【全国百强校】福建省厦门双十中学2017届高三上学期期中考试理数(原卷版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z 等于（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()i i i i i +=+-+=-2222525，由复数z 与52i -对应的点关于实轴对称可得i z -=2，故选B.考点：复数的运算性质.2.已知集合{}{}2|20,|2,xA x x xB y y x R =+-≤==∈，则A B 等于（ ）A ．∅B ．[)1,+∞C ．(]0,2D ．(]0,1 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得{}12≤≤-=x x A ，{}0>=y y B ，则{}10≤<=x x B A ，故选D. 考点：集合的运算.3.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分条件、必要条件的判定.4.若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 【答案】B 【解析】试题分析：()1,02sin ∈=a ，01log 2log 3131=<=b ，121log 31log 2121=>=c ，则c a b >>，故选B.考点：不等式与不等关系.5.若函数()()1cos ,36f x x x x ππ=-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 C1 【答案】C考点：同角三角函数基本关系的应用. 6.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：因为将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位．若所得图象与原图象重合，所以2π是已知函数周期的整数倍，即22πωπ=⋅k （Z k ∈），解得k 4=ω（Z k ∈），A ，C ，D 正确．故选B ．考点：函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换.7.设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f x =的图像可以近似的看成函数()sin y k A t ωϕ=++的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ） A ．[]123sin,0,246y t t π=+∈ B ．[]123sin ,0,2462y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭C ．[]123sin ,0,2412y t t π=+∈ D ．[]123sin ,0,24122y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ 【答案】A考点：由()b x A y ++=ϕωsin 的部分图象确定其解析式.【方法点睛】本题考查由()b x A y ++=ϕωsin 的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属于基础题．在该题中通过排除法进行求解，由()y f x =可以近似看成()sin y k A t ωϕ=++的图象，故可以把已知数据代入()sin y k A t ωϕ=++中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．8.已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2 D 【答案】D【解析】试题分析：设t PF =2，则t PF 31=，∴a t t 23=-，∴a t =，由余弦定理可得222222213253249cos a c a a a c a a PF F -=⨯⨯-+=∠，∵212PF PF a = ，∴22223253a ac a a a =-⋅⋅，∴a c 2=，∴2=e ．故选D ．考点：双曲线的简单性质.【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题．设t PF =2，则t PF 31=，利用双曲线的定义，可得a t =，利用余弦定理可得222222213253249cos a c a a a c a a PF F -=⨯⨯-+=∠，再利用数量积公式，即可求出双曲线c 的离心率．9.ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足,2AB a AC a b ==+，，则下列结论错误的是（ ）A ．1b =B ．()a b b +⊥ C ．1a b =D ．a b +=【答案】C考点：平面向量数量积的运算. 10.若函数()1sin 2cos 2f x x a x =+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：∵()1sin 2cos 2f x x a x =+在区间()0,π上是增函数，∴()0sin 2cos >-='x a x x f ，∴0sin sin 212>--x a x ，即0122>+--ax x ，(]1,0∈x ，∴x x a 12+-<，令()x x x g 12+-=，则()0122<--='xx g ，∴()x g 在(]1,0∈x 递减，∴()11-=<g a ，故答案为：1-<a ．故选：A ．考点：（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）正弦函数的图象. 11.()()()(),00,sin xf x x xππ=∈- 大致的图像是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由()()()x f x x x x x f ==--=-sin sin ，∴()x f 为偶函数，故可排除B ；当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，x x sin >，即1sin >xx，则排除A 、D ；故选C. 考点：函数的图象. 12.已知函数()()(),ln 24x aa x f x x eg x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln 2B ．ln 21-C ．ln 2-D ．ln 21-- 【答案】D考点：函数与方程的综合运用.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系的综合应用，属于中档题．令()()()x a a x e x e x x g x f --++-+=-42ln ，运用导数求出()2ln +-=x x y 的单调性求其最小值；运用基本不等式可得44≥+--x a ax e e ，从而可证明()()3≥-x g x f ，由等号成立的条件，从而解得a ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知θ是钝角，且1sin 3θ=，则cos 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】9考点：三角函数求值.14.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+，则λμ+=____________．【解析】试题分析：如图所示， 建立直角坐标系．∵30=∠BOC ，1=OC ．∴()30sin ,30cos C ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23，C ．∵ 120=∠AOB ，∴()120sin ,120cos A ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，A ．又()0,1B ，OC OA OB λμ=+ ．∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫⎝⎛-=λμλ23212123，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233μλ．∴3=+μλ，考点：向量的线性运算及几何意义.15.n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________． 【答案】21n +考点：数列递推式.16.已知[],0,x y π∈，则()y x y x cos cos cos 2+++的最小值为_____________．【答案】94- 【解析】试题分析：由于2cos 2cos2cos cos yx y x y x -+=+， ()22cos 412cos 22cos 222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x y x ，令2cosy x t +=，2cos y x b -=， 故原式241212224222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=b b t bt t ，故其最小值为94-，故答案为94-.考点：（1）和差化积公式；（2）三角函数的最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b B c C =++．（1）求A 的大小；（2）若a b ==D 是BC 的中点，求AD 的长．【答案】（1）34A π=；（2）AD =（2）将a b ==222a b c =++，得26720c c +-=，因为0c >，所以6c =．又()12AD AB AC =+，所以()()22221192cos 442AD AB AC c cb A b =+=++= ，所以AD = 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理；（3）向量的模长.【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解，在该题中还用到了最常见的求线段的长度即求相对应向量的模长.18.（本题满分12分）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，且2510a a =．（1）求数列{}n a 通项公式及前n 项和为n S ；（2）设()*21log n n n b S a n N +=∈，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 【答案】（1）221-=+n n S ；（2）()223n n T n n n +=-+ . 【解析】试题分析：（1）先根据()1125n n n a a a +++=，求出q 的值，再由2510a a =求出数列{}n a 的1a q =，故可求出通项公式n a 和前项和n S ；（2）由（1）得出数列()()12211+-⋅+=+n n b n n ，然后利用分组求和和错位相减法相结合可得出结果．两式相减得：()()()()3133412322221222212212221n n n n n n P n n n -++++--=++++-+=+-+=-- ，即22n n P n +=， 又(){}12+n 的前n 项和为()()223413n n n +++++=+ ， 所以()223n n T n n n +=-+ ．考点：数列的前n 项和.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等，在该题中利用了分组求和和错位相减法相结合的形式.19.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面,1ABCD CF =． （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为()90θθ≤，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦.（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C AB λ，∴()(),,1,1AB BM λ==-，∵0λ≤≤0λ=时，cos θ有最小值7，当λ=cos θ有最大值12．∴1cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦．考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）二面角的平面角及其求法；（3）空间向量求平面的夹角.【一题多解】对于（2）还可采用由：①当M 与F 重合时，77cos =θ．②当M 与E 重合时，过B 作CF BN //，且使CF BN =，连接EN ，FN ，则平面 MAB 平面BCF ，∵CF BC ⊥，CF AC ⊥，∴⊥CF 平面ABC ，∴⊥BN 平面ABC ，∴θ=∠ABC ，∴60=θ，∴21cos =θ．③当M 与E ，F 都不重合时，令30,<<=λλFM ，延长AM 交CF 的延长线于N ，连接BN ，∴N 在平面MAB 与平面BCF 的交线上，∵B 在平面MAB 与平面BCF 的交线上，∴平面 MAB 平面BN BCF =，过C 作NB CH ⊥交NB 于H ，连接AH ， 由（1）知，BC AC ⊥，又∵CN AC ⊥，∴⊥AC 平面BCN ，∴BN AC ⊥，又∵BN CH ⊥，C CH AC = ，∴⊥NB 平面ACH ，∴BN AH ⊥，∴θ=∠A H C ，在NAC ∆中，λ-=33NC ，从而在NBC ∆中，()3332+-=λCH ，∵90=∠ACH ，∴()()334332222+-+-⋅=+=λλCH AC AH ， ∴()431cos 2+-==λθAH CH ，∵30<<λ， ∴21cos 77<<θ，综上所述，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,77cos θ．20.（本题满分12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.（1）设闯过()*12n n n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出,,n n n A B C 的表达式；（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？【答案】（1）40n A n =，n n B n 222+=，()1221-=nn C ；（2）若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．（2）令n n B A >，即n n n 22402+>，解得19<n ．由12≤n ，知n n B A >恒成立．令n n C A >，即()140212nn >-，解得10n <．故当10n <时，n A 最大；当1210≤≤n 时，n n A C >．由此能够选出最佳的选择奖励方案．（2）令n n A B >，即24022n n n >+，解得19n <， ∵n N ∈且12n ≤，∴n n A B >恒成立， 令n n A C >，即()140212nn >-，当1,2,3,,7,8n = 时，该不等式显然成立，当9n =时， ()9140936021255.52⨯=>-=，而当10n =时，()101401040021511.52⨯=<-=，不等式n n A C <成立，同样可计算得当11,12n =时，n n A C <成立． ∴当10n <时，n A 最大；当1012n ≤≤时，n C 最大．综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案． 考点：数列的应用.21.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:4C y x =的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =． （1）求1C 的方程；（2）已知菱形ABCD 的顶点A C 、在椭圆1C 上，顶点B D 、在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）10x y ++=. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义结合352=MF 求出M 的坐标，由椭圆的定义可得a MF MF 221=+求得椭圆方程；（2）直线BD 的方程为：7710x y -+=，在菱形ABCD中，BD AC ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，联立直线的方程与椭圆的方程可得22784120x mx m -+-=．由点A 、C 在椭圆1C 上，知0)124(286422>--=∆m m ，以及A 、C 中点在BD 上，由此能导出直线AC 的方程．（2）因为直线BD 的方程为7710x y -+=，ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，代入椭圆1C 的方程为22143x y +=，得22784120x mx m -+-=，由题意知，()2264284120m m m ∆=-->⇔<<设()()1122,,,A x y C x y ，则()121212886,22777m m m x x y y m x x m +=+=-+=-+=， 所以AC 中点坐标为43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭， 由ABCD 为菱形可知，点43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上，所以(437710177m mm -+=⇒=-∈． ∴直线AC 的方程为1y x =--，即10x y ++=．考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.【方法点晴】本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“设而不求，整体代换”的解题思想方法，训练了特值验证法，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题．在圆锥曲线与直线的位置关系中，联立直线的方程与椭圆的方程构成方程组结合韦达定理属于最常见的题型，在该题中，同时也考查了菱形的性质.22.（本题满分12分）已知函数()()2ln ,01,xf x a x x a b b R a a e =+--∈>≠且是自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围．（参考公式：()ln xxa aa '=）【答案】（1）()f x 在()0,+∞上单调递增；（2）[),e +∞.试题解析：（1）()()ln 2ln 21ln x xf x a a x a x a a '=+-=+-．当1a >时，ln 0a >，当()0x ∈+∞，时，20,1x x a >>，∴10xa ->，所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当01a <<时，ln 0a <，当()0,x ∈+∞时，20,1x x a ><，∴10xa -<，所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 综上，()f x 在()0,+∞上单调递增，（2）()2ln x f x a x x a b =+--，因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，所以当[]1,1x ∈-时，()()()()max min max min 1f x f x f x f x e -=-≥-．()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10,ln 0x a a ->>，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知10,ln 0x a a -<>，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=，∴()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增， ∴当[]1,1x ∈-时，()()()()(){}min max 01,max 1,1f x f b f x f f ==-=-， 而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a b a b a a a a ⎛⎫--=+---++-=--⎪⎝⎭，考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大、最小值问题中的应用.。

福建省厦门市双十中学2017年10月2017～2018学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则集合的真子集个数为( )A.8B.7C.4D.3【参考答案】B【试题解析】集合M＝{x|x|x2﹣2x﹣3＜0,x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜3,x∈Z}＝{0,1,2},所以集合M 的真子集个数为:23﹣1＝7个.故选:B.点睛:集合是高考中必考的知识点,一般考查集合的表示、集合的运算比较多.对于集合的表示,特别是描述法的理解,一定要注意集合中元素是什么,然后看清其满足的性质,将其化简；考查集合的运算,多考查交并补运算,注意利用数轴来运算,要特别注意端点的取值是否在集合中,避免出错.2.已知集合,,若,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【参考答案】C考点:集合间的关系.3.下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D.考点:对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用.4.已知定义在上的奇函数和偶函数满足:,则( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】由已知:在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x),,①,所以,即,②①②得；故选B.5.下列函数中,是偶函数且在区间上单调递减的函数是( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】对于A,函数的定义域为[0,＋∞),函数非奇非偶,不满足题意；对于B,∵﹣3|﹣x|＝﹣3|x|,∴函数是偶函数；在区间(0,＋∞)上,y＝﹣3x是减函数,故满足题意；对于C,∵log3(﹣x)2＝log3x2,∴函数是偶函数；在区间(0,＋∞)上,y＝2log3x是增函数,故不满足题意；对于D,(﹣x)﹣(﹣x)2≠x﹣x2,函数非奇非偶,不满足题意；故选A.6.已知的图象恒过点,则函数的图象恒过点( )A. B. C. D.【参考答案】B7.已知,,,则的大小关系是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】试题分析:,,,故.考点:比较大小.8.已知幂函数图象过点,则( )A.3B.9C.－3D.1【参考答案】A【试题解析】设幂函数f(x)＝xα,把点(3,)代入得,3α＝,解得α＝,即f(x)＝＝,所以f(9)＝＝3,故选A.9.函数的最小值为( )A.0B.C.D.【参考答案】C【试题解析】试题分析:,所以函数的最小值为.考点:1、对数运算；2、二次函数.10.已知函数的图象如图所示,则满足的关系是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】∵函数是增函数,令,必有,为增函数.∴a＞1,∴,∵当x＝0时,,∴.又∵＝,∴,∴.故选A.11.函数为偶函数,且在单调递增,则的解集为( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】∵函数为偶函数,∴二次函数的对称轴为轴,∴,且,即.再根据函数在单调递增,可得.令,求得,或,故由,可得,或得,或,故的解集为,故选C.点睛:解抽象函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.12.已知函数有唯一零点,则( )A. B. C. D.1【参考答案】C【试题解析】函数的零点满足,设,则,当时,；当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,当时,函数取得最小值,为.设,当时,函数取得最小值,为,若,函数与函数没有交点；若,当时,函数和有一个交点,即,解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题,从而构建不等式求解.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若函数,则__________.【参考答案】－1【试题解析】令t＝2x＋1,则x＝, 则f(t)＝﹣2＝∴, ∴f(3)＝﹣1.故填:.点睛:求未知函数解析式的函数的函数值,有两种思路,一种是利用待定系数法、换元法、凑配法等求函数解析式的方法,求出函数的解析式,然后将自变值,代入函数解析式,进行求解；二是利用凑配特殊值的方法,凑出条件成立时的特殊值,代入求解.14.已知是定义在上的奇函数,当时,,则时,__________.【参考答案】【试题解析】∵x＞0时,,∴当时,,,又∵是定义在R上的奇函数,∴,∴,∴.故答案为:.15.设函数,则满足的的取值范围是__________.【参考答案】【试题解析】若x≤0,则x﹣≤﹣,则f(x)＋f(x﹣)＞1等价为x＋1＋x﹣＋1＞1,即2x＞﹣,则x＞,此时＜x≤0,当x＞0时,f(x)＝2x＞1,x﹣＞﹣,当x﹣＞0即x＞时,满足f(x)＋f(x﹣)＞1恒成立,当0≥x﹣＞﹣,即≥x＞0时,f(x﹣)＝x﹣＋1＝x＋,此时f(x)＋f(x﹣)＞1恒成立,综上x＞,故答案为:(,＋∞).16.已知函数有四个零点,则的取值范围是__________.【参考答案】【试题解析】由f(x)＝x2﹣|x|＋a﹣1＝0,得a﹣1＝﹣x2＋|x|,作出y＝﹣x2＋|x|与y＝a﹣1的图象,要使函数f(x)＝x2﹣|x|＋a﹣1有四个零点,则y＝﹣x2＋|x|与y＝a﹣1的图象有四个不同的交点,所以0＜a﹣1＜,解得:a∈,故答案为:点睛:本题涉及分段函数,二次函数,指数函数,以及函数零点,方程,图像等概念和知识,综合性较强,属于难题。

高三年数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1.在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z 等于（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --2.已知集合{}{}2|20,|2,x A x x x B y y x R =+-≤==∈，则A B 等于（ ）A ．∅B ．[)1,+∞C ．(]0,2D ．(]0,13.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 5.若函数()()1tan cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 C1+ 6.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f x =的图像可以近似的看成函数()sin y k A t ωϕ=++的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．[]123sin,0,246y t t π=+∈ B ．[]123sin ,0,2462y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ C ．[]123sin,0,2412y t t π=+∈ D ．[]123sin ,0,24122y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ 8.已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．．2 D9. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足,2AB a AC a b ==+，，则下列结论错误的是（ ）A ．1b =B ．()a b b +⊥ C ．1a b = D ．3a b += 10.若函数()1sin 2cos 2f x x a x =+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞ 11. ()()()(),00,sin xf x x xππ=∈-大致的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知函数()()(),ln 24x aa x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln 2 B ．ln 21- C ．ln 2- D ．ln 21--第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：每大题共5小题，每小题5分，共20分．13.已知θ是钝角，且1sin 3θ=，则cos 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．14.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+，则λμ+=____________．15. n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．16.已知[],0,x y π∈，则()cos cos 2cos x y x y +++的最小值为_____________．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b B c C =+．（1）求A 的大小；（2）若a b ==，D 是BC 的中点，求AD 的长．18.（本题满分12分）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，且2510a a =，（1）求数列{}n a 通项公式及前n 项和为n S ；（2）设()*21log n n n b S a n N +=∈，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面,1ABCD CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为()090θθ≤，试求cos θ的取值范围．20.（本题满分12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.（1）设闯过()*12n n n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出,,n n n A B C 的表达式；（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？21.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:4C y x=的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =．（1）求1C 的方程；（2）已知菱形ABCD 的顶点A C 、在椭圆1C 上，顶点B D 、在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．22.（本题满分12分）已知函数()()2ln ,01,xf x a x x a b b R a a e =+--∈>≠且是自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围．（参考公式：()ln xxa aa '=）参考答案一、选择题 BDABC BADCA CD 二、填空题13.1415．21n + 16．94- 三、解答题17.解：（1）由正弦定理，得：()()()()22sin 2sin 2sin 222a A b B c C a b b c c =++⇒=++，即222a b c =++，．．．．．．．．．．．．．．．2分因为0c >，所以6c =．．．．．．．．．．．．6分又()12AD AB AC =+，所以()()22221192cos 442AD AB ACc cb A b =+=++=，所以AD =．．．．．．．10分 18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由()1125n n n a a a +++=得，22520q q -+=，解得12q =或2q =，．．．．．．．．．．2分 又由2510a a =知，()24911a q a q =，所以1a q =，因为{}n a 为递增数列，所以112,2,S 22n n n n a q a +====-．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）()()()()1121log 2211221n n n n n b S a n n n +++==-+=+-+，记数列(){}112n n ++的首n 项和为nP ，则()234122324212n nPn +=+++++，()3452222324212n n P n +=+++++，两式相减得：()()()()3133412322221222212212221n n n n n n P n n n -++++--=++++-+=+-+=--，即22n n P n +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 又(){}21n +的前n 项和为()()223413n n n +++++=+，．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以()223n n T n n n +=-+．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）证明：在梯形ABCD 中，因为0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，所以2AB =，所以22202cos 603AC AB BC AB BC =+-=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 因为平面ACFE⊥平面ABCD ，平面ACFE平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系， 令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C AB λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-， 设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()11,3,n λ=-，．．．．．．．．．．．7分∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴1212cos 1n n n n θ===+．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∵0λ≤≤0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12． ∴1cos 2θ⎤∈⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴40n A n =，第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，∴()2144222n n n B n n n -=+⨯=+，．．．．．．4分 第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，∴()()1121221122n n n C -==--．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）令n n A B >，即24022n n n >+，解得19n <，∵n N ∈且12n ≤，∴n n A B >恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令n n A C >，即()140212nn >-，当1,2,3,,7,8n =时，该不等式显然成立，当9n =时，()9140936021255.52⨯=>-=，而当10n =时，()101401040021511.52⨯=<-=， 不等式n n A C <成立，同样可计算得当11,12n =时，n n A C <成立．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴当10n <时，n A 最大；当1012n ≤≤时，n C 最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）设()()1111,0,0M x y x y >>，由抛物线定义，2115521333MF xx =⇒+=⇒=，因为2114y x =，所以1y =，即23M ⎛ ⎝．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以173MF ==，由椭圆定义得： 127524233a MF MF a =+=+=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以b ==1C 的方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．5分 （2）因为直线BD 的方程为7710x y -+=，ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，．．．．．．．．．．．．．．6分代入椭圆1C 的方程为22143x y +=，得22784120x mx m -+-=，由题意知，()2264284120m m m ∆=-->⇔<<．．．．．．．．．．．7分 设()()1122,,,A x y C x y ，则()121212886,22777m m mx x y y m x x m +=+=-+=-+=， 所以AC 中点坐标为43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．8分 由ABCD 为菱形可知，点43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上，所以(437710177m mm -+=⇒=-∈．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴直线AC 的方程为1y x =--，即10x y ++=．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-．．．．．．．．．．．．．1分当1a >时，ln 0a >，当()0x ∈+∞，时，20,1xx a >>，∴10x a ->， 所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当01a <<时，ln 0a <，当()0,x ∈+∞时，20,1xx a ><，∴10x a -<，所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 综上，()f x 在()0,+∞上单调递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）()2ln xf x a x x a b =+--，因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，所以当[]1,1x ∈-时，()()()()max min max min 1f x f x f x f x e -=-≥-．．．．．．．．．．．5分()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10,ln 0xa a ->>，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知10,ln 0xa a -<>，∴()0f x '<；③当0x =时，()0f x '=，∴()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴当[]1,1x ∈-时，()()()()(){}min max 01,max 1,1f x f b f x f f ==-=-，．．．．．．．．7分 而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a b a b a a a a ⎛⎫--=+---++-=--⎪⎝⎭，设()()12ln 0g t t t t t =-->，因为()22121110g t t t t ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭（当1t =时取等号），∴()12ln g t t t t=--在()0,t ∈+∞上单调递增，而()10g =， ∴当1t >时，()0g t >，∴当1a >时，12ln 0a a a-->， ∴()()11f f >-，．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()()101f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分设()()ln 1h a a a a =->，则()1110a h a a a-'=-=>， ∴函数()()ln 1h a a a a =->在()1,+∞上为增函数，∴a e ≥， 既a 的取值范围是[),e +∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

福建省厦门第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z 等于（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --2.已知集合{}{}2|20,|2,x A x x x B y y x R =+-≤==∈，则A B 等于（ ）A ．∅B ．[)1,+∞C ．(]0,2D ．(]0,13.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>5.若函数()()1cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 CD16.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f x =的图像可以近似的看成函数()sin y k A t ωϕ=++的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．[]123sin ,0,246y t t π=+∈B ．[]123sin ,0,2462y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭C ．[]123sin ,0,2412y t t π=+∈ D ．[]123sin ,0,24122y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ 8.已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2 D9.ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足,2AB a AC a b ==+，，则下列结论错误的是（ ） A ．1b = B ．()a b b +⊥ C ．1a b = D ．3a b +=10.若函数()1sin 2cos 2f x x a x =+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞ 11.()()()(),00,sin x f x x x ππ=∈-大致的图像是（ ）A ．B ．C ．D ． 12.已知函数()()(),ln 24x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln 2B ．ln 21-C ．ln 2-D ．ln 21--第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知θ是钝角，且1sin 3θ=，则cos 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________． 14.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+，则λμ+=____________．15.n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．16.已知[],0,x y π∈，则()y x y x cos cos cos 2+++的最小值为_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b B c C =+．（1）求A 的大小；（2）若a b ==D 是BC 的中点，求AD 的长．18.（本题满分12分）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，且2510a a =． （1）求数列{}n a 通项公式及前n 项和为n S ；（2）设()*21log n n n b S a n N +=∈，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面,1ABCD CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为()090θθ≤，试求cos θ的取值范围．20.（本题满分12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.（1）设闯过()*12n n n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出,,n n n A B C 的表达式；（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？ 21.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:4C y x =的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =． （1）求1C 的方程； （2）已知菱形ABCD 的顶点A C 、在椭圆1C 上，顶点B D 、在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．22.（本题满分12分）已知函数()()2ln ,01,x f x a x x a b b R a a e =+--∈>≠且是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围．（参考公式：()ln x x a a a '=）：。

2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√103．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．14．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣245．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．456．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．27．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−458．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B．x=5π8是曲线y＝f（x）的一个对称轴C．曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）D．曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的表面积是4+4√2B．直线PC与直线AB所成的角为60°C．|AE|+|BE|的最小值为√2+√6D．三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为12π12．已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝2，|a2﹣b2|≤2，下面结论正确的是（）A．a+b≥2√2B．．a−b≤√63C．log2a+log2b≤1D．log2a+log23b≥2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为．16．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx+c有三个零点，且它们的和为0，则b﹣c的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =(−1)n+1⋅a n +a n+1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图所示，△ABC 为等边三角形，EA ⊥平面ABC ，EA ∥BD ，AB ＝BD ＝2，AE ＝1，M 为线段AB 上一动点．（1）若M 为线段AB 的中点，证明：ED ⊥MC ． （2）若AM ＝3MB ，求二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值．20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率； （3）小李上班路上的平均时长．21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝e 2x +（a ﹣2）e x ﹣ax ﹣1． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若g （x ）＝f （x ）+（2﹣a ）e x 在区间（0，+∞）上存在唯一零点x 0，求证：x 0＜a ﹣2．2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]解：集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（1，5]． 故选：D ．2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√10解：2+ai3−i=bi ，则2+ai ＝bi （3﹣i ）＝b +3bi ，故{b =23b =a ，解得a ＝6，b ＝2，所以|z|=|6−2i|=√62+(−2)2=2√10． 故选：D ．3．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．1解：因为BD →=4BE →，则CD →−CB →=4(CE →−CB →)，整理得CE →=14CD →+34CB →=14BA →−34BC →，由平面向量基本定理可得：λ=14，μ=−34，所以λμ=14×(−34)=−316．故选：A ．4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣24解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，即a 1+a 2+a 3＝3，a 6+a 7+a 8＝q 5（a 1+a 2+a 3）＝﹣96， 变形可得：q 5＝﹣32，则q ＝﹣2；又由a 1+a 2+a 3＝3，即a 1﹣2a 1+4a 1＝3a 1＝3，则有a 1＝1，故S 6=a 1(1−q 6)1−q =1−643=−21．故选：C ．5．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．45解：因为tan(θ+π4)=tanθ+tan π41−tanθtan π4=tanθ+11−tanθ=2tanθ−7，整理得tan 2θ﹣4tan θ+4＝0，解得tan θ＝2， 所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=45．故选：D ．6．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．2解：设△ABC 的边长为a ，外接圆半径为r ，AA 1＝b ，由正弦定理得√32=2r ，则r =√33a ，V ABC−A 1B 1C 1=12⋅a ⋅a ⋅√32b =√34a 2b ，设圆柱的高为h ，V 圆柱=13a 2πℎ=√34a 2b ，∴b =4π3√3，正三棱柱的侧面积S 棱柱=3ab =4π33，圆柱的侧面积S 圆柱=2πrℎ=2π⋅√33aℎ，正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为3a⋅3√3ℎ2π⋅√33a⋅ℎ=2，故选：D ．7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−45解：∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴F 点的坐标为（1，0）又∵直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则A ，B 两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4）， 则FA →=（0，﹣2），FB →=（3，4），则cos ∠AFB =FA →⋅FB→|FA →|⋅|FB →|=−810=−45， 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8解：设a →=OA →，b →=OB →，c →=OC →，xa →=OM →，b →，c →则如图所示，因为|b →−xa →|⩾|b →−a →|，所以|OB →−OM →|⩾|OB →−OA →|，即|MB →|⩾|AB →|，所以BA ⊥OA ， 因为|a →|=2，|a →−b →|=2√3，所以∠AOB =60°，|b →|=4，由|c →−a →|⩽1，可得点C 在以A 为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点C 作OB 的垂线，垂足为D ，且DC 与⊙A 相切，延长DC 交OA 于N ，则b →⋅c →=|b →|⋅|c →|cos ＜b →，c →＞⩽|b →||OD →|=4|OD →|，又根据相似知识可得OD =CA ⋅OA AN +CA =cos60°OA +CA =12×2+1=2，所以b →⋅c →的最大值为8，故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B ．x =5π8是曲线y ＝f （x ）的一个对称轴 C ．曲线y ＝2sin2x 向左平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）D ．曲线y ＝2sin2x 向右平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）解：函数f（x）＝2sin（2x−134π）的图象，对于A：当x=π8时，f（π8）＝2sin（﹣3π）＝0，故A正确；对于B：当x=5π8时，f（5π8）＝2sin（5π4−13π4）＝0，故B错误；对于C：曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，得到y＝f（x）＝2sin（2x+5π4）＝﹣2sin（2x+π4）的图象，故C错误；对于D：曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）＝2sin（2x−5π4）＝2sin（2x−134π）的图象，故D正确．故选：AD．10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍解：因为Li＝101g II0=10lgI﹣10lgI0，当I＝1W/m2时，Li＝120，代入公式可得I0＝10﹣12W/m2，对于A，当I＝I0时，Li＝10lg1＝0，故选项A错误；对于B，由题意可得，70≤10lgI﹣10lg10﹣12≤80，即70≤10lgI+120≤80，所以﹣5≤lgI≤﹣4，解得10﹣5≤I≤10﹣4，故选项B正确；对于C，当I变为2I时，代入Li'＝10lg（2I）﹣10lgI0≠2Li，故选项C错误；对于D，设声强变为原来的k倍，则10lg（kI）﹣10lgI＝10，解得k＝10，故选项D正确．故选：BD．11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A ．三棱锥P ﹣ABC 的表面积是4+4√2B ．直线PC 与直线AB 所成的角为60°C ．|AE |+|BE |的最小值为√2+√6D ．三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为12π解：如图所示，三棱锥P ﹣ABC 的表面积S ＝S △P AC +S △ACB +S △P AB +S △PCB =12×2×2+12×2×2+12×2√2×2+12×2×2√2=4+4√2，故A 正确； 建立如图所示空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （2，0，0）， B （0，2，0），P （2，0，2），AB →=(−2，2，0)，CP →=（2，0，2），设直线PC 与直线AB 所成的角为θ，则cos θ＝|cos ＜AB →，CP →＞|＝|AB →⋅CP→|AB →||CP →||=−422×22=12，∴θ＝60°，即直线PC 与直线AB 所成的角为60°，故B 正确； 把三角形PCB 沿PC 翻折至平面P AC 内，则AB 1为所求，由题意可知，B 1G =CG =√2，则AB 12=(√2)2+(2+√2)2=8+4√2， 则AB 1=2√2+√2，即|AE |+|BE |的最小值为2√2+√2，故C 错误；取PB 中点O ，则OP ＝OA ＝OB ＝OC ，即O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心， 半径为12PB =12√22+22+22=√3，外接球的表面积为4π×(√3)2=12π，故D 正确．故选：ABD ．12．已知a ＞0，b ＞0，a 2+b 2﹣ab ＝2，|a 2﹣b 2|≤2，下面结论正确的是（ ） A ．a +b ≥2√2 B ．．a −b ≤√63C ．log 2a +log 2b ≤1D ．log 2a +log 23b ≥2解：a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）2−3(a+b)24=(a+b)24，所以a +b ≤2√2，a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab ，所以ab ≤2，log 2a +log 2b ＝log 2ab ≤1， A 选项错，C 选项对，令m＝a+b，n＝a﹣b，由对称性，不妨设a＞b，所以m＞n＞0，4（a2+b2﹣ab）＝m2+3n2＝8，（a2﹣b2）2＝（mn）2＝（8﹣3n2）n2≤4，解得，n2≤23或n2≥2，若n2≥2，则m2≤2，与假设矛盾，所以n2≤23，所以a﹣b≤√63，所以有ab=m2−n24=2﹣n2≥43，所以log2a+log23b≥2，B，D选项正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝12．解：∵f(x)=1a x+1−m，∴f(−x)=1a−x+1−m=a xa x+1−m，又f（x）是奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0，∴1a x+1−m+a xa x+1−m=0，解得m=12．故答案为：1 2．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有25．解：2至8的7个整数中是3的倍数的有3和6两个，从2至8的7个整数中任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可得取法数为C21C52+C22C51=25．故答案为：25．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为√3+2．解：如图所示：设直线方程为y=ba(x−c)，与双曲线方程x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)联立，解得x=a2+c22c，y=−b32ac，因为|AB|=2√3b，所以2×b32ac=2√3b，即b2=2√3ac，即c2−2√3ac−a2=0，解得e=ca=√3+2．故答案为：√3+2．16．已知函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx +c 有三个零点，且它们的和为0，则b ﹣c 的取值范围是 （274，+∞） ．解：设x 1，x 2，x 3是f （x ）的三个零点，则f （x ）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）， 所以b ＝﹣（x 1+x 2+x 3）＝0，所以f （x ）＝x 3+cx +c ，f ′（x ）＝3x 2+c ， 若f （x ）有三个零点，则f （x ）有两个极值点， 故对于方程f ′（x ）＝0，Δ＝﹣12c ＞0，c ＜0，f （x ）的两个极值点分别为x 4=−√−c 3和x 5=√−c3，其中x 4为极大值点，x 5为极小值点．若f （x ）存在三个零点，则需满足f （x 4）＞0，且f （x 5）＜0， 所以(−√−c 3)3−c√−c 3+c ＞0，解得c ＜−274，又因为f （x 5）＜f （0）＝c ＜0，所以b ﹣c 的取值范围是(274，+∞)． 故答案为：(274，+∞)． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．解：（1）因为（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ，所以由正弦定理可得（a ﹣c ）（a +c ）c ＝bc （b ﹣c ），整理可得b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，因为A ∈（0，π）， 所以A =π3；（2）因为A =π3，△ABC 的面积为√3=12bc sin A =√34bc ，所以bc ＝4，又sin B sin C =14，a sinA =b sinB =c sinC，所以bc sinBsinC=（a sinA）2，即414=（√32）2，解得a ＝2√3．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，由S n=na n−n2+n，①可得S n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1，②②﹣①，可得a n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1−na n+n2−n，化简整理，得a n+1﹣a n＝2，∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝3+2•（n﹣1）＝2n+1，n∈N*．（2）由（1），可得b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1=(−1)n+1⋅(1a n+1a n+1)=−(−1)na n+(−1)n+1a n+1，则T n＝b1+b2+…+b n=[−−1a1+(−1)2a2]+[−(−1)2a2+(−1)3a3]+⋯+[−(−1)na n+(−1)n+1a n+1]=−−1a1+(−1)n+1a n+1=13+(−1)n+12n+3，∴T n=13+(−1)n+12n+3．19．（12分）如图所示，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥BD，AB＝BD＝2，AE＝1，M为线段AB上一动点．（1）若M为线段AB的中点，证明：ED⊥MC．（2）若AM＝3MB，求二面角D﹣CM﹣E的余弦值．（1）证明：因为M为线段AB的中点，且△ABC为等边三角形，所以CM⊥AB，因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CM，因为EA∥BD，所以A，B，D，E四点共面，因为AB∩AE＝A，AB⊂平面ABDE，AE⊂平面ABDE，所以CM⊥平面ABDE，因为DE⊂平面ABDE，所以ED⊥MC；（2）解：设AB 的中点为O ，连接OC ，在平面ABDE 内，过点O 作ON ⊥AB 交ED 于点N ，所以ON ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，ON 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB ＝BD ＝2，AE ＝1，AM ＝3MB ，所以M （12，0，0），C （0，√3，0），E （﹣1，0，1），D （1，0，2），所以MC →=（−12，√3，0），ME →=（−32，0，1），MD →=（12，0，2），设平面MCE 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅MC →=−12x +√3y =0m →⋅ME →=−32x +z =0，令x ＝2√3，则y ＝1，z ＝3√3， 所以平面MCE 的一个法向量为m →=（2√3，1，3√3）， 设平面MCD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅MC →=−12a +√3b =0n →⋅MD →=12a +2c =0，令a ＝2√3，则b ＝1，c =−√32，所以平面MCD 的法向量为n →=（2√3，1，−√32），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=17240×√554=17√22220， 所以二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值为17√22220． 20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；（3）小李上班路上的平均时长．解：（1）易知可知若7点46分出门，则一定不会迟到； 若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到， 此时迟到的概率为(12)4=116，不迟到的概率为1516＞90%；若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，此时迟到的概率为C 43×(12)3×12+(12)4=516，不迟到的概率为1116＜90%，所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发； （2）由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为516，不迟到的概率为1116， 所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率P =C 21×516×1116=55128； （3）易知X 的所有可能取值为10，11，12，13，14， 此时P(X =10)=P(X =14)=(12)4=116，P(X =11)=P(X =13)=C 41×(12)4=14，P(X =12)=C 42×(12)4=38，则X 的分布列为：故上班路平均时长为E(X)=10×116+11×14+12×38+13×14+14×16=12（分钟）． 21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．解：（1）如图所示， 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线/方程 为 y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设圆N 的半径为r ， 联立方程组得{y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，Δ＝16k 2m 2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣8）＝8（8k 2﹣m 2+4）＞0，x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1， 所以 y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =−4k 2m 2k 2+1+2m =2m2k 2+1，又因为M为AB的中点，所以M(−2km2k2+1，m2k2+1)，又因为圆N与直线l相切于点M，所以NM⊥l，且r＝|MN|，k NM×k1＝﹣1，所以k NM=m2k2+1−1−2m2k2+1−0=−1k，解得2k2+1＝﹣m，所以M（2k，﹣1），Δ＝8（8k2﹣m2+4）＝8（8k2﹣（2k2+1）2+4]＝8（2k2+1）（3﹣2k2）＞0，解得：0＜k2＜32，所以r=|MN|=√(2k−0)2+(−1−1)2=2√k2+1（0＜k2＜3），所以1＜k2+1＜52⇒2＜2√k2+1＜√10，即2＜r＜√10，所以圆N的半径r的取值范围为(2，√10)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2k2+1＝﹣m，所以|AB|=√1+k2×√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2×√(−4km2k2+1)2−4×2m2−82k2+1=√8(3−2k2)(k2+1)2k2+1(0＜k2＜32)，令t＝2k2+1，则k2=t−12（1＜t＜4），所以|AB|=√8(4−t)⋅t+12t=2√−t+4t+3，显然y=−t+4t+3在（1，4）上单调递减，所以0＜−t+4t+3＜6，所以0＜2√−t+4t+3＜2√6，即0＜|AB|＜2√6．故|AB|的取值范围为(0，2√6)．22．（12分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若g（x）＝f（x）+（2﹣a）e x在区间（0，+∞）上存在唯一零点x0，求证：x0＜a﹣2．解：（1）由f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1，得f'（x）＝2e2x+（a﹣2）e x﹣a＝（e x﹣1）（2e x+a）．（i）当a＜0时，令f′（x）＝0，则x1＝0，x2=ln(−a )，①当ln(−a2)＞0，即a＜﹣2时，若0＜x＜ln(−a2)，则f′（x）＜0，f（x）在(0，ln(−a2))上递减；若x＜0或x＞ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)上递增．②当ln(−a2)＜0，即﹣2＜a＜0时，若ln(−a2)＜x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在(ln(−a2)，0）上递减；若x＞0或x＜ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）上递增．③当ln(−a2)=0，即a＝﹣2时，则f′（x）≥0，f（x）在R上递增．（ii）当a≥0时，令f′（x）＝0，则x＝0．若x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上递减；若x＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增．综上，当a≥0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞）；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为(ln(−a2)，0)，递增区间为(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）；当a＝﹣2时，f（x）的在R上单调递增；当a＜﹣2时，f（x）的递减区间为(0，ln(−a2))，递增区间为（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)．（2）证明：g（x）＝e2x﹣ax﹣1，g'（x）＝2e2x﹣a，g（0）＝0．当a≤2时，g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故g（x）在（0，+∞）上递增，则g（x）＞g（0）＝0，故不可能有零点．当a＞2时，g（x）在(0，12lna2)上递减，在(12lna2，+∞)上递增，且g（0）＝0，所以在(0，12lna2)上g（x）＜0无零点，即g(12lna2)＜0，且x趋向于正无穷时g（x）趋向正无穷，所以在(12lna2，+∞)上存在唯一x0，使g(x0)=e2x0−ax0−1=0．要证x0＜a﹣2，只需g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立即可．令t＝a﹣2＞0，h（t）＝e2t﹣t（t+2）﹣1则h'（t）＝2（e2t﹣t﹣1）．令p（t）＝e2t﹣t﹣1，则p'（t）＝2e2t﹣1＞0，即p（t）在（0，+∞）上递增，p（t）＞p（0）＝0．所以h'（t）＞0，即h（t）在（0，+∞）上递增，h（t）＞h（0）＝0．所以g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立，得证．故x0＜a﹣2．。

16-17半期复习卷Ⅷ厦门双十中学2016-2017学年（上）期中考试（试题） 高 一 数 学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1． 设全集U 是实数集R ，{}{}1,02M x x N x x =<=<<都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{}12x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}0x x ≤D ．{}2x x <2． 下列函数中与x y =相等的是A ．2)(x y =B ．2x y =C ．x y 2log 2=D ．x y 2log 2=3． 若函数()(2)()xf x x x a =-+是奇函数，则a =A ． 2-B ．2C ．12-D ．124． 给定映射f ：()(),2,2x y x y x y →+-，在映射f 下，(3,1)-的原像为A ．(1,3)-B ．(5,5)C ．(3,1)-D ．(1,1)5． 已知函数2,0,()(1),0.x x f x f x x ⎧>=⎨-+≤⎩则(3)f -的值为A ．1B ．1-C ．0D ．9-6． 已知,k b ∈R ，则一次函数y kx b =+与反比例函数kby x=在同一坐标系中的图象可以是7． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，)3(log 2f b =，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<8． 已知函数32()21f x x x x =+--，可用二分法计算其一个正数零点的近似值（精确度0.1）为参考数据：A ．1.5 D ．1.18759． 函数(13)2,1(),1xa x x f x a x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为A ．1(,1)3B ．3[,1)4C ．13(,)34D ．13(,]3410．当实数k 变化时，对于方程||2||(21)(21)0x x k ----=的解的判断不正确．．．的是 A ．14k <-时，无解 B ．14k =-时，有2个解C ．104k -<≤时，有4个解 D ．0k >时，有2个解第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．函数()1f x x =-的定义域．．．为 . 12．已知3()2f x ax bx =+-，若(2015)7f =，则(2015)f -的值为 .13．已知全集U =R ，集合2{|0},{|320}A x x a B x x x =-≤=-+≤，且U A B = ðR ，则实数a的取值范围是 .14．已知函数2()f x x ax b =++的零点是3-和1，则函数2()log ()g x ax b =+的零点是 .15．若函数()6,2,2log ,2,a x x f xx x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >，且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 .16．方程210x -=的解可视为函数y x =的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标. 若方程490x ax +-=的各个实根12,,,(4)k x x x k ≤ 所对应的点9(,)(1,2,,)i ix i k x = 均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．（本小题满分12分）（Ⅰ）求值：2lg5lg400⋅+；（Ⅱ）已知2log 3x =，求8822x xx x--++的值.18．（本小题满分12分）已知集合11{|132},{|24}4x A x a x a B x -=-<<+=<<. （Ⅰ）若1a =，求A B ；（Ⅱ）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围. 19．（本小题满分12分）设函数1331()log (9)log ,2739x f x x x =⋅≤≤.（Ⅰ）设3log t x =，用t 表示()f x ，并指出t 的取值范围； （Ⅱ）求()f x 的最值，并指出取得最值时对应的x 的值.20．（本小题满分13分）小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h 后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s （单位：km ）与离家的时间t （单位：h ）的函数关系式为s(t)＝－4t(t －13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到17点，小张开车从停车场以60 km/h 的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s （单位：km ）与离家时间t （单位：h ）的函数解析式； （Ⅱ）在距离小张家48 km 处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．21．（本小题满分13分）已知函数2()1px q f x x +=+（,p q 为常数）是定义在(1,1)-上的奇函数，且1(1)2f =. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断并用定义证明()f x 在(1,1)-上的单调性； （Ⅲ）解关于x 的不等式(21)()0f x f x -+<.22．（本小题满分14分）已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =-时，在所给坐标系中作出()f x 的图象；（Ⅱ）对任意[1,2]x ∈，函数()f x 的图象恒在函数()14g x x =-+图象的下方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()10f x +=在区间(1,0)-内有两个相异根，求实数a 的取值范围.。

厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2560A x x x =--≤，11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则A B 等于A.[16]-，B.(16]，C.[1+)-∞，D.[23]，2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于A.1- B.0C.1D.3.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若45A a b =︒==，，则B 等于A.30︒B.60︒C.30︒或150︒D.60︒或120︒4.若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.1 B.1 C.3 D.15.已知平面α⊥平面β，=l αβ ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：①若//n l ，则m β⊥②若m β⊥，则//n l③m β⊥和n α⊥同时成立④m β⊥和n α⊥中至少有一个成立其中正确的是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，AB = ，6AC =，12AE ED = ，则AE EB ⋅等于A.14- B.9- C.9 D.147.抛物线24y x =的焦点为F ，点(3,2)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为A.4B.5C. D.8.某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是A ．15B.310C.710D.459.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”.执行如图所示的程序框图，若输入12120.1x x d ===，，，则输出n 的值为A.2B.3C.4D.510.已知定义在(0,)+∞上连续可导的函数()f x 满足'()()xf x f x x +=，且(1)1f =，则A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有最大值1D.()f x 有最小值111.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>，过x 轴上点P 的直线l 与双曲线的右支交于N M ，两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则该双曲线的离心率为A.B.C.2D.412．已知P ，Q为动直线(02y m m =<<与sin y x =和cos y x =在区间[0,]2π上的左，右两个交点，P ，Q 在x 轴上的投影分别为S ，R .当矩形PQRS 面积取得最大值时，点P 的横坐标为0x ，则A ．08x π<B.08x π=C.086x ππ<< D.06x π>第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．5(2x的系数为___________14．化简：01cos80____________15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______16．若实数a ，b ，c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c-的最小值是_________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，满足11a =，1323n n n a a a +=+，*n N ∈.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）设212233445212221111111n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++ ，求2n T.18．（本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念。

2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜05．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于时取到最大值．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），则M∩N=[1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若¬p，则q”的逆否命题即可．【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若￢p，则q”的逆否命题为“若￢q，则p”即￢q⇒p，p是￢q的必要条件，故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大．3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．【解答】解：关于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，关于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，则△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设A（1，0），B（0，1），设∠AOC=α（0≤α≤），则=（cosα，sinα）．由=（x，2y）=（cosα，sinα），则=（cosα+sinα）=sin（α+）（0≤α≤），由≤α+≤，可得sin（α+）∈[，1]，即有∈[，]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin （2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案．【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于①，当x＞0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除①．对于②，当x＞0时，对应的函数是y=f（x）﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除②．对于③，当x＞0时，对应的函数是y=﹣f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除③．对于④，当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件．对于⑤，当x＞0时，对应的函数是y=|f（x）|﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除⑤，故选：A．【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．【解答】解：∵，∴f（x+3）===f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，∴f（x）=﹣==f（﹣x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又∵f（3﹣x）=f（﹣x）=f（x），故f（x）关于对称，故（3）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．【解答】解：tan（θ+）=，=，可得tanθ=﹣．sin2θ===．故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于7 时取到最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=C，a4+a14=2a9=2C，∴a8=，a9=C，∴公差d=，∴a1=﹣7×=﹣，∴a n=﹣+（n﹣1）=C（2n﹣15），令a n=C（2n﹣15）≤0可得2n﹣15≥0，解得n≥∴递减的等差数列{a n}前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当n=7时，S n取最大值．故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是b≤．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴g min（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为 6 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6．故答案为：6．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆C交点的极坐标．（2）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆的直角坐标方程是x2+y2=16，…．（1分），∵直线l的参数方程为（t为参数），∴当a=0时，直线l：，…（2分）代入x2+y2=16得x=±2，P，Q…．（3分）则直线l和圆C交点的极坐标分别是，…．（5分）（2）由于P、Q间的劣弧长是，则圆心角，…．（6分）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，…．（7分），，直线直角坐标方程是：或，…．（8分）直线l的极坐标方程：或…．（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x﹣1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2≤，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开后运用基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）|2x﹣1|+|x+2|=，当x≤﹣2时，﹣1﹣3x递减，取值范围是[5，+∞）；当﹣2＜x≤时，3﹣x的范围是[，5）；当x＞时，3x+1的范围是（，+∞）．从而|2x﹣1|+|x+2|≥，解不等式m2+m+2≤，得m∈[﹣1，]．（2）证明：由（1）知（|2x﹣1|+|x+2|）≥1，则++≤1，又1≤++，则++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：，c n=（n∈N+），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：2a n=a n+1﹣a n﹣2n，化为：，∵c n=（n∈N+），∴，∴{c n}是等比数列，公比为，首项为．∴c n+1=，∴c n=﹣1，∴=﹣1，可得a n=3n﹣2n．（2）b n=n（a n+2n）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×23+…+n•3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=，∴T n=．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用．【分析】（1）利用B1，P，B2三点共线， =+，可求得+=1；再结合⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，可得||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，于是可求得||的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用，表示；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），于是利用||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，再令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ（0＜r≤2）可得•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5，利用辅助角公式及配方法即可求得•∈[﹣，2﹣1]．【解答】解：（1）∵B1，P，B2三点共线， =+，∴+=1．又⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，∴||2=||2+||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，当时，||min=，此时， =+；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ，0＜r≤2．=（λ﹣3，μ），=（λ，μ﹣4），•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5=r2﹣rsin（θ+φ）﹣5，其中tanφ=．又r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≤r2+r﹣5≤2﹣1，r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≥r2﹣r﹣5=（r﹣）2﹣≥﹣，∴•∈[﹣，2﹣1]．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）①由题知M（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由题意M（5，80）代入y=，则a=400，∴y=，N（100，4），∴定义域为[5，100]．∴P（t，），∵，则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20﹣400平方公里．【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围；（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x；∴f′（0）=2，又f（0）=1；则切线L1方程为：y=2x+1；（2）f′（x）=me mx﹣2mx，设g（x）=f′（x），g′（x）=m2e mx﹣2m=m（me mx﹣2），令g′（x）=0，由m＞0，；①当m≥2时，因为x≥0，则e mx≥1，所以me mx﹣2≥m﹣2≥0，g'（x）≥0，∴f′（x）在[0，+∞）单调递增；∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；所以当m≥2时满足条件；②当时，1≥，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以=；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；∴当时满足条件；③当时，，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递增，f′（x）=0在（0，x0）至多只有一个零点x1；又因为=，f′（0）=1＞0，所以f′（x）=0在（0，x0）有且只有一个零点x1；则当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，x0）单调递减，所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不满足条件．终上所述：当时，f（x）≥1对一切x≥0的实数恒成立．（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），则，当i=1时，，当i=2时，，当i=3时，，…，当i=n时，，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题和不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和裂项相消求和及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。