨯(9x -24）＞0，解得：83x >，故答案为：x ＞83. 4．某算法的程序框如下图所示,则输出量y 与输入量x 满足的关系式是_________．第4题图【测量目标】选择结构程序框图.【考查方式】给出程序框图，按照程序框图的执行流程分析循环过程，判断输入值与输出值之间的关系。

【难易程度】容易 【参考答案】2,12,1xx x y x->⎧=⎨⎩【试题解析】根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y 与输入量x 满足的关系式是2,12,1x x x y x ->⎧=⎨⎩，故答案为：2,12,1xx x y x ->⎧=⎨⎩. 5．如图,若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4,则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是_________。

09年上海高考数学科试卷点评与信息汇总一．总体变化情况（1）题量变化往年数学上海卷的总体量一般是21题，其中12道填空题、4道选择题以及5道解答题。

而今年出现了23道题，其中选择解答题数量保持不变，但多了2道填空题。

（2）试题立意变化前几年试题是以能力立意，教师和学生都熟悉了以题型训练为主的应试方式；而今年的高考数学题以课程立意的，命题围绕新课程标准重视知识创新和基本能力的考查。

（3）题型灵活今年的理科卷对进行“题海战术”的考生来说难度增大，题目无论从表述方式还是出题形式都比较灵活，需要对于知识的熟练掌握并能灵活应用。

同时，新概念题数量的增加也对考生答卷产生了一定的影响。

（4）新增课改内容理科卷新增了对算法、矩阵、行列式、向量、概率统计等内容的考查，且要求较高。

但这部分内容并未超纲，在之前的09考纲中也有提到需要掌握七大新增考点：①矩阵意义和线性方程的表示；②行列式按行、列展开并解方程组；③算法考框图；④子集与推出关系；⑤对立事件概率；⑥立体几何增加旋转体；⑦文科增加三视图、平行投影和中心投影；理科增加互斥事件、独立事件概率和随机变量分布。

虽然题型和内容变化很多，但是可以清晰地看到，上海试卷仍然侧重于对思维的灵活性和严密性进行考察，尤其要求学生能够设出核心变量并进行严谨分类讨论。

弱化固有算法和固有技巧，强调对题目整体把握和严谨讨论。

与之靠题海战术取胜的学生而言更适合从本质上对知识理解的同学。

（二）具体详谈题目填空题：1. 本题主要考察了复数的四则运算和复数的共轭。

属于中规中矩的复数题。

2. 本题属于对逻辑关系的考察。

和二次函数的定义域为R值域为R的问题比较想象。

3. 矩阵行列式的考察属于对新增知识点的考察，考察也是侧重于知识点。

4. 算法的题目，主要仍然是对于数列逐项分析判断的考察5. 本题将原本在大题第一题的立体几何题目变简单一点转换成一道填空6. 对于三角变化和二次函数区间值域的考察属于将两个常见知识点的常见综合7. 对于新概念的基本考察，考前就放风要考，考时也就顺其自然。

上海市卢湾区2009年高考模拟考试数学试卷（理科）2009. 04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必．须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R ð ． 2．不等式120010321x x x +-≥的解为 ． 3．设f x ()的反函数为1()f x -，若函数f x ()的图像过点(1,2)，且1211f x ()-+=， 则 x = ．4．若11i z =+，2i z a =-，其中i 为虚数单位，且12z z ⋅∈R ，则实数a = ．5．二项式6x ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为 ．6．若点00(,)M x y 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线 200x x y y r +=与该圆的位置关系是 ．7．将参数方程212cos ,,x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，θ∈R ）化为普通方程，所得方程是 ． 8．右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是 ．9．在ABC ∆中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222b c a +=， 且a =, 则C ∠= ．10．若函数2()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭能使得不等式2|()|f x m -<<在区间203π⎛⎫⎪⎝⎭,上恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 11．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A 、B 、C 三点在同一直线上的充要条件（第8题）为存在惟一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=⋅+-⋅成立，此时称实数λ为“向量OC关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知1(3,1)P 、2(1,3)P -，且向量3OP 是直线:100l x y -+=的法向量，则“向量3OP 关于1OP 和2OP的终点共线分解系数”为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.12．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )A ．若//m α，n αÜ，则//m n ；B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥；C ．若//m α，//n α，则//m n ；D ．若m αβ= ，m n ⊥，则n α⊥． 13．若函数()f x =53,42θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，(sin 2)(sin 2)f f θθ--可化简为 ( )A ．2sin θ；B ．2cos θ-；C ．2sin θ-；D ．2cos θ． 14．设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若21(3)12n n S a =+(N n *∈)，则{}n a ( ) A ．是等差数列，但不是等比数列； B ．是等比数列，但不是等差数列； C ．是等差数列，或是等比数列； D ．可以既不是等比数列，也不是等差数列．15．关于函数131()22x x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭和实数m 、n 的下列结论中正确的是 ( )A ．若3m n -<…，则()()f m f n <；B ．若0m n <…，则()()f m f n <；C ．若()()f m f n <，则22m n <；D ．若()()f m f n <，则33m n <. 三、解答题（本大题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. (本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分)如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径.（1）求证：1BP A P ⊥；（2）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，120AOP ∠=︒，求异面直线1A B 与AP 所成的角（用反三角函数值表示结果）.1A 1A（第16题）17． (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球.（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；（2）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的概率分布律，并求ξ的数学期望E ξ和方差D ξ.18. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，且对任意正整数n ，都满足：1n n ta A -=，其中1t >为实数.（1）求数列n a {}的通项公式；（2）若n b 为杨辉三角第n 行中所有数的和，即01nn n n nb C C C =+++ ，n B 为杨辉三角前n 行中所有数的和，亦即为数列{}n b 的前n 项和，求lim nn nA B →∞的值.19．(本题满分17分，第1小题6分，第2小题11分) 已知函数1()|21|x f x -=-，()R x ∈.（1）证明：函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，并指出函数()f x 在区间(),1-∞上的单调性；（2）若函数()f x 的图像与直线y t =有两个不同的交点(,)A m t ，(,)B n t ，其中m n <，求mn 的取值范围.20. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题9分) 如图，已知点(3,0)H -，动点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，其横坐标不小于零，点M 在直线PQ 上，且满足0HP PM ⋅= ，32PM MQ =- .（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ； （2）过定点(1,0)F 作互相垂直的直线l 与l '，l 与 （1）中的轨迹C 交于A 、B 两点，l '与（1）中的轨迹C 交于D 、E 两点，求四边形ADBE 面积S 的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题， 则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：① （解答本题，最多得6分）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：2212x y +=，并 将（2）中的定点取为焦点()1,0F ，求与（2）相类似的问题的解；② （解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：22221x y a b+=，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解.2009学年卢湾区高考模拟考试数学试卷评分标准（理科）一、填空题（本大题共11题，每小题5分，满分55分） 1．(2,2)- 2．22x ≤ 3．12 4．1- 5．15 6．相离 7．23(13)y x x=-剟 8．10i > 9．712π10．(1,2] 11．1-二、选择题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 12．B 13． D 14．D 15．C 三、解答题（本大题满分75分） 16．（1）证明：易知AP BP ⊥，又由1AA ⊥平面PAB ，得1AA ⊥BP ，从而BP ⊥平面1PAA ，故1BP A P ⊥； （4分）（2）解：以O 为原点，分别以OB ，1OO 为x ，z 轴的正向，并以AB 的垂直平分线为y 轴，建立空间直角坐标系.由题意211412V OA AA AA =π⋅⋅=π⋅=π，解得13AA =. （6分） 易得相关点的坐标分别为：()2,0,0A -，()10P ,，()12,0,3A -，()2,0,0B .得()3,AP =- ，()14,0,3A B =-， （9分）设1A B 与AP 的夹角为θ，异面直线1AB 与AP 所成的角为α，则11cos 05A B AP A B APθ⋅==>⋅，得arccos 5αθ==，即异面直线1A B 与AP 所成的角为arccos5（12分） 17．解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为11173419C C C +=种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为2828C =，故所求概率为1928； （6分） （2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有114312C C =种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有214424C C =种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有344C =种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种.由题意随机变量ξ的取值可以为1，2，3. 得随机变量ξ的概率分布律为：3123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=， （13分） 22293939191235105551025D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （14分） 18．解：（1） 由已知111n n ta A ++-=，1n n ta A -=，相减得11n n n ta ta a ++-=，由10t ->得11n n a t a t +=-，又111ta a -=，得111a t =-，故数列{}n a 是一个以111a t =-为首项，以1tq t =-为公比的等比数列. （4分） （12分）从而111111n nn t t a t t t t -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭n ∈*N ； （6分） （2）111nn n t A ta t ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭， （7分）又012nn n n n n b C C C =+++= ，故()221n n B =-， （11分）于是111lim lim 22nn n n n nt A t B +→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-， 当21tt =-，即2t =时，1lim 2n n nA B →∞=，当21tt <-，即2t >时，lim 0n n nA B →∞=，当21tt >-，即12t <<时，lim n n nA B →∞不存在. （14分）19．（1）证明：任取1(1,)x ∈+∞，2(1,)x ∈+∞，且12x x <，()1212111112()()2121(21)21x x x x f x f x -----=---=---121(22)2x x =-， 12121212,22,220,()()x x x x x x f x f x <∴<∴-<∴< .所以()f x 在区间(1,)+∞上为增函数. （5分） 函数()f x 在区间(),1-∞上为减函数. （6分） （2）解：因为函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，相应的函数值为(0,)+∞，在区间(),1-∞上为减函数，相应的函数值为(0,1)，由题意函数()f x 的图像与直线y t =有两个不同的交点，故有(0,1)t ∈， （8分）易知(,)A m t ，(,)B n t 分别位于直线1x =的两侧，由m n <，得1m n <<，故1210m --<，1210n -->，又A ，B 两点的坐标满足方程121x t -=-，故得112m t -=-，121n t -=-，即2log (22)m t =-，2log (22)n t =+， （10分）故22log (22)log (22)mn t t =-⋅+， 当102t <…时，01m <…，21log 3n <…，故20log 3mn <…， 又()()22222211log (44)log 41444m n mn t +⎡⎤=-<=⎣⎦≤，因此01mn <…； （14分）当112t <<时，0m <，20log 32n <<<，从而0mn <； （16分） 综上所述，mn 的取值范围为(,1)-∞. （17分）20. 解：（1）设()(),,0,,M xy P b (),0Q a (0)a ≥，易知()3,HP b = ，(),PM x y b =-，(),MQ a x y =-- ，由题设32PM MQ =-，得()3,23,2x a x y b y ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩其中0a ≥，从而13a x =，12b y =-，且0x ≥，又由已知0HP PM ⋅=，得HP PM ⊥，当0b ≠时，0y ≠，此时3HP b k =，得3PM k b=-，又PM PQ k k =，故3b a b -=-，23b a =，即2111332x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，24y x =()0x ≠，当0b =时，点P 为原点，HP 为x 轴，PM 为y 轴，点Q 也为原点，从而点M 也为原点，因此点M 的轨迹C 的方程为24y x =，它表示以原点为顶点，以()1,0为焦点的抛物线； （4分）（2）由题设，可设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，直线l '的方程为()11y x k=--，()0k ≠，又设()11,A x y 、()22,B x y ，则由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ，整理得2440ky y k --=，故()2241k AB k +=，同理()241DE k =+， （7分）则()()222224111141823222k S AB DE k k k k +⎛⎫=⋅=⋅⋅+=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当1k =±时等号成立，因此四边形ADBE 面积S 的最小值为32. （9分） （3）① 当0k ≠时可设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +-+-=，故12AB k =+，2DE k =+， （12分）()()()22242222241221622925212225k k S k k k k k k+==-=-++++++≥， 当且仅当21k =时等号成立. （14分）当0k =时，易知AB =，DE =1629S =>，故当且仅当21k =时四边形ADBE 面积S 有最小值169. （15分）② 由题设，可设直线l 的方程为y kx =，当0k ≠时，由22221y kx x y a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()2222220b a k xa b +-=，得AB =，同理DE =， （12分）则2222112a b k S AB DE +=⋅=，其中20k >，若令21u k =+，则由()()()()()2222222222442222221b a k b k a a u c b u c c c v a b u u uk ++-+===+-+()222241124a b c u +⎛⎫=--+⎪⎝⎭，其中1u >，即101u<<，故当且仅当2u =，即21k =时，v 有最大值()2224a b +，由22S =，得S 有最小值22224a b a b +，故当且仅当1k =±时，四边形ADBE 面积S 有最小值为22224a b a b +. （17分）又当0k =时，2AB a =，2DE b =，此时2S ab =，由222242a b ab a b<+，得当且仅当1k =±时，四边形ADBE 面积S 有最小值为22224a b a b +. （18分）。

2009年上海高考理科数学试题分析丁红玲09年上海高考数学试题，无论是试题结构还是试题形式，还是解决方法上都给广大师生以较大的“冲击”。

首先是题型较新，有在教材和平时练习中从未出现过的问题；二是二期课改的教材的新增内容也占一定比例；三是有与时事紧密相联系的问题。

具体分析如下：一、各题考察内容和数学思想方法的分析第1题.考察复数的四则运算和复数的共轭。

是常规的复数题。

基本计算第2题.对逻辑关系的考察。

类似于二次函数的定义域为R值域为R的问题。

数形结合第3题矩阵行列式的考察，新增知识点的考察。

基本计算第4题. 算法的题目，主要仍然是对于数列逐项分析判断的考察。

分类讨论第5题. 立体几何空间角的求法。

转化思想第6题. 与三角函数有关的值域的求法基本计算，化归思想第7题. 对于新概念的基本考察。

意料之中的题目基本计算第8题. 球的表面积公式基本计算，类比方法第9题.椭圆的定义。

属于填空中解析几何的常见题目。

转化思想，数形结合第10题.极坐标方程与直角坐标方程形式的转化的考察。

数形结合第11题.函数单调性，三角函数，恒成立问题进行综合考察。

函数方程思想，数形结合第12题. 单调性，奇偶性和数列的结合化归思想，函数方程思想第13题.区间讨论问题的考察，和绝对值的不等式十分相像式。

转化思想，数形结合第14题.函数的定义和图像，圆的方程的综合考察。

转化思想，数形结合。

第15题.对充要条件的考察。

基本计算第16题.排列组合概率和统计初步。

基本计算第17题. 仍然是对于统计初步的考察。

实际应用型能力，基本计算与推理第18题.函数连续性和单调性的考察要求学生总体上对函数性质有所把握。

转化思想，数形结合，数学建模思想第19题. 一如既往的立体几何，一如既往的向量法，没有任何变化。

基本计算，数形结合第20题. 结合分段函数对函数的性质和值域进行考察，仍然是新包装下的老题目，函数的单调性的证明，考查新知识学习型能力。

基本计算，化归思想第21题.本题主要考察了考生对于双曲线渐近线的求解和几何意义的理解。

09年上海高考数学试题分析大新中学邵婧09年上海高考数学试题，无论是试题结构还是试题形式，还是解决方法上都给广大师生以较大的“冲击”。

首先是题型较新，有在教材和平时练习中从未出现过的问题；二是二期课改的教材的新增内容也占一定比例；三是有与时事紧密相联系的问题。

总体分析今年高考数学试卷, 总结如下：一、试卷结构有很大变化：今年上海数学卷题型仍为填空、选择和解答三大题。

但是题量和往年有很大变化。

1，填空题由去年的11道变为14道，分值为4分一题；而非之前广泛看好的12道填空题，每题5分的模式。

2，选择题仍为4道，每道也为4分，符合之前预期。

3，解答题从原来的6道大题，减少到今年的5道。

这主要是减少学生书写量，也是方便网上阅卷。

二、试题难度变化1，今年总体难度初步定为4：4：2，较往年6：3：1等的难度有明显上升，送分减少。

之前只要掌握基础部分，105分左右问题不大，但是今年掌握好基础，一般也只能拿到85分左右。

所以部分考生可能会觉得题目较难，比自己之前做过的练习都要难。

2，这次填空题和选择题中也出现了较多难题，使学生在这两部分上耗时太多。

第22题考查抽象函数，其内容为大多数学生所不熟悉，有点竞赛题的味道，第23题是数列的压轴题，自然也不容易。

3。

新题的数量较多。

很多问题呈现的方式与传统复习题不同。

有些题，叙述很简单，但要回归为基本数学问题能力要求高；有些题给出了新定义、新情境，对学生阅读理解的能力要求较高。

三、考查知识点有变化今年是新教材全面铺开的第一年高考，与老教材相比，新教材增加了很多内容，如理科卷中，对算法、矩阵、行列式、向量、概率统计等内容都有考查，并且都有较高的要求本次试卷有5个小题和一个解答题涉及新增内容，如矩阵、向量、概率统计等。

四、文理科数学卷差异本次数学卷觉得很难的主要是理科学生，特别是理科试卷的解答题，第一道立体几何的答题时大家熟悉的二面角，用向量的方法很容易搞定。

第二道大题就会让部分学生陷入痛苦。