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2.1.2指数函数及其性质教学设计（第1课时）一．教学目标：1、知识与技能：了解指数函数的定义，掌握指数函数的性质，并会用性质解决简单问题。
2、过程与方法：通过绘出函数图象、总结函数性质等教学过程，培养观察、总结，并综合运用数形结合思想解决问题的能力，并逐步形成善于与他人合作探究的团队意识。
3、情感、态度与价值观：通过观察、探究、讨论等思维活动，激发学习数学的兴趣，形成学数学、爱数学、用数学的良好习惯二．重、难点.教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：利用探究方式得出函数性质 三．学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.[教学设想]1. 情境设计师：同学们先看两个问题（用幻灯分两屏放映）问题1、在2000年，专家预测，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？ 如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的_______倍。
2年后呢？，……，x 年后呢？问题2、一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年，剩留的质量约是原来的84%，求出这种物质的剩留量y 随时间x （单位：年）变化的函数关系。
师：请同学们朗读例题，并给出答案。
生1：经过x 年后，GDP 可望为2000年的x %)3.71(+倍。
生2：物质的剩留量y 随时间x 变化的函数关系是：x y 84.0=师：我们看到，例题中的两个函数是一种新的函数，函数的形式是指数幂的形式，它的底数是常数，而未知数x 却出现在指数位置，我们称这样的函数为指数函数。
从今天开始，我们来研究指数函数（板书：指数函数） 师：那么，指数函数是怎样定义的呢？（板书指数函数定义：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
指数函数及其性质一、【教学目标】1.知识与技能：理解指数函数的概念，画出具体指数函数图象，能经过观察图象得出两类指数函数图象的地位关系；在理解函数概念的基础上，能运用所学知识解决简单的数学成绩；2.过程与方法：在教学过程中，利用画板作图加深对指数函数的认识，让先生在数学活动中感受数学思想方法之美、领会数学思想方法之重要；3.情感、态度、价值观：经过本节课自主探求研讨式教学，使先生获得研讨函数的规律和方法；培养先生自动学习、合作交流的认识。
二、【学情分析】指数函数式在先生零碎学习了函数概念，基本掌握函数性质的基础上进行研讨的，是先生对函数概念及其性质的第一次运用．教材在之前的学习中给出链各个理论的例子（GDP的增长成绩和碳14的衰减成绩），曾经让先生感遭到了指数函数的理论背景，但这两个例子的背景对于先生来说有些陌生．本节课先设计两个看似简单的成绩，但能经过得到超出想象的结果来激发先生学习新知的兴味和愿望。
三、【教材分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第二章第一节第二课【（2．1．2）《指数函数及其性质》．根据理论情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课指数函数及其性质、指数函数及其性质的运用（1）、指数函数及其性质的运用（2）】，这是第一节“指数函数及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及消费理论中有着广泛的运用，所以指数函数应重点研讨。
四、【教学重难点】1.教学重点：指数函数的概念、底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称。
2.教学难点:底数a的范围讨论，自变量的取值范围和由函数的图象归纳指数函数的性质。
五、【教学方法】自主预习、合作探求、体验践行。
六、 【教学装备】多媒体装备。
七、 【课时安排】第一课时(新知课)。
八、 【教学过程】(一) 创设情境，引出成绩（约3分钟）师：观察图片，你能说出这是甚么吗？生：国际象棋师：这盘象棋隐含了这么一个故事？生：．．．．师：国王为了奖励发明者达依尔特许愿满足他提的任意一个请求，那么达伊尔提出如下要求在棋盘第一格放2粒大米，第二格放4粒大米，第三格放8粒大米，…按这个规律．最初一格棋盘上的大米数就是我要的．请问：最初一格的大米数是多少呢？生：642师：那么国王能否满足他的要求呢？【学情预设】先生会说能．也有说不能的．教师公布数据领会指数函数的爆炸增长，642粒大米是每年全世界粮食产量的1000多倍，明显国王是满足不了他的请求．师：请写出米粒数与棋盘格数的函数关系式．生：{}2,1,2,,64x y x =∈师： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话来自著名的《庄子·天下篇》，哪位同学能用数学言语来表述它的含义？生：。
高中数学人教版必修一第二章-2.1.2指数函数及其性质教学设计高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数---指数函数及其性质（第二课时）教学设计一、教材分析本节内容是高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数的内容，共六课时，本节是指数函数图像及其性质的第二课时.在指数函数图像及其性质的第一课时中，通过图形、实例进行具体分析、观察、归纳，由具体到抽象，得出指数函数的图像和性质，并能进行最基本的应用.本节课，在第一节的基础上，学生继续学习函数图像和性质，并能进行简单的应用.指数函数是函数中的一个重要基本初等函数，为后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的学习做好了知识的准备.同时指数函数的图像和性质也是学习指数函数的重要内容.通过这部分知识的学习，使学生进一步深化对函数概念的理解与认识；通过这部分的学习，向学生渗透数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等函数的图像和性质有很强的引领作用.二、学情分析高一学生在初中阶段已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对于这些函数的图像和性质有了一定的认识，具备了初步的观察、发现、分析的能力，为指数函数的图像和性质的学习，有了一定的理论基础.但对底数a的变化如何影响其性质以及应用性质进行简单的应用，解决一些实际问题，对于学生来说还是有一些困难的.而且大部分学生不具备数形结合的思想，分类讨论的意识比较淡薄，在解决问题中经常出现解不全面的错误.三、教学目标1.理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质.2.会进行指数函数性质的简单应用.3.通过对指数函数的图像和性质的探究与应用，渗透数形结合的思想方法.4.通过应用指数函数图像和性质解决一些简单问题，领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力.5.通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法.6.让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.四、教学重点和难点1.重点：指数函数的性质和图像.2.难点：理解、掌握指数函数中底数a的变化对于函数值的影响.五、教学过程（一）引导回忆，复习新知1.复习指数函数的形式是2.根据指数函数的概念，并指出下列函数那些是指数函数？4xy = 4xy =- 4y x = 4xy -= 14x y += 32xy =设计意图:为了让学生明确指数函数的定义是以解析式的形式来定义的，加强对概念的理解.图象（1）定义域：R 4.比较下列各题中两值的大小（1）2.73.2 与2.74.5 ( 2 ) 0.10.8-与0.20.8-（3） 0.8 1.811()42（）与设计意图：进一步理解指数函数图像的性质，能简单应用指数函数单调性判断大小（二）创设情境，导入新课1.问题1：例1：如何比较0.3 3.11.70.9两值与的大小2.问题2：对于 1.70.9x x y y ==函数与的图像在第一象限的特点，能否利用图像来解决上面的问题呢？设计意图：底不同，指数也不同，可以借助中间值比较大小，选取适当的中间值（比如0或1）再比较，同时引导学生分别画出x x 0.9y 7.1y ==、的函数图象，再进行比较，对于底不同，指数也不同，也可以借助函数图像和函数的性质比较大小，体会数形结合的思想. （三）互动交流，探索新知1.问题3：检查学生绘制的图像（1）y=2x 和y=3x （2）y=x )21(和 x y )31(=结合学生所做的图像展示电脑已制作好的图像.利用图像更进一步探究指数函数的性质：分组尝试归纳出图象的变化规律与特性：函数图象除了有以下四个规律外，进一步得出其他规律（1）图象全在x 轴上方，与x 轴无限接近; （2）图象过定点（0，1）;（3）a >1时，自左向右图象逐渐上升;0<1时，自左向右图象逐渐下降；<="" p="">（4）a >1时，图象分布在左下和右上两个区域内；0<="">当指数函数的底数互为倒数时，图象关于 y 轴对称；当底数a>1时，底数越大函数值增长越快越靠近y 轴即底大图高，底数0<a<1时，情况相反.对于所有的底数来说，在第一象限，底大图高.< p="">设计意图：通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力.2.问题4：例2：对于0.30.30.30.2--（）与（）的大小如何比较呢？找中间值是否容易解决？如果不容易，利用图像呢？他们的图像又有什么关系呢？3.问题5：指数函数图像在第一象限的特点？小结：底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小.4.问题6：我们还有没有别的方法来解决指数相同的数值的比较大小的问题. 设计意图：通过图像使学生了解函数图象在第一象限因为底数不同而图像位置不同. 小结：比较指数大小的方法1.底数相同，指数不同.做题方法：利用指数函数的单调性来判断.（数形结合）. 2.指数不同，底数也不同.做题方法：引入中间量法（常用0或1）或图像法. 3.指数相同，底数不同.做题方法：利用比商法来判断或图像法.温馨提示：心中无图，一塌糊涂；心中有图，胸有成竹. （四）反馈训练，拓展知识 1.问题7：比较下面两个数的大小0.60.63,2；0.80.80.30.2--，； 2 1.51.9,0.9-- ； 0.5 2.12.1,0.5 ；231π-，2.问题8：曲线分别是指数函数, 和的图象,则与1的大小关系是 ( ).D（）b<a<1<d<="" p="" 比较m="" 的大小="">设计意图：前两题直接应用函数性质解答，第3题对底数进行讨论，体会分类讨论的思想.4.问题10：例4：①求23x y -=的定义域②求函数122x y -=-的定义域③求使不等式4x >32成立的x 的集合设计意图：应用函数性质解决简单的不等式，更进一步掌握性质.5.问题11：例5：函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．设计意图：对a 进行讨论，体会分类讨论的思想．（五）归纳总结1.本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a ＞1或0＜a ＜时x y a =的图象，在此基础上研究其性质，还涉及到指数型函数的应用，形如x y ka =（a ＞0且a ≠1）.2.学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解.（六）布置作业必做题1. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（）. A. R ， R B. R ，(0,)+∞ C. R ，(1,)-+∞ D.以上都不对 2 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）； 0.763（）0.753-（）；20.6- 2343-（）； 0.31.08 30.98； 0.753 0.752； 54.7 44.73、求满足下列条件的x 取值范围.① 616115x --<2x （）②3242x x ->4. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（）. A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)5. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（）.选做题课本：77页A 组：6题拓展延伸:党的十八大提出，到2020年要实现国民经济收入和城乡居民收入较2010年翻一番，建成小康社会.2000年我国GDP 人均800美元，2000-2010年我国经济发展速度平均递增约8％，2010-2020年我国经济发展速度平均递增约7.5％,那么从2010年起再过x 年我国GDP 人均年为y 美元，写出y 关于x 的关系式，按照这个速度到2020年能否实现翻一番？设计意图：不同的学生有不同的发展，让每个学生都获得数学知识，并能和实际生活相连系. 六、板书设计教学评价是课堂教学的重要环节，目的在于促进学生在知识与技能、过程与方法、情感态度价值观等方面得到全面发展，采用实践、探究、归纳等形式，发展其思维过程，恰当运用一些激励性评价手段和方法，肯定其思维中的有效成分，通过练习检测，及时作出肯定性评价；通过课后作业，及时反馈信息，以改进其不足；课后的师生平等交流也是实施教学评价的重要形式.</a<1<d</a<1时，情况相反.对于所有的底数来说，在第一象限，底大图高.<>。
课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。
三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。
2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.能求由指数函数复合而成的函数概念域、值域；3.掌握比较同底数幂大小的方式；4. 培育学生数学应用意识。
教学重点：指数函数性质的运用教学难点：指数函数性质的运用 教学方式：学导式（一）温习：（提问）1．指数函数的概念、图象、性质2．练习：（1）说明函数34x y --=图象与函数4x y -=图象的关系；（2）将函数21()3xy =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ； （3）画出函数1()2xy =的草图。
（二）新课讲解：例1．某种放射性物质不断转变为其他物质，每通过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时刻转变的图象，并从图象上求出通过量少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过适当假设，将剩留量y 表示成通过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，通过x 年，剩留量是y .通过1年，剩留量y =1×84%=；通过2年，剩留量y =1×84%=；……一般地，通过x 年，剩留量0.84x y =，按照那个函数关系式能够列表如下： x 01 2 3 4 5 6 y 1用描点法画出指数函数0.84y =的图象。
从图上看出0.5y =，只需4x ≈.答：约通过4年，剩留量是原来的一半。
例2． 说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示用意：（1）12x y +=； （2）22x y -=． 解：（1）比较函数12x y +=与2x y =的关系： 312y -+=与22y -=相等， 212y -+=与12y -=相等， 212y +=与32y =相等 ，……由此能够明白，将指数函数2x y =的图象向左平移1个单位长度，就取得函数12x y +=的图象。
（2）比较函数22x y -=与2x y =的关系： 122y --=与32y -=相等， 022y -=与22y -=相等，322y -=与12y =相等 ， …… 由此能够明白，将指数函数2x y =的图象向右平移2个单位长度，就取得函数22x y -=的图象。
第2课时指数函数及其性质(2)
导入新课
思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.
思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).
应用示例
思路1
例1已知指数函数f(x)=a x（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.
活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点
在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=a x（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.
解：因为图象过点（3,π）,
所以f(3)=a3=π,即a=π31,f(x)=(π31)x.
再把0,1,3分别代入,得
f(0)=π0=1,
f(1)=π1=π,
1.
f(-3)=π-1=
点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.
例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.
活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
证法一：设x 1,x 2∈R ,且x 1＜x 2,则
y 2－y 1=a x 2－a x 1=a x 1（a x 2-x 1－1）.
因为a ＞1,x 2－x 1＞0，所以a x 2-x 1＞1,即a x 2-x 1－1＞0.
又因为a x 1＞0,
所以y 2－y 1＞0,
即y 1<y 2.
所以当a ＞1时,y=a x ,x∈R 是增函数.
同理可证,当0＜a ＜1时,y=a x 是减函数.
证法二：设x 1,x 2∈R ,且x 1＜x 2,则y 2与y 1都大于0,则1
2y y =12x x a a =a 12x x -. 因为a ＞1,x 2－x 1＞0,所以a 1
2x x -＞1, 即1
2y y >1,y 1<y 2. 所以当a ＞1时,y=a x ,x∈R 是增函数.
同理可证,当0＜a ＜1时,y=a x 是减函数.
变式训练
若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？
1＜a＜1.
答案：
2
例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？
活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题：1999年底人口约为13亿;
经过1年人口约为13（1+1%）亿;
经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿;
经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;
经过x年人口约为13(1+1%)x亿;
经过20年人口约为13(1+1%)20亿.
解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x 年后,我国人口数为y 亿,则
y=13(1+1%)x ,
当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).
答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.
点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P ,则对于经过时间x 后总量y=N(1+p)x ,像y=N(1+p)x 等形如y=ka x (k∈R ,a ＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.
思路2
例1求下列函数的定义域、值域： (1)y=0.411
-x ;(2)y=315-x ;(3)y=2x +1;(4)y=1
222+-x x . 解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠∅得y≠1,
即函数值域为{y|y>0且y≠1}.。
