上海中学高三数学综合练习(八)

上海中学高三综合数学试卷09 一. 填空题 1. lim (1)n n n n →∞+-= 2. 设集合22{|1,,}M x x y x y =+=∈∈R R ，{|,}N y y x x ==∈R ，则集合MN = 3. 若不等式20ax x a ++<的解集为∅，则实数a 的取值范围是4. 计算：1sin(arccos())3-=5. 已知lg()lg lg x y x y +=+，若4x y λ=+，则λ的最小值是6. 若圆221x y +=与直线2x a t y t =+⎧⎨=⎩（参数t ∈R ）相切，则实数a = 7. 二项式(51)n x -的展开式的二项式系数和为W ，各项系数和为P ，若62128W P +=， 则n 的值为8. 如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠平分线，则BD =9. 若对于任意实数x ，不等式1|2||3|4x ax -≤+--≤恒成立，则实数a 的取值范围是10. 某网站的登录验证码由0，1，2，⋅⋅⋅，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次 增大的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某人收到了一个“递增型验证码”， 则该验证码首位数字是1的概率为11. 设函数4()()i i i f x x x -=-+（x ∈R ），若方程10|()|()0a f x f x +=在区间1[,3]2内有4 个不同的实数解，则实数a 的取值范围是12. 已知平面向量a 、b 、c 满足：||3a =，||||5b c ==，0b c ⋅=，则对满足条件的向量a 、b 、c 及(0,1)t ∈有3|()||(1)()|5a b t b c c t b c -+-++--的最小值为二. 选择题13. 若函数()y f x =，x ∈R 为非奇非偶函数，则下列说法正确的是（ ）A. 对任意0x ∈R ，都有00()()f x f x -≠且00()()f x f x -≠-B. 存在0x ∈R ，使得00()()f x f x -≠且00()()f x f x -≠-C. 对任意0x ∈R ，都有00()()f x f x -≠或00()()f x f x -≠-D. 存在12,x x ∈R ，使得11()()f x f x -≠且22()()f x f x -≠-14. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积为（ ）A. 18B. 883+C. 24D. 1265+15. 若函数()2019sin 2020cos f x x x =-的一个对称中心为(,0)a ，则a 的值所在区间可以是（ ）A. (0,)4πB. (,)43ππC. (,)32ππD. 3(,)34ππ16. 已知22430()230x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，不等式()(2)f x a f a x +>-在[,1]a a +上恒成立， 则实数a 的取值范围是（ ）A. (,2)-∞-B. (,0)-∞C. (0,2)D. (2,0)-三. 解答题17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA =，1AB =，点E 是1DD 上一点.（1）求异面直线AC 与1B D 所成角；（2）若1B D ⊥平面ACE ，求三棱锥A CDE -的体积.18. 已知两虚数1sin 2i z x y =+，2(3cos 2)i z m m x =+-，（,,x y m ∈R ），且12z z =.（1）求出y 关于x 的函数关系式，并指出其最小正周期；（2）12y =时，求cos(4)3x π+的值.19. 如图，有一块半径为R 的半圆形广场，M 为AB 的中点，现要在广场内以OM 为中轴线划出一块扇形区域OPQ ，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆N 和圆S ），使得圆N 内切于扇形OPQ ，圆S 与扇形OPQ 的两条半径相切，且与圆N 外切.（1）设POM θ∠=，试将圆S 的半径y 表示成关于θ的函数；（2）求圆S 的半径的最大值.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12， 1F 、2F 分别为椭圆C 的左右焦点，A 、B 分别为椭圆C 的左右顶点，过A 、B 分别作斜率 为1k 、2k 的直线交椭圆C 于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧，两点都在x 轴上方），且 三角形12MF F 的周长为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 与x 轴交于点T ，且5||||||||4TM TN TA TB ⋅=⋅，求直线MN 的倾斜角； （3）若1F M ∥2F N ，求12k k ⋅的值.21. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S，且为等差数列，且11a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得1n n a S ++、222n n a S ++、444n n a S ++成等比数列，若存 在，求出正整数n ；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n b 满足：21n n n n b b b S +-=，11b k=，且对任意正整数n ，都有1n b <，求正整 数k 的最小值.参考答案一. 填空题1. 122. [1,1]-3. 1[,)2+∞4.5. 96.7. 68.9. {1}- 10.415 11. 17[,6-- 12. 3二. 选择题 13. D 14. C 15. B 16. A三. 解答题17.（1）2π；（2）112V =.18.（1）sin 22sin(2)3y x x x π==-，T π=；（2）7cos(4)38x π+=-. 19.（1）2sin (1sin )(1sin )R y θθθ-=+；（2）8R . 20.（1）22143x y +=；（2）23π；（3）94-. 21.（1）21n a n =-；（2）3n =或9或27；（3）min 3k =.。

专题8：排列、组合、二项式定理、统计与概率1、某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．2、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示)．3、某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40％．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．4、设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为—10，则a =． 5、盒子中装有编号为1，2，3，4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示）．6、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 。

7、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）8、课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为.9、随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为.(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）。

10、将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5:3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取______个个体．11、从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃"的概率为____________（结果用最简分数表示）．12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）.13、某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。

上海中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．256．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．三、解答题：共70分。

上海八校高三联考数学试卷It was last revised on January 2, 20212006年1月上海市八校高三联考数学试卷一、 填空题（本大题共48分，每小题4分）1．已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 展开式中3x 的系数为49，则常数a 的值为 。

2．已知函数)12(arcsin )(+=x x f ，则=-)6(1πf __________。

3．若方程03422=+-x x 的一个根为α，则=||α__________。

4．若)()1(92R a ax x ∈-展开式中9x 的系数为221-，则常数=a __________。

5．从抛物线x y 42=图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5||=PM ，设抛物线焦点为F ，则MPF ∆的面积为__________。

6．已知}0|{2≤-=x x x A ，}02|{1≤+=-a x B x ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________。

7．若2)()1(lim e n n n f n =-∞→，则)(n f 的一个表达式为_________________（只需写出一个）。

8．（理）已知极坐标系中，)6,3(πP ，)3,2(πQ 两点，那么直线PQ 与极轴所在直线所夹的锐角是__________。

（文）已知⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则22-+y x 的最大值是__________。

9．某四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书。

若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学的概率为____________。

10．定义一种运算“*”，对于N n ∈，满足以下运算性质：① 12*2=；② 3)2*2(2*)22(+=+n n 。

则2*2004的数值为__________。

11．上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为年份 2003年 2004年 2005年 2006年常住人口出生数 6.8万 1.9万 7.9万 09.12万 根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从________年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍。

上海中学高三数学综合练习八班级___________ 学号________ 姓名______________ 成绩________ 一、填空题1．已知集合{}{}A B ax x B x x A ⊂====若,1,12,则a 的值为2．原命题是“已知a ,b ,c ,d 是实数,若a =b ,c =d ,则a +c =b +d ”,则它的逆否命题是 3．已知=+≤-=+-)1(,)1()1()1(12x fx x x f 则 .4．抛物线1sin 22+-=αx x y 的顶点在椭圆122=+my x 上，这样的抛物线有且只有二条，则m 的取值范围是 .5．已知函数)2(log )(x a x f a -=在(0,1)上是增函数,则a 的取值范围是 . 6．已知c a b ba a a a cb a b a 与则，若不共线，且,0,⋅⋅-=≠⋅的夹角7已知实数,log 21,log 21,log 2,,22121c b a c b a cba=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=满足这三个数从小到大排列为 . 8．函数13342++-+-=x x x y 的值域为9．已知=+++++-+-+=)6()5()0()4()5(,221)(f f f f f x f x则 .10．有8本书，其中3本相同，其余各不相同，若有人来借书，每本书被借到的概率相同，则借得４本书中有相同书的概率为11．已知0322,022,,2=+-+=---∆c b a c b a a c b a ABC 满足中，三边长，则这个三角形最大角的大小为12．如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形。

那么可能成为这个四面体的第四个面是 （填上你认为正确的序号） 二、选择题13．设A ，B 两点的坐标分别为（－1，0），（1，0）。

条件甲：A 、B 、C 三点构成以∠C为钝角的三角形；条件乙：点C 的坐标是方程)0(1222≠=+y y x 的解，则甲是乙的： ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14．在直二面角B A B A l ,,,βαβα∈∈--中，都不在l 上，,x AB 所成角为与α222,c o s c o s s i n A B y A B l z x y zβ++与所成角为与所成角为，则的值为( )A.2B. 2C.3D.315．方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是： （ ）16．已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ： （ ）A ．21 B ．31 C ．32 D ．41三、解答题17．已知函数b x xa x f ++=)sin 2cos2()(2（0>a ） (1)求)(x f 的单调增区间；(2)当0[∈x ，]π时，)(x f 值域为[3，4]，求a ，b 的值。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2025届上海市市八中学高三数学第一学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．122．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．23．已知变量的几组取值如下表：x1 2 3 4 y2.4 4.3 5.37若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．1344．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要5．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，7．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．32 B ．22-C ．12D ．12-8．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+9．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．10．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．32011．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-12．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市上海中学2022届高三综合练习（一）（数学）班级___________学号__________姓名_______________成绩_________________、 编辑：苑娜娜填空题定义在R 上的奇函数f 以2为周期，则f1 =___________如果复数（）的实部和虚部互为相反数，则b 等于_____________3．理 若n x )21(+展开式中含项的系数等于含项的系数的8倍，则n=______文 若，则目标函数的最小值为_______________4．已知，则关于的不等式1|3|>+a x a 的解集为__________________ 5．点2212516x y +=1F 1 21 .3n n n n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数kx2x 42-=-22||1||2BC CA =x 1cos cos ()||||AB C AC B OP OA AB AC λ=++3π3π6π3π6π1b 1c 1a 1c 14151a2a 1297111a a a +++5044 C),(23cos cos sin 3)(2R x R x x x x f ∈∈+-⋅=ωωωω6πz a a z +1C 3π1A1C1A1A，1当b=2，m=-4时，fg 恒成立，求实数c 的取值范围；2当c=-3，m=-2时，方程f=g 有四个不同的解，求实数b 的取值范围6．若给定椭圆C ：a2b2=1a>0,b>0,ab 和点N0,0，则称直线：a0b0=1为椭圆C 的“伴随直线”，1若N0,0在椭圆C 上，判断椭圆C 与它的“伴随直线”的位置关系当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交，并说明理由；2命题：“若点N0,0在椭圆C 的外部，则直线与椭圆C 必相交”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；3若N0,0在椭圆C 的内部，过N 点任意作一条直线，交椭圆C 于A 、B ，交于M 点异于A 、B ，设1MA AN λ=，2MB BN λ=，问12λλ+是否为定值说明理由填空题0 0 3理5 文 4 42a,-a-a,-4a 538 62419 7218 {}0),1()1,(⋃+∞⋃--∞9 （）11.8.4 12()⎪⎫ ⎛+λ++C A OC OB 21 选择题13 D 14 D 15 A 16 B解答题11f=1–in ⎪⎭⎫ ⎝⎛π+6x 2 2略 21||=5 2a=±531几种常见处理方法：用空间直角坐标系解、传统方法解、基向量解223443312V 2V 2V ABC A AC A B A ACC B 1111=⨯⨯⨯⨯===---41=10n110%n , nN*2由≤10n ⋅⋅n 1.1108.1n 2.0⨯+n 1.1108.1n 2.0⨯+⎩⎨⎧≥≥-+1n n 1n n a a a a 11211200⎪⎩⎪⎨⎧<---≥-+-0x ,8x 3x 0x ,8x 5x 22474545()0by 1x ax 2x x a aby 1y by x ax 1by ax 2002202200022=-+-+⇒⎩⎨⎧=+=+4a4a1,1，A, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=101110111y y y 1x x x 代入椭圆C ：a2b2=1，利用M 在上， 即a01b01=1，整理得a02b02–112a12b12–1=0 同理得关于2的方程，类似即1、2是a02b02–12a12b12–1=0的两根 ∴12=0 100%。

高三第八次模拟 数学试题（文科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知U =R ，2{|230}=+->A x x x ，则UA =A.{|31}-<<x xB.{|31}-≤≤x xC.{|13}-<<x xD.{|13}-≤≤x x 2.已知复数z 在复平面上对应的点为(21)Z -，，则A.12=-+z iB.||5=zC.z 2i =--D.2-z 是纯虚数 3.已知抛物线的焦点在x 轴负半轴，若2p =，则其标准方程为A.22y x =- B.22x y =- C.24y x =- D.24x y =-4.如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为 A.m n B.n m C.m nπD.n m π5.执行如图所示的算法，则输出的结果是 A.1B.54C.43D.2 6.已知向量()1,2a =，(,22b t =，若向量b 在a 方向上的 3=t A.1- B.1 C.3D.5s=0,n=2开始n=n+1n+1M=nM2s=s+log s Q?∈否是输出s结束7.若公差为2的等差数列}{n a 的前9项和为981S =，则2018a = A.4033 B.4035 C.4037 D.4039 8.设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、， 如果()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =，那么ABC ∆外接圆的半径为A ．1B ．2 C.2 D ．49.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ， 底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是 A .1CC 与1B E 是异面直线 B . AC ⊥平面11ABBA C .AE ，11BC 为异面直线且11AE B C ⊥D . 11//AC 平面1AB E10.已知定义在[1,25]a a --上的偶函数()f x 在[0,25]a -上单调递增，则函数()f x 的解析式不可能是A ．2()f x x a =+ B.||()x f x a =- C.()af x x = D.()log (||2)a f x x =+11.已知双曲线的两个焦点为()1100F -，、()2100F ，，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF =⋅，122MF MF ⋅=，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A ．3B ．13C ．12D ．112.如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+，则函数()F x =()g x ()f x - A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值 D.至少有一个极小值和两个极大值侧视图正视图112第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为14.已知,x y 满足不等式组2211≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩y x x y ,则4z y x =-的最小值是15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =16.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张． 甲说：我摸到卡片的标号是10和12； 乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数cos2y x =的图象.(Ⅰ)求()f π的值；(Ⅱ)求()f x 的单调递增区间. 18.(本小题满分12分)1俯视图侧视图正视图1122022年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.87919.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是长方形，22AD CD PD ===，5PA =，=120PDC ∠,点E 为线段PC收看 没收看 男生60 20 女生2020的中点，点F 在线段AB 上，且12AF =． （Ⅰ）平面PCD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求棱锥C DEF -的高. 20.(本小题满分12分)已知函数()(),x af x x e a R x=+∈ （Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）当5a ≥-时，求证：()f x 在区间(1)+∞，上为增函数.21.(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=的左右焦点分别为1(,0)F c -，2,0)F c （，离心率为12.若点P 为椭圆上一动点，12PF F ∆的内切圆面积的最大值为3π. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点(0,1)Q 作斜率为的动直线交椭圆于,A B 两点，AB 的中点为M ，在y 轴上是否存在定点N ，使得对于任意k 值均有1||||2NM AB =，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.请考生在22~23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分12分)【选修4－4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13,1x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设l 与C 交于,P Q 两点，求POQ ∠．23.(本小题满分12分)【选修4-5: 不等式选讲】定义在R 上的函数x k x x f 22+-=.•∈N k .存在实数0x 使()20<x f 成立，（Ⅰ）求正整数k 的值: （Ⅱ）若21>m ，21>n 且求证()()10=+n f m f ，求证31619≥+n m .高三第八次模拟数学（文科）答案一、选择题1.B2.D3.C4.D5.A6.A7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.C 二、填空题13.1 14.5- 15.n 13()2- 16.8和9三、解答题17.(Ⅰ)将函数cos2y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数cos4y x =的图象，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数cos 4cos 4123y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，()cos 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………4分()cos 4cos 33f ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭……………………6分(Ⅱ)令2k 4x 2k 3ππ-π≤-≤π 解得111k x k 26212ππ-≤≤π+π ∴所求单调递增区间为111[k ,k ],k Z 26212ππ-π+π∈……………………12分18.(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.………………………4分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生1824⨯=人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ………………………6分 (ⅱ)设抽取的6名男生分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，两名女生为甲、乙； 从中抽取两人，分别记为（A ，B ）,（A ，C ）,（A ，D ）,(A,E),(A,F),(A,甲）， （A,乙），（B ，C ）,（B ，D ）,(B,E),(B,F),(B,甲），（B,乙），（C ，D ）,(C,E),(C,F) (C,甲），（C,乙），(D,E),(D,F),(D,甲），（D,乙）， (E,F),(E,甲），（E,乙），(F,甲）， （F,乙），（甲,乙），共28种情形，其中一男一女包括(A,甲），（A,乙），(B,甲），（B,乙），(C,甲），（C,乙），(D,甲）， （D, 乙），(E,甲），（E,乙），(F,甲），（F,乙），共12种情形 所以，所求概率123287P ==. ………………………12分 19.解：（Ⅰ）∵222AP PD AD =+，∴AD PD ⊥，又AD DC ⊥， ∴AD ⊥平面PCD ，-----3分又AD ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ．………………6分 （Ⅱ）∵AD ⊥平面PCD ，120PDC ∴∠= 如图，求得571,24===DE DF EF .19∴=EFDS ………………8分 3锥锥C --=E DFC DFE V V ………………10分457∴=h -----12分 20.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，令()0f x =，得220,.x a x a +==-当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点； 当0a <时，得x a =-综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为a - …………………4分 （Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x++-=. 令32()g x x x ax a =++-(1)x >, 则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增. 所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+.当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………13分 21.解：(I)由12e =，得2a c = 设12PF F ∆内切圆半径为r ，则12121211(||||||)(22)322PF F S r PF PF F F r a c rc ∆=++=+= 又12121||||||2P P PF F S F F y c y ∆==， 当P 为椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积最大max max 3S bc r c ∴==，max 3,b r ∴=又max 3r =3b ∴=222,2a b c a c =+=，解得2,1a b ==所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=…………………4分 (II)设动直线方程为1y kx =+,点P 的坐标为0,)m （，联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得22(3+4)880k x kx +-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由已知1||||2NM AB =可得 NA NB ⊥,则 2212121212()()=(1+)(1)()(1)NA NB x x y m y m k x x m k x x m ⋅=+--+-++-222222222888(1)(412)[3(1)8](1)3+43443k k m m k m m k k k ----+--=-+-=++=0 ∵对任意的 值此方程2241203(1)80m m ⎧-=⎨--=⎩无解 ∴不存在点N 使得结论成立.…………………12分22.解法一：（1）由13,1,x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得l 的普通方程为313x y =+1分又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以l 的极坐标方程为()cos 313ρθθ= ................... 3分由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=， ............................................................... 4分 所以C 的直角坐标方程为2220x y x +-=． ........................................................................... 5分 （2）设,P Q 的极坐标分别为()()1122,,,ρθρθ，则12POQ θθ∠=-................................. 6分由()cos 313,2cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去ρ得()2cos cos 313θθθ=+ ............. 7分 化为cos 2323θθ=，即π3sin 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ....................................................... 8分 因为π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，即ππ7π2+666θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ263θ+=，或π2π263θ+=， ................ 9分 即12π,12π,4θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12π,4π,12θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12π=6POQ θθ∠=-． ........................................................ 10分解法2：（1）同解法一 .................................................................................................................. 5分 （2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ........ 6分将l 的参数方程化为标准形式31,2112x t y t ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩(其中t '为参数)，代入C 的直角坐标方程为2220x y x +-=得，2231311210222t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''-++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得，20t t ''+=，解得0t '=或1t '=-．8分设,P Q 对应的参数分别为12,t t ''，则121PQ t t ''=-=．所以60PCQ ∠=︒， ................ 9分精品 Word 可修改 欢迎下载 又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQ POQ ∠∠==︒ ....................................................... 10分 解法3：（1）同解法一 .................................................................................................................. 5分（2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ........ 6分 又由①得l 的普通方程为(3130x -=， .................................................................. 7分 则点C 到直线l 的距离为32d =， ............................................................................................ 8分 所以2211PQ d =-=，所以PCQ △是等边三角形，所以60PCQ ∠=︒， .................. 9分又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQ POQ ∠∠==︒…………………10分 23.解： 存在实数0x 使()20<x f 成立，()2min <∴x f=+-x k x 22 x k x 22+-x k x 22--≥k =，则()2min <=k x f解得22<<-k ，*∈N k ，1=∴k …………………5分(II)证明：由（1）知，()x x x f 212+-=，21>m ，21>n ， ()=+-=∴m m m f 212m m 212+-14-=m ，同理，()14-=n n f()()10==n f m f ，10244=-+∴n m ，即3=+n m=+∴n m 19()n m n m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+1931⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n m m n 91031316921031=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥n m m n 当且仅当n m m n =9，又3=+n m ，得49=m ，43=n 时取等号.…………………10分。

1上海中学2024学年第一学期高三年级数学期中2024.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.若集合{}1,0,1,5,10,20,{|1}A B x lgx =-=<,则A B ⋂=.2.已知全集U R =,集合{}{}|0,||1|3A x x a ,x R B x x ,x R =+≥∈=-≤∈.若()[]24U C A B ,⋂=-,则实数a 的取值范围是.3.已知幂函数()f x 的图像过点222⎛ ⎪⎝⎭,则()f x 的定义域为.4.若函数()(f x xln x =+是偶函数,则a =.5.已知0a >,则()()141a a a--的最小值为.6.已知函数()22f x x log x =+:则不等式()()120f x f +-<的解集为.7.设,,a b c 都是正实数,则"1abc ="是"a b c ++≥"的条件.8.已知函数()()212f x lg x ax =-+在[]13,-上是减函数,则实数a 的取值范围是.9.已知当[]11a ,∈-时,不等式()24420x a x a +-+->恒成立,则x 的取值范围为.10.已知函数()2f x +=,当(]01x ,∈时，()2f x x =,若在区间(]11,-内()()()1g x f x t x =-+有两个不同的零点,则实数t 的取值范围是.11.设,b c 均为实数,关于x 的方程0bx c x++=在区间[)1,+∞上有解,则22b c +的取值范围是.12.设[],01a b ,∈,记()()1111a b S a b b a=++--++,则它的最大值和最小值的差为.2二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）13.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是（）.A.11a b> B.a b-> C.22a b > D.33a b <14.已知函数()()22,01,0x x ax a x f x e ln x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩是R 上的严格增函数,则实数a 的取值范围是（）.A.(]0,-∞B.[]10,-C.[]11,- D.[)0,+∞15.若12,x x 是方程280x ax ++=的两相异实根,则有（）.A.122,2x x >> B.123,3x x >>C.12x x -≤D.12x x +>16.已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导数满足()()''f x g x ≤,给出两个命题:（1）对任意12,x x R ∈,都有()()()()1212f x f x g x g x -≤-;（2）若()g x 的值域为[]()(),1,1m,M f m f M -==,则对任意x R ∈都有()()f x g x =.则下列判断正确的是（）.A.(1)(2)都是假命题B.(1)(2)都是真命题C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是真命题，(2)是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.(本题满分14分)已知三个集合:(){}22|581A x R log x x =∈-+=,{}22822{|21},|190xx B x R C x R x ax a +-=∈==∈-+->.（1）求A B ⋃;（2）已知,A C B C ⋂≠∅⋂=∅,求实数a 的取值范围.318.(本题满分14分)记函数()f x =的定义域为()()(),21A g x lg x b ax ⎡⎤=-+⎣⎦(0,)b a R >∈的定义域为B .（1）求集合A ;（2）若A B ⊆,求,a b 的取值范围.19.（本题满分14分）某个体户计划经销,A B 两种商品，据调查统计，当投资额为()0x x ≥万元时，在经销,A B 商品中所获得的收益分别为()f x 万元与()g x 万元，其中()()()()12(0),6(0)f x a x a g x ln x b b =-+>=+>.已知投资额为零时,收益为零.（1）试求出,a b 的值;（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值.（精确到0.1万元）加入高中数学资料QQ 群734924357，获取更多精品资料！420.(本题满分18分)已知函数()()()(),,0;b f x ln ax g x ln x a b R ==>∈.（1）若,1a e b ==-,求()()f x g x ⋅的最大值;（2）若2a =，求关于x 的不等式()()0g x f x ≤的解集；（3）记()()()F x f x g x =+，对于给定的实数b ，若存在x 满足()1F x ≤，求a 的取值范围.加入高中数学资料QQ 群734924357，获取更多精品资料！521.（本题满分18分）若定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =分别存在导函数()'f x 和()'g x .且对任意x 均有()()''f x g x ≥，则称函数()y f x =是函数()y g x =的"导控函数".我们将满足方程()()''f x g x =的0x 称为"导控点"（1）试问函数y x =是否为函数y sinx =的"导控函数"?（2）若函数32813y x x =++是函数3213y x bx cx =++的"导控函数"，且函数3213y x bx cx =++是函数24y x =的"导控函数",求出所有的"导控点";（3）若()x x p x e ke -=+，函数()y q x =为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的"导控函数"，求证："1"k =的充要条件是"存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立。