辗转相除法在历史上的不同呈现

中国古代圆周率数学家中国古代圆周率数学家是指在古代中国历史上对圆周率作出重大贡献的数学家。

本文将分为四个部分来探讨他们的贡献。

一、古代圆周率的初探古代中国在较早的时期就开始研究圆周率。

据《周髀算经》中的记录，早在西周时期，我国就使用了3.125 = 25/8和3.17 = 142/45作为圆周率的值。

随着时代的变迁，圆周率的计算方法也越来越精确。

二、祖冲之——圆周率的第一张表祖冲之是中国数学史上的一位巨擘，他在公元3世纪研究了圆周率，并提出了一张以355/113近似圆周率的表。

这张表的精度可以达到小数点后第6位，是当时一项了不起的成就。

由于祖冲之在古代数学界的权威地位，他提出的圆周率表被公认为是中国古代圆周率研究的巅峰之作。

三、李冶和朱世杰——进一步精确计算随着哥白尼的地心说被广泛接受，人们对圆周率的精度要求也越来越高。

在宋朝时期，李冶和朱世杰分别独立完成了对圆周率的进一步推算。

李冶使用了“圆周比”法，通过不断逼近圆周率并累加得出结果，他的精度可以达到小数点后第7位。

而朱世杰则提出了“辗转相除法”，通过对连分数进行计算，他的圆周率精度可以达到小数点后第14位。

这两种方法极大地推进了中国古代圆周率研究的发展。

四、圆周率的应用圆周率在数学中的应用非常广泛。

在物理学、工程学、统计学等领域都有应用。

在中国古代，圆周率的研究也开始在实际应用中体现。

在建筑施工上，使用相似定理和曲线逼近法可以精确计算圆周率。

另外，圆周率的研究也对数学、物理、工程等领域的发展产生了一定的影响。

结论中国古代圆周率数学家的研究不仅仅是对圆周率的探索，而是在人类数学发展史上占有重要地位。

通过他们的研究，圆周率的精度不断提高，圆周率在实际应用中的价值也逐渐显现出来。

1.3中国古代数学中的算法案例【入门向导】秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率1 500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团，交战不久，楚军大败而逃．这就是历史上有名的“韩信点兵”，这类问题的有解条件和解题方法被称为“中国剩余定理”，是一个典型的算法案例．1．用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术”．有人称其为“约分术”，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数．对于给定的两个不相等的正整数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差和较小的数作比较，并以较大数减去较小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数．例1用“等值算法”求84与294的最大公约数．分析根据等值算法算理计算如下：294－84＝210；210－84＝126；126－84＝42；84－42＝42；42－42＝0.解(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)．故84与294的最大公约数是42.2．割圆术所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种方法．割圆术的步骤：第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6.第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，到一定的边数(设为2m)为止，得到一列递增的数S6，S12，S24，…，S2m.第三，在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S2n－S n)与相应的正n边形的面积S2n相加，得S2n＋(S2n－S n)，这样又得到一列递增数：S12＋(S12－S6)，S24＋(S24－S12)，S48＋(S48－S24)，…，S2m＋(S2m－S m)．第四，圆面积S满足不等式S2m<S<S2m＋(S2m－S m)．估计S的近似值，即圆周率的近似值．3．秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，把求f(x)＝a n x n ＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2，…，n )中v n 的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上实现．(2)运算次数减少，只需至多n 次乘法和n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．例2 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04，当x ＝0.3时f (x )的值． 分析 本题中有些项不存在，如x 4，x 2要补上，x 4写为0×x 4，x 2写为0×x 2.解 将f (x )写为：f (x )＝((((x ＋0)x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值．v 0＝1；v 1＝1×0.3＋0＝0.3；v 2＝v 1×0.3＋0.11＝0.2；v 3＝v 2×0.3＋0＝0.06；v 4＝v 3×0.3－0.15＝－0.132；v 5＝v 4×0.3－0.04＝－0.079 6.所以，当x ＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.点评 当多项式中有几项不存在时，可将这几项看作0×x n .1．秦九韶算法计算多项式的值，要对多项式进行正确改写例1 f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，求f (－2)的值．错解 f (x )＝((3x 2＋2)x ＋4)x ＋2v 1＝3×(－2)2＋2＝14v 2＝14×(－2)＋4＝－24v 3＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50. 错解辨析 错解中v 1中含有x 的二次式，不符合“秦九韶算法”.正解 f (x )＝3x 4＋0·x 3＋2x 2＋4x ＋2＝(((3x ＋0)x ＋2)x ＋4)x ＋2v 0＝3v 1＝3×(－2)＋0＝－6v 2＝－6×(－2)＋2＝14v 3＝14×(－2)＋4＝－24v 4＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50.2．利用秦九韶算法，当多项式中出现空项时要用0·x n 补齐例2 用秦九韶算法，求当x ＝2时，f (x )＝x 5－5x 4＋x 3－1的函数值．错解 利用秦九韶算法递推公式，有v 0＝1；v 1＝1×2－5＝－3；v 2＝(－3)×2＋1＝－5；v 3＝(－5)×2－1＝－11.所以f (2)＝－11.正解利用公式有v0＝1；v1＝1×2－5＝－3；v2＝(－3)×2＋1＝－5；v3＝(－5)×2＋0＝－10；v4＝(－10)×2＋0＝－20；v5＝(－20)×2－1＝－41.所以f(2)＝－41.课本在算法案例中所介绍的等值算法(即更相减损之术)与辗转相除法(即欧几里得算法)都是求两个正整数的最大公约数的方法，它们既有相同之处，也有不同之处．更相减损之术的具体算法是：用两数中较大的数减去较小的数，用所得的差与较小的数构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减去较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是所求的最大公约数．辗转相除法的具体算法是：用两数中较大的数除以较小的数，若余数等于零，则除数为最大公约数；否则把前面的除数作为被除数，余数作为除数，继续运算，直到余数为零，此时除数即为最大公约数．例如：我们用上述两种方法来求68与48的最大公约数．等值算法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,28)→(20,8)→(12,8)→(4,8)→(4,4)．所以4是68与48的最大公约数．辗转相除法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,8)→(4,8)．所以4是68与48的最大公约数．通过比较不难看出，两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差；不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止，辗转相除法做到余数等于零即可．如此看来，辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些．例1现有长度为240 cm和560 cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？分析剪裁的长度应能被240和560同时整除，本题即为求240和560的最大公约数．解(560,240)→(320,240)→(80,240)→(80,160)→(80,80)，即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm时，体积最大且不浪费材料．例2有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数．(147,343)→(147,196)→(147,49)→(98,49)→(49,49)∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.1．(泰安模拟)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A2．(烟台模拟)三个数390,455,546的最大公约数是()A．65 B．91 C．26 D．13答案 D。

数学文化选题一、选择题1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤；在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间3尺的重量为A. 6斤B. 9斤C. 10斤D. 12斤【答案】B【解析】试题分析：此问题是一个等差数列,设首项为,则,∴中间尺的重量为斤．故选：B．学科&网2.“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为A. 1.9升B. 2.1升C. 2.2升D. 2.3升【答案】B3.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语.关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰：“倍上表,下表从之.亦倍下表,上表从之,各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一,以此算法,现有上下底面为相似矩形的棱台,相似比为,高为3,且上底面的周长为6,则该棱台的体积的最大值是A. 14B. 56C.D. 63【答案】C4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有邹亮,下广三丈,茅四仗,无广；高一丈,问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽仗长仗；上棱长仗,高一丈,问它的体积是多少？”已知丈为尺,现将该锲体的三视图给出右图所示,齐总网格纸小正方形的边长1丈,则该锲体的体积为A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A5.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”,当输入时,输出的A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】D【解析】试题分析：模拟程序框图的运行过程,如下；a=6102,b=2016,执行循环体,r=54,a=2016,b=54,不满足退出循环的条件,执行循环体,r=18,a=54,b=18,不满足退出循环的条件,执行循环体,r=0,a=18,b=0,满足退出循环的条件r=0,退出循环,输出a的值为18. 学科&网6.《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知五人分5钱,两人所得与三人所得相同,且每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中,所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】A7.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完. 这样,每日剩下的部分都是前一日的一半. 如果把“一尺之棰”看成单位“”,那么剩下的部分所成的数列的通项公式为A. B. C. D.【答案】C【解析】由“一尺长的木棒,每日取其一半.”可知每天剩下的木棒构成一个首相为1,公比为的等比数列.所以该数列的通项公式为.故选C.8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图）,由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为A. 6平方米B. 9平方米C. 12平方米D. 15平方米[来源学科网ZXXK]【答案】B9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为A. 24里B. 12里C. 6里D. 3里【答案】C【解析】试题分析：记每天走的路程里数为,易知是公比的等比数列,,,故选C. 学科&网10.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月（按30天计算）共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n,则a14+a15+a16+a17的值为A. 55B. 52C. 39D. 26【答案】B11.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望巍巍塔七层,红灯向下成培增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯？A. B. C. D.【答案】C【解析】根据“红灯向下成培增”可得该塔每层的灯从上到下构成一个等比数列,公比为2,其中.由等比数列的前n项和公式可得.故选C.12.公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n值为(参考数据：,,)[来源:]A. B. C. D.【答案】B13.远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满七进一,根据图示可知,孩子已经出生的天数A. 336B. 510C. 1326D. 3603【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一,可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.14.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B15. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下底面宽丈,长丈,上棱丈,.与平面的距离为1丈,问它的体积是A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 8立方丈【答案】B【解析】延长EF、FE分别到H、G,且|FH|=|EG|=1,则该几何体为直三棱柱,三棱锥F-BCH的体积为,三棱柱的体积为,所以所求体积为.故选B.16.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题：①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形.其中正确的有A. ①③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】A17.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有周长为的满足,试用以上给出的公式求得的面积为A. B. C. D.【答案】A二、填空题18.埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外,其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包,要平均分给5个人,如果每人,不够,每人,余,再将这分成5份,每人得,这样每人分得．形如的分数的分解：按此规律,____________；____________．【答案】(1). ；(2).19.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称．从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）【答案】20.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1）,即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题：已知椭圆的标准方程为,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体（图2）,其体积等于______．[来源:]【答案】【解析】椭圆的长半轴为5,短半轴为2,现构造一个底面半径为2,高为5的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．[来源学科网Z.X.X.K]21.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1,2,数列为牛顿数列,设,已知,则的通项公式__________．【答案】22.公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”,此即3V kD =,欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解,他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中, D 表示底面圆的直径；在正方体中, D 表示棱长）.假设运用次体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面积的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ,那么123::k k k =__________．【答案】::164ππ【解析】 由题意得,球的体积为333114433266a V R a k ππππ⎛⎫===⇒= ⎪⎝⎭； 、等边圆柱的体积为22322244a V R a a a k ππππ⎛⎫===⇒= ⎪⎝⎭；学科&网正方体的体积3321V a k =⇒=,所以123::::164k k k ππ=[来源学科网].。

“辗转相除法”和“更相减损术”溯源作者：严家丽来源：《中学数学杂志(高中版)》2012年第06期人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）第一章“算法初步”中的1.3节“算法案例”中引入了“辗转相除法”与“更相减损术”的算法案例，教科书主要通过举例集中呈现“辗转相除法”与“更相减损术”的算法过程和递归的算法思想，但没有细致揭露其中蕴含的算理，回答了是什么的问题，没有回答为什么的问题.作为教师，需要超越教科书的视野限制，懂得知识的来龙去脉，特别是教科书中涉及到的古代数学史部分，需要探究其发生发展的过程，这样才能在教学时有更深刻的体会，才会情不自禁地感染学生.据此，本文觉得有必要对“辗转相除法”与“更相减损术”做一下梳理，并以此为例，探究教师解读教科书的方法.1 什么是“辗转相除法”与“更相减损术”根据数学史料记载，“辗转相除法”是公元前三百多年前的古希腊数学家欧几里得（Euclid）在《几何原本》（第Ⅶ卷，命题ⅰ和命题ⅱ）中首先提出的求最大公约数的方法，所以“辗转相除法”又称为“欧几里得算法”.目前见到书中介绍的“辗转相除法”主要有以下几种：第一种来自兰纪正、朱恩宽翻译的陕西科学技术出版社出版的《欧几里得几何原本》：“设有不相等的二数，若依次从大数中不断地减去小数，若余数总是量不尽它前面一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互素.若两数不互素，则依次从大数中不断减去较小者，将有某个余数能量尽它前面一个，而且这最后的余数不是一个单位”[1].第二种来自李善兰翻译的《几何原本》中的阐述：“两不（相）等数，辗转相减，余一而止，则为两无等数之数.两数非无等数，求其最大等数.法曰：……辗转以小减大，必有减余数可度两数，而减余非为一.若余一，则为无等之数，而与所设之题相反矣，故最后减余数必为等数也”[2].第三种来自张奠宙、孔凡哲、黄建弘、黄荣良、唐彩斌著的《小学数学研究》：“若a与b 是两数，且a>b，从a减去足够多次的b，一直到余数r小于b；然后再从b中减去足够多次的r，直到余数小于r，如此往下进行.若a与b互质，最后余数是1，那么1就是它们的最大公因数；若a与b不互质，就会在某一阶段出现最后一致除尽前一个数的情况，于是这最后的数便是a与b的最大公因数”[3].第四种来自普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中的阐述：“例如用辗转相除法求8251与6105的最大公约数，我们可以考虑用两数中较大的数除以较小的数求得商和余数：8251=6105×1+2146.由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，反过来，8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6105与2146重复上述步骤：6105=2146×2+1813，继续重复上述步骤：2146=1813×1+333，1813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数，这就是辗转相除法”[4].从上述的第一种阐述和第二种阐述可以看出，二者对“辗转相除法”求最大公约数的基本描述都是“将大数减小数”，但第一种强调“依次”，第二种强调“辗转”.欧几里得强调“依次”可能为辗转相除法的命名埋下了伏笔，李善兰强调“辗转”可能受到了中国“更相减损术”的影响[5].第三种和第四种的阐述方式就比较明显地看出“辗转相除法”求最大公约数的基本数学形式.即，若a与b是两个自然数，且a>b，则“更相减损术”记载在公元1世纪前后、我国最重要的数学文献《九章算术》第一章“方田”中，是对约分方法的完整总结.《九章算术·方田》第六题：“有九十一分之四十九.问约之得几何？答曰：十三分之七.术曰：可半者半之.不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之”[6].《九章算术》是以算筹为算具的数学书，以算筹演示约分过程如下所示：翻译为现代语言如下：第一步：任意给定分数[SX（]m[]n[SX）]（m，n为两个正整数）；判断m，n是否都是偶数.如是，则用2约简；若不是，则执行第二步.第二步：对分子和分母辗转相减，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止.第三步：以等数约之，可得到（最简）既约分数.如果直接使用“更相减损术”来求两个数的最大公约数，则有两种做法：一种是按照上述约分的步骤，所求的最大公约数就是这个等数或是这个数与约简的数的乘积，例如，求30和18的最大公约数，第一步用2约简得15和9，第二步，15-9=6，9-6=3，6-3=3，则30和18的最大公约数就是2×3=6.人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中即采用此种算法.另一种是直接采取“更相减损术”的第二步，有学者称其为“辗转相减法”[7]，即任意给定两个正整数，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例如，求30和18的最大公约数，30-18=12，18-12=6，12-6=6，则6就是30和18 的最大公约数.通过上述分析，可以发现“辗转相除法”和“更相减损术”求最大公约数的方法的实质都是相同的，均强调“大数辗转减小数”，现进行举例说明：例如求80和24的最大公约数：“辗转相除法”表示如下：80÷24=3……8 → 24÷8=3 → 80和24的最大公约数为8.“更相减损术”表示如下：①先用2约简→ 40-12=28 → 28-12=16 → 16-12=4 → 12-4=8 → 8-4=4 → 80和24的最大公约数为2×4=8.②80-24=56→56-24=32→32-24=8→24-8=16→16-8=8→80和24的最大公约数为8.通过比较发现“更相减损术”求最大公约数的运算过程可以简化为“辗转相除法”求最大公约数的运算过程，但第一步比“辗转相除法”多了一个约简的过程.此外，“更相减损术”在某些时候比“辗转相除法”要优越，例如在求两个以上正整数的最大公约数时，“辗转相除法”是先求出其中两数的最大公因数，再求出它与第三个数的最大公因数，而“更相减损术”可一次求出任意多个数的最大公约数，算法是：将最小数乘以不同的因子与其余各数进行减法运算，将差为0的数据筛选掉，若只剩下两个数，其中一个为0时，则结束，此时的非0数据便是所求的最大公约数，否则重复上述步骤[8].2 “辗转相除法”与“更相减损术”的基本原理最大公约数（greatest common divisor）简写为gcd，如果求a和b两个正整数的最大公约数，可以表示为gcd（a，b）.正如前文所述，若a>b，依照“辗转相除法”和“更相减损术”的算法思想，则求最大公约数的过程如下所示：欧几里得在《几何原本》中用线段进行了直观演示和逻辑论证[9]：设AB，CD是不互素的两数，如果CD量尽AB，这时它也量尽它自己，那么CD就是CD和AB的一个公度数，并且显然CD也是最大公度数.这是因为没有比CD更大的数能量尽CD.但是如果CD量不尽AB，那么从AB和CD中的较大者不断减去较小者，如此，将有某个余数能量尽它前面一个.这最后的余数不是一个单位，否则AB和CD就是互素的，这与假设矛盾.所以某数将是量尽它前面的一个余数.现在设CD量出BE，余数EA小于CD，设EA量出DF，余数FC小于EA，又设CF量尽AE.这样由于CF量尽AE，以及AE量尽DF，所以CF也量尽DF.因为它也量尽它自己，所以它也量尽整体CD.然而CD量尽BE，所以CF也量尽BE.因为CF也量尽EA，所以它也量尽整体BA.然而CF也量尽CD，所以CF量尽AB，CD.所以CF是AB和CD的一个公度数.接下来证明它也是最大公度数.因为，如果CF不是AB和CD的最大公度数，那么必有大于CF的某数将量尽AB和CD，设这样的数为G.现在，由于G量尽CD，而CD量尽BE，那么G也量尽BE.因为它也量尽整体BA，所以它也量尽余数AE.因为AE量尽DF，所以G也量尽DF.因为G也量尽整体DC，所以G也量尽余数CF，即较大的数量尽较小的数，这是不可能的，所以没有大于CF的数能量尽AB和CD，因而CF是AB和CD的最大公度数.3 小结如上所述，数学教师只有清楚了什么是“辗转相除法”和“更相减损术”，才能够站在数学的视角看教科书；清楚了“辗转相除法”与“更相减损术”为什么可以求出两个正整数的最大公约数的问题，教师才能够从数学本质回答学生的问题和困惑，才能真正使学生感受和理解古代数学知识的魅力，超越教科书“弱水三千，只需取一瓢饮”所带来的思维局限性.除了清楚所要教的数学知识的来龙去脉，教师在解读教科书时还需做到“两个比较，一个参照”，以便更好地将课程标准、教科书以及教师融为一体：两个方面的比较：一是将教科书内容安排与教师用书作比较，看教师用书中所要表达的意图是否在教科书中得到了充分体现.例如，教师用书中“感受算法在解决实际问题中的重要作用”这点在教科书中未得到充分体现，教科书中举的实例都是纯数学的实例，这就需要进行调整和补充；二是将教师用书中的编写意图与课程标准比较，看是否遵循了课程标准的基本精神和基本要求，例如，课标中提出“通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，教科书同时引入了西方和中国古代的数学案例，但在编写意图里没有强调“体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，只是强调了其中的“算法思想”，这样的安排可能会误导教师在教学中忽略了情感、态度和价值观目标的培养.这是教师评判意识的重要体现，也是教师主观能动作用发挥的重要体现.因为这可以决定教师对教科书进行“再创造”的方向和空间.教师还需要做到“一个参照”，即参照其它版本的教科书对这部分内容的处理，以便获得启发，例如北师版通过具体问题情境引入算法，以及引入“韩信点兵”的故事更能反映算法在解决实际问题中的作用.参考文献[1] [9]兰纪正，朱恩宽译.欧几里得几何原本[M].西安：陕西科学技术出版社，2003.194-195，196-197.[2] [5][6]沈康身.更相减损术源流[J].自然科学史研究，1982，1（03）：193-194.[3] 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2008.65.[4] 刘绍学，张淑梅主编.普通高中课程标准实验教科书③（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007.34.[7] 马再鸣，蒋晓云.更相减损术不是求最大公约数的算法[J].西昌学院学报·自然科学版，2006，20（02）：32.[8] 白海东，朱丽敏.辗转相除法求多个数的最大公约数的递归实现[J].鸡西大学学报，2005，5（03）：39.。

导言数理逻辑的产生背景与基本思想（一）数理逻辑无非是形式逻辑的精确的与完全的表述，它有着相当不同的两个方面。

一方面，它是数学的一个部门，处理类、关系、符号的组合等，而不是数、函数、几何图形等。

另一方面，它是先于其他科学的一门科学，包含所有科学底部的那些思想和原则。

——哥德尔数理逻辑字面上理解即关于数学的逻辑，其中逻辑是指探索、阐述和确立有效推理原则，最早由古希腊学者亚里士多德创立。

若具体来说，数理逻辑是用数学的方法研究关于数学语言，推理证明、结构性质等问题的学科，而所谓数学的方法是指使用符号和公式，特别是形式化的公理方法，来较为精确的反映思维演算的过程。

这也是莱布尼兹关于数理逻辑的创立时提出的设想，他提出，要把一般推理的规则变为演算的规则，“在这样的演算中，一切推理的正确性将归于计算，除了事实的错误之外，所有的错误将只由于计算失误而来”，后来的人们基本是沿着这一思想进行建立与完善工作的。

尽管亚里士多德是形式逻辑的先驱，但我们的故事并不从他说起。

在形式逻辑创立之前，我们或许应该问这样一个问题，即为什么数学必须要与逻辑结合在一起？这不得不提到数学史上的“第一次数学危机”，无理数的发现即根号2的故事。

顺便讲下希腊雅典时期的数学哲学史。

首先简单介绍故事背景：大约在公元前500年左右，当时在西方数学界有一著名学派即毕达哥拉斯学派，说是学派但并非类似现在专门的学院机构，而是集政治、学术、宗教三位一体的类宗教组织，由毕达哥拉斯及其信徒一手创建。

早年毕达哥拉斯出生于希腊的萨默斯小岛（英文Pythagoras，前580-前500，与孔子同时代）幼时聪明好学，随父经商游历到过米利都学习，随后继续向东到访过古巴比伦，印度与埃及，学习古代流传下来的天文，数学，音乐，宗教等，晚年（大概49岁）后来回家乡萨默斯四处讲学，但其宣传的东方神学（灵魂转世轮回）与当地民主不合，转而向西迁移至南意大利的克罗托内创教（前530，所以又称南意大利派），继续讲学并广收门徒，很快吸引各个阶层的人前来听课，甚至允许妇女（当然仅限于贵族子女）听讲。