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九年级数学下册26.2.2第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质习题课件(新版)华东师大版

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新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_37

新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_37

知识回顾
二次函数
开口方向 对称轴
顶点坐 标
y = ax 2
( a≠0 )
a ＞ 0 向上 直线
X=0 a ＜ 0 向下
(0,0)
知识回顾
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a ＞ 0 向上
y = ax 2+c
直线 （0，c）
( a≠0 )
a < 0 向下 X=0
知识回顾
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0)
把点（0,-3）（4，5）（－1, 0）代入得
∴ c=-3 16a+4b+c=5
a= 1 解得 b= -2
a-b+c=0
c= -3
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
知识应用
例2、已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
向上 向下 向上 向下
直线x=0 直线x=0 直线x=1 直线x=2
( 0, 0 ) (0,1) ( 1 , 0) ( 2 , -6 )
归纳 二次函数的几种表达式： y
①、 y ax2 (a 0)
②、 y ax2 c(a 0)
③、 y a(x h)2 (a 0)
o
x
与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.
答 1. y＝﹣（x＋1）2＋1
案
2. y＝x2－x＋1
课堂小结
求二次函数解析式时
已知图象过三点: 常设一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知顶点坐标:
常设顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)

华师版九年级数学下册26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质教案与反思

华师版九年级数学下册26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质教案与反思

新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。

出自郑燮的《新竹》前进学校史爱东东宫白庶子,南寺远禅师。

——白居易《远师》枫岭头学校张海泉古之学者必严其师，师严然后道尊。

欧阳修铁山学校何逸春1.会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．（重点）2.掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．（重难点）3.理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．（重点）一、情境导入在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与质【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A．a＝2B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得1＝4a＋2，∴a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点当x＜0时，y随x的增大而减小，∴A、B、D 均正确而顶点标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点坐标为(0，k)，对称轴y轴．【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断已知点(x1，y1)，(x2，y2)均抛物线y＝x2－1上下列说法中正确的是( )A．若y1y2，则x1＝x2．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1=x2或x1＝－x2，∴选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，∴选项B是错误的选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而大，则y1＜y2，∴选项C是错误的；选项D：若x1x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，故选D．方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．【类型三】在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.方法总结：在解决此类问题时，应分类讨论，逐一排查.【类型四】二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象之间的关系抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小、开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？解析：由于抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状相同，则a=-5，则利用顶点式可写出所求抛物线表达式，然后根据抛物线平移的规律判断抛物线y=-5x2怎样平移得到的抛物线y=-5x2+3.解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y ＝－5x2向上平移3个单位得到的．方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小、方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．探究点二：二次函数y＝ax2＋k的应用【类型一】y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B(－c2，c2)、C(c2，c2)，因为C(c2，c2)在函数y＝ax2＋c的图象上，将点C的坐标代入关系式即可求出ac的值．解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点的坐标为(c2，c2)．∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴c2＝a(c2)2＋c，即ac＝－2.方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．【类型二】二次函数y＝ax2＋k的实际应用如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－15x2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？解析：（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y=3.05和y=2.25时x的值即可得出答案．解：(1)∵y＝－15x2＋72的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.(2)在y＝－15x2＋72中，当y＝3.05时，3.05＝－15x2＋72，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－1 5x2＋72，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．方法总结：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。

华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数的图象与性质》说课课件

华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数的图象与性质》说课课件

7．独立作业（2分钟）
8．教学反思
返回
９．板书设计
1、教具、学具准备 教具：多媒体演示课件. 学具：方格纸。
2．温故知新，导入新课
①用多媒体课件在同一直角坐标系内，画出函数 y 1 x2 、y 1 x2
与
y
1 (x 2)2 和
2
y 1 x2 、y 1 x2 1
2
2
与
y
1
(x
2
2)2
所要学习的内容。
返回
二次函数图象与性质
函数 y=ax2 y=ax2＋k y=a(x-h)2
a的符号 开口方向 对称轴 顶点坐标
性质
a＞0
向上
y轴
X<0, x ↗ （0，0） X>0, x↗
y↘ y↗
当X=0时 y最小＝
a＜0
向下
y轴
X<0 ,x ↗ y↗ （0，0） X>0, x↗ y↘
当x=0时 y最大＝
y1(x2)2 1 2
顶点坐标 （0，0）
（0，1）
（2，1）
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
直线x=2
位置
在x轴(直线y=0)的上方 （除顶点外）
开口方向
向上
增减性 最值
X<0 ,x ↗ y ↘ X>0, x↗ y ↗
当x=0 时，最小值为 0。
在x轴(直线y=1)的上方 （除顶点(0,1) 外）
2
图象，你能发现这个函数有哪 问题3： 些性质？
问题4：
几何画板
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 6:02:44 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14

华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=ax2+k的图象与性质》公开课课件

华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=ax2+k的图象与性质》公开课课件

• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
① 当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下; ② 对称轴:y轴;
③ 顶点坐标 (0,k).
【能力提升】
已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与y=2x2相同, 并且抛物线过点(1,1).
(1)求抛物线的关系式; (2)写出所求抛物线的顶点坐标, (3)说出抛物线y=2x2经过怎样的平移可以得到该抛物线?
解：（1）由抛物线的形状、开口方向、对称轴与y=2x2相同， 可设抛物线的关系式为y=2x2+k； 把点（1，1）代入，得1=2×12+k, 解得k=-1.
∴抛物线的关系式为y=2x2-1 （2）抛物线y=2x2-1的顶点坐标为（0，-1）； （3）把抛物线y=2x2向下平移1个单位后可得到y=2x2-1
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)

九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)

(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，

华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
图②的位置，m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动，
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52

26.二次函数y=ax2的图象与性质-华东师大版九年级数学下册课件


y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点:根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y);y
连线:如图,再用平滑曲线顺次连接各点,
9
就得到y =象的形状吗?
(2)图象是轴对称图形吗？
3
如果是,它的对称轴是什么?
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
例题精析
例2 在同一直角坐标系中,画出函数 y 1 x2, y 2x2的图象. 2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图所示:
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
温故夯基
二次函数的概念和一般情势: 形如y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的函数,
叫做二次函数. 其中,x是自变量,a,b,c分别是函数 表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 说明:
(1)等号左边是因变量y,右边是关于自变量x的整式;
(2) a,b,c为常数，且二次项系数a≠0; (3)等式右边的最高次数为2,可以没有一次项和常数 项,但不能没有二次项; (4)自变量x不能出现在分母中或根号里;
随堂练习
1.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点(－1，2). (1)则a的值是 2 ； (2)对称轴是 y轴 ，开口向上. (3)顶点坐标是(0,0) ，顶点是抛物线上的最 小 值 .
解:(1)依题意得: y=(26－2x)(20－2x) =4x2－92x+520 ,(0＜x＜10)．
(2)依题意得:4x2－92x+520=280． 整理得:x2－23x+60=0,

二次函数的图像和性质PPT课件


所以该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的坐标满足抛
物线的表达式，即
解得
a b 6 3， 4a 2b 6 6.
a 3， b 6.
所以该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
例. 通过配方，写出下列抛物线的 开口方向、对称轴和顶点坐标．
画二次函数的图像取点时先确定顶 点，再在顶点的两旁对称地取相同 数量的点，一般取5－7个点即可.
函数y=ax²+bx+c的图像和性质：
顶点坐标：（-2ba ，4a4ca-b2）对称轴： 直线x=-2ba
与y轴交点：（0，c） 与x轴交点（：-b± b2-4ac
2a
，0）
开口 增减性
最值
向 a>0 上
-
b2 4a
+c
=
a( x
+
b )2 2a
+
4ac 4a
b2
1、函数y= ax2+bx+c的图像 的顶点坐标:
(- b , 2a
4ac - b2 ) 4a
对称轴:直线
x
=
-
b 2a
函数y= ax2+bx+c Ⅰ、当a＞0时:
当
x
=
-
b 2a
最小值=
4ac - b2 4a
函数y= ax2+bx+c
二次函数的图像和性质
课件
1、抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质：
1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线x=h； 3.顶点坐标是 (h，k.)
2、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与 y=ax2的 形状 相同，位置 不同

华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质


(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2

九年级数学下册二次函数的图象和性质1ppt华师大版


(第 5 题)
用6 m长的铝合金型材 做一个形状如图26.2.5所示 的矩形窗框．应做成长、 宽各为多少时，才能使做 成的窗框的透光面积最大？ 最大透光面积是多少？
图 26.2.5
解 设做成的窗框的宽为x m，则长为 6 3x m．这里应有x＞0，且
2 6 3x 2
＞0，故0＜x＜2．
图 26.2.5
y
x 如图所示，现测得水面宽1.6m，涵洞 O 顶点O到水面的距离为2.4m，在图中 A B 直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的 函数关系式是什么？ 分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y 轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的 抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可 设它的函数关系式是y=ax2 (a≠0) ．此时只需抛物线上的 一个点就能求出抛物线的函数关系式。
y o x
二次函数的 图象和性质
想一想 一般地，函数关系式中几个独立的系数，那 么就需要有相同个数的独立条件都能求出函 数关系式。例如：我们在确定一次函数 y=kx+b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独 立的条件；确定反比例函数y=k/x(k ≠0)的关 系式时，通常只需要一个条件；如果要确定 二次函数y=ax2+bx+c(aHale Waihona Puke ≠0)的关系式时，又 需要几个条件呢？
做成的窗框的透光面积y与x的函数关系 式是 y=x• 6 3 x ,即 y= 3 x 2 3x 2 2 3 3 2+ 配方得 y＝－ （x－1） 2 2 所以当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝ 6 3x 1.5．因为x＝1时，满足0＜x＜2，这时 =1.5．
所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框，才能 使透光面积最大．最大面积是1.5 m2．
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