〖6套试卷汇总〗浙江省温州市2020年高二(上)数学期末达标检测模拟试题

2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．下列直线中与直线210x y -+=垂直的一条是（ ） A ．210x y ++= B ．2420x y -+= C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】A【解析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线210x y -+=的斜率为12，而直线210x y ++=的斜率为2-，它与已知直线的斜率之积等于1-，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件； 而直线2420x y -+=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12-，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件， 故选：A.【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.2．双曲线22154x y -=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】B【解析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可. 【详解】 解：双曲线22154x y -=，焦点在x轴上，3c ==， 所以双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =心距为d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a +=-∴=-．故选B ．4．已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则x y +的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]2,4D ．[]2,4-【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 令z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,5A -时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大. 即max 154z =-+=.当直线y x z =-+经过点()1,1B --时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小. 即min 112z =--=-. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也比不要条件【答案】C【解析】2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，1n n n a S S -=-.1n =时，11a S p q ==+，可得2n a pn p q =-+.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论. 【详解】解：2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 1n =时，11a S p q ==+，对于上式也成立.∴2n a pn p q =-+.∴{}n a 成等差数列，反之也成立.∴“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的充要条件. 故选：C . 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD 上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ） A ．αϕ≥ B ．αϕ> C ．αϕ<D ．αϕ≤【答案】C【解析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案. 【详解】 解：如图，折叠后，,OA OB 都与x 轴垂直，AOB α∠=OA 看作是椭圆弧CBD 所在平面的一条斜线，其射影为OB ，则α为平面CBD 的一条斜线OA 与平面CBD 所成角， 而OE 为平面CBD 内的一条与OB 不重合也不平行的直线，ϕ为OA 与OE 所成角，根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知αϕ<. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M是唯一的，则a =（ ）A．3±B．CD【答案】A【解析】先求出动点M 的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a 即可. 【详解】解：设动点(),M x y12=， 化简可得：()2224x y ++=，∴动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.曲线C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆， 且M 在直线20ax y a --=上，故直线与圆相切，且切点为M ， 2=，得231a =，∴3a =±，故选：A. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为3：④二面角A BC D --的：其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =， 设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC tθ⋅====⋅，故③正确： 平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅，∴6sin ,m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ） A 3B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】设左焦点()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】解：设()1,0F c -，渐近线方程为by x a =，对称点为(),F m n '，即有n a m c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅， 解得22b a m c-=，2abn c=-， 将222,b a ab F c c ⎛⎫-'- ⎪⎝⎭，即2222,c a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241c a a b c a c b--=， 化简可得2241c a -=，即有25e =，解得e =故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题11．经过两点A (2,3)，B (1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．【答案】－1 135°【解析】由斜率定义式得k ＝－1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角． 【详解】由斜率定义得k ＝4312--=－1，设倾斜角为α,α[0.π∈）,则tan α1,=-故3πα4=，即135°故答案为－1 ； 135° 【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题 12．已知椭圆C ：221169y x +=，则该椭圆的长轴长为______：焦点坐标为______.【答案】8(0,【解析】利用椭圆方程求解a ，b ，c ，推出结果即可. 【详解】 解：椭圆C ：221169y x +=，可得4a =，3b =，且焦点在y 轴上，则该椭圆的长轴长：8，c ==(0,故答案为：8；(0,.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为__________3cm .【答案】43643【解析】【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD ，如图，最长的一条棱的是P Ｃ,长度22244443++= ,体积为21644433⨯⨯= 14．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【答案】60︒ 120︒【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.【详解】解：如图，在平面β内过点A 作//AE BD ，且AE BD =，又AB BD ⊥，则ABDE 为矩形，连接CE ，DE ，∵AB AC ⊥， ∴ED AC ⊥， 又ED AB ⊥，ABAC A =，AB平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ED ⊥平面ACE ， ∴ED EC ⊥， ∴3CE =，1cos 2CDE ∠=，即60CDE ︒∠=，则AB 与CD 所成的角为60︒：又BD l ⊥，则AE l ⊥，又AC l ⊥，CAE ∠为二面角l αβ--的平面角， 又1131cos 2112CAE +-∠==-⨯⨯，则120CAE ∠=︒. 故答案为：60︒；120︒.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题.15．在平面区域2100260270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为M ，则M 的方程为______.【答案】()()22345x y -+-=【解析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程. 【详解】解：画出该区域得三角形ABC ，顶点坐标分别为()2,4A -，()4,1B ，()8,9C ，且为直角三角形，三边长分别为35，45，55，由于面积最大，故圆M 是ABC 内切圆，5R =：设(),M a b ，则21026275555a b a b a b -++---===：解得3a =，4b =：所以圆M 的方程为()()22345x y -+-=.故答案为：()()22345x y -+-=.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法，属于中档题． 16．已知过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为______.【答案】321+【解析】由题意画出图形，再由2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，结合椭圆上的点右端点到左焦点的距离最大求解. 【详解】 解：如图，由椭圆C ：2212x y +=，得2a =1b =，1c =.2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，∵AB 的最大值为22BF 21，∴2321AF BF +≥，又2AF BFk +≥恒成立，则k 的最大值为321.故答案为：321.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于基础题．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.【答案】【解析】根据题意，求出直线AB 的方程，设()00,P x y ，分析可得点C 、D 在以OP 为直径的圆上，求出以OP 为直径的圆的方程，分析可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由直线OM 的方程，联立3个方程可得点M 的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】解：根据题意，()4,0A -，()0,4B ，则直线AB 的方程为40x y -+=，设()00,P x y ，则004y x =+，①，如图：又由OD DP ⊥，OC CP ⊥，则点C 、D 在以OP 为直径的圆上，又由OP 的中点即该圆圆心为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其半径为1122OP = 则以OP 为直径的圆的方程为22000x y x x y y +--=，联立两圆的方程22220040x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由线段CD 的中点为M ，则直线OM ：000x y y x -=，③ 联立①②③消去0x ，0y ，可得M 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径22r ：又由()4,0A -，则AM 的最大值为14923244++=： 故答案为：32【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点M 的轨迹，属于综合题．三、解答题18．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=.（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】试题解析：（1）因为不论k 为何实数，直线l 总过点A （1,0），而523AC R <=,所以点A 在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点 （2）由几何性质过点A （1,0）的弦只有和AC 垂直时最短，而此时点A （1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为212527-=【考点】本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，M是PC的中点，二面角P DC A--的大小为45︒.（1）设l是平面PAB与平面PCD的交线，证明CD l∥；（2）在棱AB是否存在一点N，使M DN C--为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN长.【答案】（1）见解析（2）存在，35AN=【解析】（1）先证明//CD平面PAB，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角P DC A--的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设()N x，求出平面的法向量，,0,0根据M DN C--的二面角为60︒，建立方程，解出即可得出结论.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴//CD AB，又AB在平面PAB内，CD不在平面PAB内，∴//CD平面PAB，又平面PCD过直线CD，且平面PAB⋂平面PCD l=，∴//CD l ：（2）∵PA ⊥正方形ABCD 所在平面，∴易知二面角P DC A --的平面角即为45PDA ∠=︒， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则()0,2,0D ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1M ，设(),0,0N x ， 易得平面DNC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面MDN 的一个法向量为(),,n a b c =，又()1,1,1MD =--，()1,1,1NM x =-，则()010n MD a b c n NM x a b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则可取1,,122x x n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴22112cos ,cos 6021142xm n m n m nx x -⋅===︒=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，解得35x =-，故存在存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角，且35AN =-.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 20．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点.（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求MN 的长；（2）设M 在准线上的射影为A ，求证：A ，O ，N 三点共线（O 为坐标原点）. 【答案】（1）8；（2）见解析【解析】（1）由题意知直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长MN ：（2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出AO ，ON 的斜率，值相等，结合两直线有公共点O 可得三点共线. 【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点()1,0F ，直线l 的倾斜角为45︒，则直线的斜率为1，所以直线l 的方程：1x y =+，设(),M x y ，(),N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440y y --=， 所以4y y '+=，4yy '=-，所以弦长8MN===，所以MN 的长为8；（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设(),M x y ，(),N x y ''，由题意知()1,A y -，联立直线与抛物线的方程整理为：2440y my --=，4y y m '+=，4 yy'=-，4 yy =-'因为41OAyk yy==-='-，244ONyy ykx y'''===''∴OA ONk k=，AO，ON又有公共点O，所以A，O，N三点共线.【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.若1AB=，3BC=，1AF FE EC===.（1）求证：AC DE⊥；（2）若1DE=，求BE与面ACEF所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）12【解析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，1OE CE AF===，2==AC BD，从而CDO∆是边长为1的正三角形，取OC中点G，连结DG，EG，连结DG，EG，从而EG AC⊥，DG AC⊥，由此能求出AC⊥平面DEG，由此能证明AC DE⊥. （2）过B作BH AO⊥，交AO于点H，连结FH，以H为原点，HB为x轴，HC为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与面ACEF 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ， ∵矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .1AB =，BC =，1AF FE EC ===.∴1OE CE AF ===，2AC BD ===，∴CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ， ∴EG AC ⊥，DG AC ⊥， ∵DGEG G =，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，∴AC ⊥平面DEG ， ∵DE ⊂平面DEG ， ∴AC DE ⊥.（2）解：∵1DE =，∴三棱锥E CDO -和三棱锥E ABO -都是棱长为1的正四面体，过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，∴1BF EF HG ===，2FH BH EG ====，12CG =，30BCA ∠=︒，∴BG ===，∴以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，263E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,33BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ACEF 的法向量()0,0,1n =，设BE与面ACEF所成角为θ，则21 3sin2169BE nBE nθ⋅===⋅，∴BE与面ACEF所成角的正弦值为12.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l 与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅的最小值．【答案】（1）221123x y +=；（2）165.【解析】分析：（Ⅰ3|AB|=10列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出AD EB ⋅的表达式()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，再求函数的最小值即得AD EB ⋅的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设224a b =，即椭圆2222:14x y C b b +=，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=又∵()2,1M -,即12124,2x x y y +=-+=， ∴AB斜率121212y y k x x -==-．由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=． 则()221211116482104AB k x b =+-=+--=解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．（Ⅱ）设直线():21AB y k x =++,由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， ()()()22214821421120k xk k x k +++++-=． 于是()()212122282142112,1414k k k x x x x kk-++-+=⋅=++．()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +⎡⎤=-++++=⎣⎦+．同理可得()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+． ∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭，()222222011651442k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,当1k =±时取等号．综上，AD EB ⋅的最小值为165．点睛：本题的难点在求得()()()2222201144kAD EB k k +⋅=++之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，()()()()2222222222012011651441442k k k k k k ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.。

浙江省温州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221916x y -=的实轴长为（ ）A. 3B.4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】由题得a =3, 所以实轴长为6. 故选：C2.与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（ ） A. 2310x y ++= B. 2310x y C. 3210x y -+= D. 3210x y ++=【答案】B【解析】设M (x ,y )是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点为(,)M x y '-在直线:2310l x y -+=上，所以23+10,x y 即2310x y .与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为2310x y . 故选：B3.若直线0x y -=与圆()()2211x y m-++=相离，则实数m 的取值范围是（ ）A.(]0,2B.(]1,2C.()0,2D.()1,2【答案】C【解析】由题得圆心到直线的距离为d =>，所以2m <，因为m ＞0，所以0＜m ＜2.故选：C4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A. 6B. 2C. 12D. 3【答案】A【解析】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示：故该几何体的体积为1(12)2262V=+=．故选：A．5.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（）A. 底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B. 各个面都是正三角形C. 三个侧面是全等的等腰三角形D. 顶点在底面上的射影为重心【答案】A【解析】A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA =VC =BC =AB ，AC =VB 时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形ABC ,其重心为O ,过点O 作平面ABC 的垂线OV ，连接VA ,VB ,VC 得到三棱锥V -ABC ,显然三棱锥V -ABC 不是正三棱锥，所以该选项错误. 故选：A6.如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】D【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D ,E ,F ， 连接PD ,DE ,EF ,PF .由题得PD ||VB ,DE ||AC ,因为,PD DE ⊆平面DEFP ,VB ,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB ||平面DEFP ,AC ||平面DEFP , 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB===,所以四边形DEFP 平行四边形， 因为VB =4,AC =2,所以PD =FE =2,DE =PF =1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D7.已知直线1:l y kx=和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（ ）A.221x y +=B.()2211x y -+=C.()2210x y x +=≠D.()()22110x y x -+=≠【答案】D【解析】由题得,,22y kx y xx ky x y =⎧∴=⎨-+=-+⎩所以()2211x y -+=.由题得222220,(1)21x k x k x x k +-=∴+=∴=+，，所以0x >.所以点P 的轨迹方程为()()22110x y x -+=≠.故选：D8.已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（ ） A. ()1,1B.()1,2C.()2,1D.()2,2【答案】B 【解析】设112200(,),(,),(,)A x yB x y P x y ，是由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，，所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+. 把1322y x =+代入双曲线方程得>0∆.对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足>0∆. 故选：B9.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，且124PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为（ ）A. 35B. 45C. 14D. 34【答案】A 【解析】设P00(,)x y ，由题得1020||,||,PF a ex PF a ex =+=-因为124PF PF =，所以0003344,,55a a ex a ex x a e e +=-∴=≤∴≥,所以此椭圆的离心率e 的最小值为35.故选：A10.在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，()0,2B ，圆()22:1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得2212MA MB +=，则实数a取值范围为（ ）A. 1,1⎡+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1,1⎡+⎣D. 1⎡-+⎣【答案】B【解析】设(,)M x y ，则2222(2)(2)12x y x y -+++-=， 所以22(1)(1)4x y -+-=，所以点M 的轨迹是一个圆D , 由题得圆C 和圆D相交或相切，所以13≤≤，所以11a -≤≤+ 故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线()2:1210l m x y +-+=（m为常数），若直线l 的斜率为12，则m =__________，若1m =-，直线l 的倾斜角为__________． 【答案】 (1). 0 (2). 45︒【解析】（1）由题得211,022m m +-=∴=-；（2）若1m =-，则直线的斜率21,2k =-=-所以直线的倾斜角为45︒.故答案为：(1). 0 (2). 45︒ 12.在平面直角坐标系中，点()1,2A -关于x 轴的对称点为()1,2A '--，那么，在空间直角坐标系中，()1,2,3B -关于x 轴的对称点B '坐标为__________，若点()1,1,2C -关于xOy平面的对称点为点C '，则B C ''=__________．【答案】 (1).()1,2,3---(2).【解析】（1）由题得()1,2,3B -关于x 轴的对称轴点B '坐标为()1,2,3---；（2）点()1,1,2C -关于xOy 平面的对称点为点C '（1,-1，-2），所以B C ''==故答案为：(1). ()1,2,3---(2).13.已知圆221:1C x y +=和圆()()()2222:430C x y r r -+-=>外切，则r 的值为__________，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为__________．【答案】 (1).4 (2). 5【解析】（1|1|,4r r =+∴=.（2）点()00,A x y 在圆1C 上，所以2222000011x y y x +=∴=-，，所以2200004=14x y x x +--，因为011x -≤≤，所以220004x y x +-的最大值为5.此时01x =-.故答案为： (1).4 (2). 514.已知直线1y x =-与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA OB ⊥，则p 的值为__________．【答案】 (1). 1x =- (2). 12【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y =0得x =1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为x =-1.（2）联立221y pxy x ⎧=⎨=-⎩得2(22)10x p x -++=，设1122(,),(,)A x yB x y ，所以121222,1x x p x x +=+⋅=，因为OA OB ⊥，所以121212120,(1)(1)0x x y y x x x x +=∴+--=，所以1212()210x x x x -++⋅+=，所以12230,2p p --+=∴=.故答案为：(1). 1x =- (2). 1215.某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆()222210x y a b a b +=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是__________．【答案】243a bπ【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为22214()233a b a b a bπππ-⨯=.故答案为：243a bπ16.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点.沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE △内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是__________．【答案】10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，由于梯形是等腰梯形，所以AE BE AE EC ⊥⊥，.折叠之后，AE BE AE EC ⊥⊥，.所以BEC ∠就是二面角B AE C --的平面角θ.当090θ>时，不存在这样的点Q ;当090θ=时，点Q 恰好是AE 的中点.此时cos 0θ=.当0090θ<<时，以点E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则E (0,0,0),B (sin ,cos ,0)θθ，5(0,2A P . 设Q 在平面ABE 内，(tan ,y,z)Q y θ.所以EB(sin ,cos ,0)θθ,EA =.5(tan ,,2PQ y y z θ=--,由题得0,PQ EA z z ⋅==∴=.所以点Q 在△ABE 的中位线GH 上，所以点Q 的纵坐标1cos 2y θ≤.由题得25sin 5sin tan ()cos ()cos 02cos 2PQ EB y y y y θθθθθθ⋅=+-=+-=，所以25cos 2y θ=，所以251cos cos 22y θθ=≤，所以1cos 5θ≤. 所以此时10cos 5θ<≤.综上所述，10cos 5θ≤≤.故答案为：10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点()0,M m 在y轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为__________． 【答案】()()0,11,9【解析】设()24,4N t t ，可知()0,1F ，0m >且1m ≠，所以()24,14NF t t =--，()24,4NM t m t =--，因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM ⋅>， 即()()222161440t t m t +-->， 整理得()42161240t m t m +-+>，等价于()4286202mt m t +-+>对任意t R ∈恒成立；令20x t =≥，则()()286202mf x x m x =+-+>对任意[)0,x ∈+∞恒成立；因为()f x 的对称轴为38mx -=-，故分类讨论如下：（1）308m--≤，即03m <≤时， ()()min 002mf x f ==>，所以03m <≤；（2）308m -->，即3m >时，应有()2624802mm ∆=--⨯⨯<，得39m <<；综上所述：()()0,11,9m ∈.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点()1,2A -和()3,2B -，且过点()3,1P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点,M N .（1）求圆C 的标准方程；（2）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程.【解】（1）易求得AB 的中点为()1,0，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --=由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得圆心C 的坐标为()1,0， ∴半径CA =，故圆C 的标准方程为：()2218x y -+=（2）当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2，若直线l 的斜率存在，设直线():13l y k x +=-，即310kx y k ---= ∴圆心()1,0C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x ，符合题意，综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=19.如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，AB CD ∥.（1）求证：CD EF ；（2）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE △是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积.【解】（1）AB CD AB CD αα⎫⎪⊄⎬⎪⊂⎭AB α⇒ 又AB γ⊂，EF αγ=，AB EF ∴， 又AB CD ∥，CDEF ∴ （2）由题得122sin 602ACE S =⋅⋅⋅︒=△又棱柱高2h ==2=V Sh ∴===20.已知点,A B 的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线,AM BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2.（1）求点M 的轨迹方程C ；（2）若直线:0l x y -=与曲线C 交于,P Q 两点，求APQ ∆的面积.【解】（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+，所以轨迹方程21y x =-(0y ≠或1x ≠±)； （2）设()11,P x y ，()22,Q x y 联立方程210y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以PQ ==A到直线的距离为d ==所以12APQ S d PQ =⋅⋅=△．21.如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点.（1）求证：AD BC ⊥；（2）在直线CH 上确定一点F ，使得AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角.【解】（1）易知CH BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCDCH ∴⊥面ABD ，CH AD ∴⊥又AD CD ⊥，AD CH ⊥，⋂=CD CH C ，,CD CH ⊆平面BCD , AD ∴⊥平面BCD ，AD BC ∴⊥（2）在CH 延长线上取点F ，使FH HC =,则四边形BCDF 为平行四边形 又EH AF ，EH ⊂面BDE ，AF ⊄面BDE ，AF ∴面BDE又AD ⊥面BCD ，AFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角又DF BC AD ==，45AFD ∴∠=︒，即AF 与面BCD 所成线面角为45︒22.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上. 【解】（1）由已知得22312b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆的方程为22143x y +=；（2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >，:1MN l x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()111:22A M y l y x x =++，()222:22A N y l y x x =--，所以()()()122121122121222P x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()12212121212222my y y y y y y y y y +++-=-++， 又因为()121223my y y y =+， 所以()()()()2121212124242P y y y y x y y y y ++-==-++； 所以点P 在直线4x =上．。

2019-2020 学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（4 分）准线方程是 y=﹣2 的抛物线标准方程是（）A． x2=8y B． x2 =﹣ 8y C．y2=﹣8x D．y2=8x2．（4 分）已知直线 l1： x﹣y+1=0 和 l2： x﹣ y+3=0，则 l1与 l2之间距离是（）A．B．C．D． 23．（4 分）设三棱柱ABC﹣ A1B1C1体积为 V，E，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点，则三棱锥 E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．4．（4 分）若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切，则 m 的值是（）A．0 或 2 B．2 C．D．或25．（4 分）在四周体ABCD中（）命题①： AD⊥ BC且 AC⊥BD 则 AB⊥CD命题②： AC=AD且 BC=BD则 AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确6．（4 分）设 m、n 是两条不一样的直线，α、β是两个不一样的平面．考察以下命题，此中正确的命题是（）A． m⊥α，n? β，m⊥ n? α⊥β B．α∥β，m⊥α， n∥β? m⊥nC．α⊥β， m⊥α，n∥β? m⊥ n D．α⊥β，α∩β =m，n⊥m? n⊥β7．（4 分）正方体 ABCD﹣A B C D 中，二面角A﹣BD ﹣ B 的大小是（）1 1 1 1 1 1A．B．C．D．8．（4 分）过点（ 0，﹣ 2）的直线交抛物线2 1 1 2 2 12﹣y =16x 于 A（x ， y ），B（ x ，y ）两点，且 yy2 2=1，则△ OAB（O 为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4 分）已知在△ ABC中，∠ ACB=，AB=2BC，现将△ ABC绕BC所在直线旋转到△ PBC，设二面角 P﹣BC﹣A 大小为θ，PB与平面 ABC所成角为α，PC与平面 PAB所成角为β，若 0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4 分）如图，F1，F2是椭圆 C1与双曲线C2的公共焦点，点 A 是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠ F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．11．（6 分）双曲线 C：x2﹣4y2=1 的渐近线方程是，双曲线C的离心率是12．（6 分）某空间几何体的三视图以下图（单位：cm），则该几何体的体积 V= ．cm3，表面积S= cm2．13．（4 分）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点，则知足=．14．（6 分）已知直线 l1：y=mx+1 和 l2：x=﹣my+1 订交于点 P，O 为坐标原点，则是（用 m 表示），的最大值是．15．（6 分）四周体 ABCD中，已知 AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四周体体积的最大值是P 点横坐标，表面积的最大值是．16．（4 分）过双曲线 G ：（a ＞0，b ＞0）的右极点 A 作斜率为 1 的直线 m ，分别与两渐近线交于 B ，C 两点，若 | AB| =2| AC| ，则双曲线 G 的离心率为 ． 17．（4 分）在棱长为 1 的正方体 ABCD ﹣A B C D 中，点 P 是正方体棱上的一点（不包含棱的1 1 1 1端点），对确立的常数 m ，若知足 | PB|+| PD 1 | =m 的点P 的个数为 ，则 n 的最大值是．n三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14 分）已知抛物线 C ：y 2=4x ，直线 l ：y=﹣x+b 与抛物线交于 A ，B 两点．（Ⅰ）若 | AB| =8，求 b 的值；（Ⅱ）若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程．19．（ 15 分）在四棱锥 E ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O ，EC ⊥底面 ABCD ，F 为 BE 的中点．（Ⅰ）求证： DE ∥平面 ACF ；（Ⅱ）求证： BD ⊥AE ；（Ⅲ）若 AB=CE ，在线段 EO 上能否存在点 G ，使 CG ⊥平面 BDE ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明原因．20．（ 15 分）如图，四棱锥 P ﹣ ABCD ，PA ⊥底面 ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥ AD ，AB=AD=PA=2，CD=4，E ， F 分别是 PC ，PD 的中点．（Ⅰ） 证明： EF ∥平面 PAB ；（Ⅱ） 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值．21．（15 分）已知点 C （ x 0， y 0）是椭圆 +y 2=1 上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F （1，0）．（Ⅰ）若圆 C 与 y 轴相切，务实数 x 0 的值；（Ⅱ）若圆 C 与 y 轴交于 A ，B 两点，求 | FA| ?| FB| 的取值范围．22．（15 分）已知椭圆 C 的方程是 ，直线 l ： y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，若 F 1 ⊥ ， 2 ⊥ ， M ， N 分别为垂足．M l F N l （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形 F 1 2 面积 S 的最大值．MNF2019-2020 学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（4 分）准线方程是y=﹣2 的抛物线标准方程是（）A． x2=8y B． x2 =﹣ 8y C．y2=﹣8x D．y2=8xy 轴的正半轴，【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在设抛物线标准方程为： x2=2py（ p＞ 0），∵抛物线的准线方程为y=﹣ 2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x2=8y．应选 A．2．（4 分）已知直线 l ： x﹣y+1=0 和 l ： x﹣ y+3=0，则 l 与 l 之间距离是（）1 2 1 2A．B．C．D． 2【解答】解：∵已知平行直线l1：x﹣y+1=0 与 l2：x﹣y+3=0，∴l1与 l2间的距离 d==，应选 C．3．（4 分）设三棱柱 ABC﹣ A1B1C1体积为 V，E，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点，则三棱锥 E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱 ABC﹣ A1B1C1体积为 V，∴V=S△ABC?AA1，∵E，F，G 分别是 AA1， AB，AC的中点，∴S△AFG=，，∴三棱锥 E ﹣AFG 体积：E ﹣AFG= △ ABC?AA 1= ．V= = S应选： D ．．（ 分）若直线 x+y+m=0 与圆 x 2+y 2 相切，则 m 的值是（ ）4 4 =m A ．0 或 2 B ．2 C ．D ． 或2【解答】 解：∵圆 x 2+y 2=m 的圆心为原点，半径 r=∴若直线 x+y+m=0 与圆 x 2+y 2=m 相切，得圆心到直线的距离 d= = ，解之得 m=2（舍去 0） 应选 B ．5．（4 分）在四周体 ABCD 中（）命题①： AD ⊥ BC 且 AC ⊥BD 则 AB ⊥CD命题②： AC=AD 且 BC=BD 则 AB ⊥CD ．A ．命题①②都正确B ．命题①②都不正确C ．命题①正确，命题②不正确D ．命题①不正确，命题②正确【解答】 解：关于①作 AE ⊥面 BCD 于 E ，连结 DE ，可得 AE ⊥BC ，同理可得 AE ⊥BD ，证得 E 是垂心，则可得出 AE ⊥CD ，从而可证得 CD ⊥面 AEB ，即可证出 AB ⊥CD ，故①正确；关于②，取 CD 的中点 O ，连结 AO ， BO ，则 CD ⊥AO ，CD ⊥ BO ，∵AO ∩BO=O ，∴CD ⊥面 ABO ，∵AB? 面 ABO ，∴CD ⊥ AB ，故②正确．应选 A ．6．（4 分）设 m、n 是两条不一样的直线，α、β是两个不一样的平面．考察以下命题，此中正确的命题是（）A． m⊥α，n? β，m⊥ n? α⊥β B．α∥β，m⊥α， n∥β? m⊥nC．α⊥β， m⊥α，n∥β? m⊥ n D．α⊥β，α∩β =m，n⊥m? n⊥β【解答】解：设 m、n 是两条不一样的直线，α、β是两个不一样的平面，则：m⊥α，n? β，m⊥n 时，α、β可能平行，也可能订交，不必定垂直，故A 不正确α∥β， m⊥α，n∥β时， m 与 n 必定垂直，故 B 正确α⊥β， m⊥α，n∥β时， m 与 n 可能平行、订交或异面，不必定垂直，故 C 错误α⊥β，α∩β =m时，若 n⊥ m，n? α，则 n⊥β，但题目中无条件 n? α，故 D 也不必定成立，应选 B．7．（4 分）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角 A﹣BD1﹣ B1的大小是（）A．B．C．D．【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC为 y 轴， DD1为 z 轴，成立空间直角坐标系，设正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1中棱长为 1，则 A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣ 1，﹣ 1，1），=（0，0，1），设平面 ABD1的法向量=（x， y， z），则，取 y=1，得，设平面 BB1 D1的法向量=（a，b，c），则，取 a=1，得=（1，﹣ 1，0），设二面角 A﹣BD1﹣ 1 的大小为θ，B则 cosθ== =﹣，∴θ= ．∴二面角 A﹣BD1﹣ 1 的大小为．B应选： C．8．（4 分）过点（ 0，﹣ 2）的直线交抛物线2 1 1 2 2 12﹣y =16x 于 A（x ， y ），B（ x ，y ）两点，且 yy22=1，则△ OAB（O 为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入 y2=16x 可得 y2﹣16my﹣ 32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（ y1﹣ y2）2=256m2+128m，∵y12﹣ y22=1，∴256m2（ 256m2+128m）=1，∴△ OAB（O 为坐标原点）的面积为| y1﹣y2| =．应选： D．9．（4 分）已知在△ ABC中，∠ ACB=，AB=2BC，现将△ ABC绕BC所在直线旋转到△ PBC，设二面角 P﹣BC﹣A 大小为θ，PB与平面 ABC所成角为α，PC与平面 PAB所成角为β，若 0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且【解答】解：在△ ABC中，∠ ACB=，AB=2BC，可设 BC=a，可得 AB=PB=2a，AC=CP=a，过 C 作 CH⊥平面 PAB，连结 HB，则 PC与平面 PAB所成角为β=∠CPH，且 CH＜CB=a，sin β=＜=；由 BC⊥AC， BC⊥CP，可得二面角 P﹣BC﹣A 大小为θ，即为∠ ACP，设 P 到平面 ABC的距离为 d，由 BC⊥平面 PAC，且 V B﹣ACP=V P﹣ABC，即有 BC?S△ACP= d?S△ABC，即 a? ? a? a?sin θ=d? ? a?a解得 d=sin θ，则 sin α= =≤，即有α≤．另解：由 BC⊥AC， BC⊥CP，可得二面角 P﹣BC﹣A 大小为θ，即为∠ ACP以 C 为坐标原点， CA 为 x 轴， CB为 z 轴，成立直角坐标系 O﹣xyz，可设 BC=1，则 AC=PC= ，PB=AB=2，可得 P（ cosθ， sin θ，0），过 P 作 PM⊥AC，可得 PM⊥平面 ABC，∠PBM=α，sin α= =≤，可得α≤；过 C 作 CN垂直于平面 PAB，垂足为 N，则∠ CPN=β，sin β==＜=．应选： B．10．（4 分）如图， F1，F2是椭圆 C1与双曲线 C2的公共焦点，点 A 是 C1，C2的公共点．设 C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠ F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．【解答】解：依据椭圆的几何性质可得，=b12tan θ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ依据双曲线的几何性质可得，= ，∵a 2=，∴b 22=c 2﹣ a 22=c 2﹣ =c 2（）∴=c 2（） ? ，2 2）? ，∴c （）tan θ=c （∴（）sin 2θ=（）?cos 2θ，∴，应选： B二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．．（ 分）双曲线 2﹣4y 2=1 的渐近线方程是 ± ，双曲线 C 的离心率是 ．11 6 C ：x y=x【解答】 解：双曲线 C ：x 2﹣4y 2=1，即为﹣ =1，可得 a=1，b= ， c== ，可得渐近线方程为 y=± x ；离心率 e= =．故答案为： y=± x ；．12．（6 分）某空间几何体的三视图以下图（单位：cm ），则该几何体的体积 V=cm 3，表面积 S=cm 2．【解答】 解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm 3，S=+++=．故答案为：；．13．（4 分）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 M ， N 为抛物线上的一点，则知足= 【解答】 解：设 N 到准线的距离等于由题意得 cos ∠NMF== =．d ，由抛物线的定义可得d=| NF| ，∴∠ NMF= 故答案为：．．14．（6 分）已知直线 l ：y=mx+1 和 l ：x=﹣my+1 订交于点 P ，O 为坐标原点，则 P 点横坐标12是 （用 m 表示），的最大值是 ．【解答】 解：直线 l 1： y=mx+1 和 l 2： ﹣ 订交于点 ，x= my+1 P ∴，∴ x =﹣m （mx+1）+1，解得 x= ，y=m×+1=，∴P 点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=成”立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6 分）四周体 ABCD中，已知 AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四周体体积的最大值是，表面积的最大值是+1．【解答】解：∵四周体 ABCD中， AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面 ABC⊥平面 BDC时，该四体体积最大，此时，过 D 作 DE⊥平面 ABC，交 BC于 E，连结 AE，则 AE=DE==，∴该四周体体积的最大值：S max==．∵△ ABC，△ BCD都是边长为 1 的等边三角形，面积都是 S==，∴要使表面积最大需△ ABD，△ ACD面积最大，∴当 AC⊥CD，AB⊥BD 时，表面积取最大值，此时=，四周体表面积最大值 S max= =1+ ．故答案为：，．16．（4 分）过双曲线 G：（a＞0，b＞0）的右极点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于 B，C 两点，若 | AB| =2| AC| ，则双曲线 G 的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右极点A（a，0）因此所作斜率为 1 的直线 l：y=x﹣a，若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别订交于点B（x1，y1），C（x2， y2）．联立此中一条渐近线y=﹣x，则，解得 x2=①；同理联立，解得 x1=②；又由于 | AB| =2| AC| ，（i）当 C 是 AB 的中点时，则 x2=2 1，? 2x =x +a把①②代入整理得： b=3a，∴e= ==；（ii ）当 A 为 BC的中点时，则依据三角形相像能够获得，∴x1+2x2=3a，把①②代入整理得： a=3b，∴e= ==．综上所述，双曲线G 的离心率为或．故答案为：或．17．（4 分）在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 P 是正方体棱上的一点（不包含棱的端点），对确立的常数 m，若知足 | PB|+| PD1| =m 的点P的个数为，则n的最大值是12．n【解答】解：∵正方体的棱长为 1，∴BD1= ，∵点 P 是正方体棱上的一点（不包含棱的端点），知足 | PB|+| PD1 ，| =m∴点 P 是以 2c= 为焦距，以 2a=m 为长半轴的椭圆，∵P 在正方体的棱上，∴P 应是椭圆与正方体与棱的交点，联合正方体的性质可知，知足条件的点应当在正方体的 12 条棱上各有一点知足条件．∴知足 | PB|+| PD1| =m 的点 P 的个数 n 的最大值是 12，故答案为 12．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14 分）已知抛物线 C：y2=4x，直线 l：y=﹣x+b 与抛物线交于 A，B 两点．（Ⅰ）若 | AB| =8，求 b 的值；（Ⅱ）若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设 A（x1，1），（2，2），由抛物线： 2 ，直线：﹣x+b 得y2+4yy B x y C y =4x l y=﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（ 2 分）∴| AB| = | y1﹣y2| = = =8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 5 分）解得 b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7 分）（Ⅱ）以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，设 AB 中点为 M| AB| =| y1+y2| 又 y1+y2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分）∴4=解得b=﹣，则M（，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）∴圆方程为（ x﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（ 15 分）在四棱锥 E﹣ABCD中，底面 ABCD是正方形， AC与 BD 交于点 O，EC⊥底面 ABCD，F 为BE的中点．（Ⅰ）求证： DE∥平面 ACF；（Ⅱ）求证： BD⊥AE；（Ⅲ）若 AB=CE，在线段 EO 上能否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明原因．【解答】解：（I）连结 OF．由 ABCD是正方形可知，点O 为 BD 中点．又 F 为 BE的中点，因此OF∥DE．又 OF? 面 ACF，DE?面 ACF，因此 DE∥平面 ACF．（4 分）（II）证明：由 EC⊥底面 ABCD，BD? 底面ABCD，∴EC⊥ BD，由 ABCD是正方形可知， AC⊥ BD，又 AC∩EC=C，AC、 E? 平面 ACE，∴BD⊥平面 ACE，又 AE? 平面 ACE，∴BD⊥ AE（9 分）（III）：在线段 EO上存在点 G，使 CG⊥平面 BDE．原因以下：取 EO中点 G，连结 CG，在四棱锥 E﹣ABCD中， AB= CE，CO= AB=CE，∴CG⊥ EO．由（Ⅱ）可知， BD⊥平面 ACE，而 BD? 平面 BDE，∴平面 ACE⊥平面 BDE，且平面 ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥ EO， CG? 平面 ACE，∴CG⊥平面 BDE故在线段 EO上存在点 G，使 CG⊥平面 BDE．由 G 为 EO中点，得．（14 分）20．（ 15 分）如图，四棱锥 P﹣ ABCD，PA⊥底面 ABCD，AB∥CD，AB⊥ AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E， F 分别是 PC，PD 的中点．（Ⅰ）证明： EF∥平面 PAB；（Ⅱ）求直线 AC与平面 ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由于 E，F 分别是 PC，PD 的中点，因此EF∥CD，又由于 CD∥ AB，因此 EF∥AB，又由于 EF?平面 PAB，AB? 平面 PAB，因此 EF∥平面 PAB．（Ⅱ）解：取线段 PA中点 M ，连结 EM，则 EM∥AC，故 AC与面 ABEF所成角的大小等于 ME 与面 ABEF所成角的大小．作 MH⊥ AF，垂足为 H，连结 EH．由于 PA⊥平面 ABCD，因此 PA⊥AB，又由于 AB⊥ AD，因此 AB⊥平面PAD，又由于 EF∥AB，因此 EF⊥平面 PAD．由于 MH? 平面 PAD，因此 EF⊥ MH，因此 MH⊥平面 ABEF，因此∠ MEH 是 ME 与面 ABEF所成的角．在直角△ EHM 中， EM= AC=，MH=，得sin∠MEH=．因此 AC与平面 ABEF所成的角的正弦值是．21．（15 分）已知点 C（ x0， y0）是椭圆+y2=1 上的动点，以 C 为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆 C 与 y 轴相切，务实数x0的值；（Ⅱ）若圆 C 与 y 轴交于 A，B 两点，求 | FA| ?| FB| 的取值范围．【解答】 解：（Ⅰ）当圆 C 与 y 轴相切时， | x 0| =，（2 分）又由于点 C 在椭圆上，因此 ，（3 分）解得，（5 分）由于﹣ ，因此 ．（6 分）（Ⅱ）圆 C 的方程是（ x ﹣ x 0）2+（y ﹣y 0） 2 （ 0﹣ ）2+ ，= x 1令 x=0，得 y 2﹣2y 0y+2x 0﹣1=0，设 A （0，y 1），B （0，y 2），则 y 1+y 2=2y 0，y 1y 2=2x 0﹣1，（ 8 分）由，及得﹣2﹣2＜x 0＜﹣ 2+2 ，又由 P 点在椭圆上，﹣ ≤ x 0≤ ，因此﹣≤，（10 分） | FA| ?| FB| = ?=（12 分）===，（14 分）因此 | FA| ?| FB| 的取值范围是（ 4，2 +2] ．（ 15 分）22．（15 分）已知椭圆 C 的方程是 ，直线 l ： y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，若 F 1 ⊥ ， 2 ⊥ ， M ， N 分别为垂足．M l F N l （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形 F 1 2 面积 S 的最大值．MNF【解答】 解：（Ⅰ）证明：将直线的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x 2+4y 2=12 中，得（ 4k 2+3） x 2+8kmx+4m 2﹣12=0．由直线与椭圆 C 仅有一个公共点知，△ =64k 2m 2 ﹣4（ 4k 2+3）（ 4m 2﹣12）=0，化简得： m 2=4k 2+3．设 d 1 1 ， 22 ， =|FM= d =| F M| =d 1d 2= ? = = =3，| F 1M|+| F 2M| =d 1+d 2≥=2 ．（Ⅱ）当 k ≠0 时，设直线的倾斜角为θ，则| d 1﹣ 2 θ，∴ |MN|=， d | =| MN|| tan |S= | MN| ?（d 1+d 2）= = = = ，∵m 2=4k 2+3，∴当 k ≠0 时， | m|， ∴ ＞ + =， ∴S ．当 k=0 时，四边形 F 12 是矩形， ．MNF 因此四边形 F 1 2 面积 S 的最大值为 2 ． MNF。

2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）命题“若0x >，则20x >”的否命题是( )A ．若0x >，则20x …B ．若20x >，则0x >C ．若0x …，则20x …D ．若20x …，则0x … 2．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆台、一个圆锥3．（4分）已知21:220l x m y m ++=与2:3l y x =-，若两直线平行，则实数m 的值为()A B C 或 D 或4．（4分）设α，β，γ为三个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．有如下的两个命题：①若//l β，//m α，则//αβ；②若l γ⊥，m γ⊥，则//αβ．那么()A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题5．（4分）已知双曲线过点(2,2)P ，其渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为()A ．2214x y -=B ．2214x y -=C ．221123x y -=D ．221312y x -=6．（4分）已知函数322()3(,)f x x ax bx a a b R =+++∈在1x =-时处取得极值0，则(a b +=) A ．4B ．11C ．4或11D ．3或107．（4分）已知P 是椭圆22221x y a b+=上在第一象限内的点，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，若存在点P 使得点2F 在线段1PF 的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(,1)3C ．11(,)32D ．1(,1)28．（4分）如图，正四面体ABCD 中，E 是AC 的中点，F 是CD 边上的动点，记二面角B EF D --的平面角为α，则F 从C 运动到D 的过程中（不含端点)(D )A ．α增大B ．α减小C ．α先增大后减小D ．α先减小后增大9．（4分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则f （1）(= )A ．12-B ．0C ．12D ．110．（4分）已知点A ，B 分别是互不垂直的两条异面直线a ，b 上的点，且直线AB 与a ，b 均垂直，P a ∈，Q b ∈，若直线PQ 与AB 所成锐角θ为定值，则PQ 的中点M 的轨迹是()A ．椭圆B ．抛物线C ．圆D ．线段二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（4分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．12．（4分）已知函数()x f x x e =-，则f '（1）= ；函数()f x 的值域为 ． 13．（4分）某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则此几何体的体积是 3cm ；表面积是 2cm ．14．（4分）已知集合{(,)|||||1}A x y x y =+…，集合222{(,)|B x y x y a =+…，0}a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ；若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．15．（4分）如图，已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点A ，B 是抛物线上不同的两点，满足||:||1:3FA FB =，且90AFB ∠=︒，则直线AB 的斜率为 ．16．（4分）如图，四边形ABCD 中，2AB BC CD ===，5AD 3BD =，E 是线段CD 上除端点外的任一点，将ABD ∆沿BD 翻折成△A BD '，使二面角A BD C '--为120︒，设异面直线A D '和BE 所成的角为α，则sin α的最小值是 ．17．（4分）已知斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆22143x y +=于A ，B 两点，设直线OA ，OB的斜率分别为1k ，2k ，满足128k k k +=，则OAB ∆面积的取值范围是 ． 三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M 的圆心在第一象限，与x 轴相切于点(2,0)A ，与直线22y x =相切于点B ．（1）求圆M 的方程；（2）圆M 和圆221x y +=相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度．19．已知函数()f x x alnx =+，()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，如果函数21()()2g x f x x tx =++在定义域内单调递增，求实数t 的取值范围．20．如图，三棱柱ABC A B C '''-中，4BC BB B C ''===，7AB =，AC AA '⊥，二面角B AB C '--是直二面角，E ，F 分别是A B ''，CC '的中点．（1）求证：//EF 平面AB C '；（2）求EF 与平面ABB A ''所成角的正弦值．21．如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ．（1）求证：点M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C 作抛物线的切线分别交直线AM ，BM 于点P ，Q ，求FPQ ∆面积的最小值．22．已知函数2()f x lnx ax bx =-+，曲线()f x 在(1，f （1）)处的切线方程为21y x =-． （1）求实数a ，b 的值； （2）如果不等式()(1)1kf x ln x '>++恒成立，求整数k 的最大值．2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）命题“若0x >，则20x >”的否命题是( )A ．若0x >，则20x …B ．若20x >，则0x >C ．若0x …，则20x …D ．若20x …，则0x … 【解答】解：命题“若0x >，则20x >”的否命题是：若0x …，则20x …， 故选：C ．2．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆台、一个圆锥【解答】解：设等腰梯形ABCD ， 较长的底边为CD ， 则绕着底边CD 旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图） 故选：B ．3．（4分）已知21:220l x m y m ++=与2:36l y x =-，若两直线平行，则实数m 的值为() A ．23B 6C 6或6D ．223或223- 【解答】解：直线2:36l y x =-+可化为360x y +=， 由直线21:220l x m y m ++=与2l 平行，则23210m -⨯=，解得m =；当m =1l 的方程为30x y ++，两直线平行；当m =时，1l 的方程为30x y +=，两直线重合；综上知，m ． 故选：B ．4．（4分）设α，β，γ为三个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．有如下的两个命题：①若//l β，//m α，则//αβ；②若l γ⊥，m γ⊥，则//αβ．那么()A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题【解答】解：对于两个命题：①若//l β，//m α，则//αβ；错误，由于直线和平面之间没有传递性．②若l γ⊥，m γ⊥，则//αβ．错误，可能α和β相交． 故选：D ．5．（4分）已知双曲线过点(2,2)P ，其渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为()A ．2214x y -=B ．2214x y -=C ．221123x y -=D ．221312y x -=【解答】解：设以12y x =±为渐近线的双曲线方程为22(0)4x y λλ-=≠，Q 双曲线过点(2,2)P ，∴22224λ-=，即3λ=-． ∴双曲线的标准方程为221312y x -=．故选：D ．6．（4分）已知函数322()3(,)f x x ax bx a a b R =+++∈在1x =-时处取得极值0，则(a b +=) A ．4B ．11C ．4或11D ．3或10【解答】解：322()3f x x ax bx a =+++Q 在1x =-时处取得极值0，2()36f x x ax b ∴'=++， ∴2(1)130(1)360f a b a f a b ⎧-=-+-+=⎨'-=-+=⎩，解可得，13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩当13a b =⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+…恒成立，函数单调递增，没有极值，不合题意，则11a b +=． 故选：B ．7．（4分）已知P 是椭圆22221x y a b+=上在第一象限内的点，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，若存在点P 使得点2F 在线段1PF 的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(,1)3C ．11(,)32D ．1(,1)2【解答】解：1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，可得2||2PF c =，即以2F 为圆心，2c 为半径的圆与椭圆有交点，所以2c a c >-．可得13e >，P 是椭圆22221x y a b+=上在第一象限内的点，2a c >，可得12e <椭圆C 的离心率的取值范围是：1(3，1)2．故选：C ．8．（4分）如图，正四面体ABCD 中，E 是AC 的中点，F 是CD 边上的动点，记二面角B EF D --的平面角为α，则F 从C 运动到D 的过程中（不含端点)(D )A ．α增大B ．α减小C ．α先增大后减小D ．α先减小后增大【解答】解：由题意得，BO ⊥平面ACD ，其中O 为ADC ∆的中心，过O 作OG EF ⊥交于点G ，连接BG ，由三垂线定理可得，BG EF ⊥，BGO ∠为二面角B EF D --的平面角α，易知，在Rt BOG ∆中，tan BOOGα=， 由图可得，F 从C 运动到D 的过程中OG 减小，而BO 为定值，故tan α增大，则α增大， 故选：A ．9．（4分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则f （1）(= )A ．12-B ．0C ．12D ．1【解答】解：当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x '+>-，可得1x >时，2()()0f x xf x +'>；01x <<时，2()()0f x xf x +'<． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞，2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'． 可得：1x >时，()0g x '>；01x <<时，()0g x '<． 可得函数()g x 在1x =处取得极值， g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，由f '（1）1=-， 可得f （1）12=， 故选：C ．10．（4分）已知点A ，B 分别是互不垂直的两条异面直线a ，b 上的点，且直线AB 与a ，b 均垂直，P a ∈，Q b ∈，若直线PQ 与AB 所成锐角θ为定值，则PQ 的中点M 的轨迹是()A ．椭圆B ．抛物线C ．圆D ．线段【解答】解：如图，直线AB 与两条异面直线a ，b 垂直，将b 从BB '移动到AA '，与a 相交于A 点，故直线AB 与底面APA '垂直，且AB 与PQ 所成的锐角θ为定值，故以AB 为轴，夹角为θ， PQ 为母线画圆锥，由P ，Q 分别在a ，b 上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M 随椭圆的变化位置，因为AB 长度为定值，故可投影为平面问题，如下图，以直线a ，b 交点为原点，角平分线为x 轴建立如图直角坐标系，为了方便计算不妨设a ，b 的夹角60θ=︒，直线x 轴与a ，b 夹角为30︒，令定值||||tan 6P Q AB θ''==，则设动点(3Q a '，)a ，设(,)M x y ，M 为P Q ''中点，故(23P x a '，2)y a -可得 tan(30)23x a-︒=-，得333a x y +，由22||(223)(22)36P Q x a y a ''=-+-=，联立解得221273x y +=， 故选：A ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（4分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为32，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．【解答】解：由题意，圆柱底面半径r =球的半径R ， 圆柱的高2h R =，则 343V R π=球，22322V r h R R R πππ==⋅⋅=柱．∴3323423V R V R ππ==柱球． 24S R π=球，222222226S r rh R R R R πππππ=+=+⋅=柱．∴226342S R S R ππ==柱球．故答案为：32；32． 12．（4分）已知函数()x f x x e =-，则f '（1）= 1e - ；函数()f x 的值域为 ． 【解答】解：()x f x x e =-， 所以()1x f x e '=-，f '（1）1e =-，当(,0)x ∈-∞时，()f x 递增；当(0,)x ∈+∞时，()f x 递减， 故()f x 有最大值(0)1f =-， 故()f x 的值域为(-∞，1]-， 故答案为：1e -；(-∞，1]-．13．（4分）某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则此几何体的体积是 4283+ 3cm ；表面积是 2cm ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故142222222833V =⨯⨯+⨯⨯=+．142352220432S =⨯⨯⨯⨯=+故答案为：428；2043+． 14．（4分）已知集合{(,)|||||1}A x y x y =+…，集合222{(,)|B x y x y a =+…，0}a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 [1，)+∞ ；若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．【解答】解：根据题意，集合{(,)|||||1}A x y x y =+…，其几何意义为如图正方形ABCD 及其内部区域，集合222{(,)|B x y x y a =+…，0}a >，其几何意义为圆222x y a +=的圆周及其内部区域，而圆222x y a +=的圆心为(0,0)，半径r a =，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则正方形ABCD 在圆222x y a +=的内部，必有1a …，此时a 的取值范围为[1，)+∞；若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则圆222x y a +=在正方形ABCD 的内部，必有2a …， 此时a 的取值范围为(0，2]2； 故答案为：[1，)+∞；(0，2]．15．（4分）如图，已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点A ，B 是抛物线上不同的两点，满足||:||1:3FA FB =，且90AFB ∠=︒，则直线AB 的斜率为263- ．【解答】解：由题意知，焦点(1,0)F，准线方程：1x=-，(,)A x y，(,)B x y''过A，B分别做AA'，BB'垂直于x轴，则由90AFB∠=︒，△AA F'∽△FB B'，∴AA AFB F FB'='，||:||1:3FAFB=，所以3AA B F''=，31y x'∴=-①，由3(1)1x x'+=+，32x x'∴=+②由①②2263y=+，726x'=+，262y'=+，526x+=，所以2646(262)(2)626333526164646(726)3ABy ykx x+-+'--====='-++++-；故答案为：263-．16．（4分）如图，四边形ABCD中，2AB BC CD===，5AD3BD=，E是线段CD上除端点外的任一点，将ABD∆沿BD翻折成△A BD'，使二面角A BD C'--为120︒，设异面直线A D'和BE所成的角为α，则sinα的最小值是，3．【解答】解：设A O '⊥平面BCD ，过O 作OH BD ⊥于H ，连结A H '， 由题意得60A HO ∠'=︒， 由等面积法得25A H '=， ∴2525315sin 60A O A H '='︒==⨯=， 由最小角定理得直线A D '与平面BCD 所成角是异面直线A D '和BE 所成的角的最小角，153(sin )35min A O A D α'∴==='． 故答案为：3．17．（4分）已知斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆22143x y +=于A ，B 两点，设直线OA ，OB的斜率分别为1k ，2k ，满足128k k k +=，则OAB ∆面积的取值范围是 3) ． 【解答】解：设直线AB 的方程：y kx t =+，设(,)A x y ''，(,)B x y ''''， 联立与椭圆的方程整理得：222(34)84120k x ktx t +++-=， △2222644(34)(412)0k t k t =-+->，即2234t k <+，2834ktxx x k'''+=-+，2241234t x x k -'''=+，1OA yk kx '∴=='，2OByk kx''==''，由题意得：8y ykx x'''+='''，∴()()8x kx t x kx tkx x''''''+++='''，82x xk k tx x'''+=+'''，249t∴=，294t∴=；∴3||2t=，原点O到直线的距离21dk=+，2222222 22222222644(34)(412)43316 1()41431231343434k t k t k t k AB k x x x x k k kk k k-+-+-+ ''''''=++-=+=+=++++，222422 131********33331819 222924162(316)1616(316)8 OABk kS AB dk k kk ∆++∴====<++++++g g g g g，OAB∴∆面积的取值范围是：(0,3)．故答案为：(0,3)．三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点(2,0)A，与直线22y x=相切于点B．（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆221x y+=相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．【解答】解：（1）已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点(2,0)A，设圆心(2M)b，0b>，则圆M的方程为222(2)()x y b b+-=，由于该圆M 与直线y =相切于点B b =，求得1b =，故圆M 的方程为22((1)1x x +-=．（2）Q 圆M 和圆221x y +=相交于P ，Q 两点，把两个圆的方程相减，可得PQ 的方程为230y +-=．由于点O 到直线PQ 的距离为d ==，故弦长1212PQ =⨯=．19．已知函数()f x x alnx =+，()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，如果函数21()()2g x f x x tx =++在定义域内单调递增，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）已知函数()f x x alnx =+，()a R ∈，0x >， ()()1a x a f x x x--'=+=， 当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞递增；当0a <时，(0,)x a ∈-，()0f x '<，()f x 递减；(,)x a ∈-+∞，()0f x '>，()f x 递增；（2）当1a =时，2()(1)2x g x x lnx t x =++++，0x >，2(1)1()0x t x g x x+++'=…，即2(1)10x t x +++…在0x >恒成立， 分离参数11()t x x +-+…，由12x x+…，0x >，故12t +-…，即3t -…．20．如图，三棱柱ABC A B C '''-中，4BC BB B C ''===，AB =，AC AA '⊥，二面角B AB C '--是直二面角，E ，F 分别是A B ''，CC '的中点．（1）求证：//EF 平面AB C '；（2）求EF 与平面ABB A ''所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AB '的中点G ，连结GE ，GC ，E Q ，F 分别是AB '，CC '的中点，//GE AA ∴'，且12GE AA ='， //CF AA 'Q ，且12CF AA ='，//GE CF ∴，且GE CF =， ∴四边形GCFE 为平行四边形，//EF CG ∴，又CG ⊂平面AB C '，EF ⊂/平面AB C '， //EF ∴平面AB C '．（2）解：//CG EF Q ，EF ∴与平面ABB A ''所成的角等于CG 于平面ABB A ''所成角，作BH B A ⊥'，H 是垂足，由面BAB '⊥面AB C '，得BH ⊥面AB C '，BH AC ∴⊥，又AC AA ⊥'，BH 和AA '是相交直线， AC ∴⊥平面ABB A ''，CGA ∴∠是CG 与平面ABB A ''所成角， 3AC =，7AG =，43CG =， EF ∴与平面ABB A ''所成角的正弦值为643sin CA CGA CG ∠==．21．如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ．（1）求证：点M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C 作抛物线的切线分别交直线AM ，BM 于点P ，Q ，求FPQ ∆面积的最小值．【解答】解：（1）证明：抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2114x y =，2224x y =， 直线AB 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程可得2440x kx --=， 可得124x x k +=，124x x =-， 由214y x =的导数为12y x '=，可得A 处的切线的方程为1111()2y y x x x -=-， 即为2111124y x x x =-， 同理可得B 处切线的方程为2221124y x x x =-， 解方程可得12(2x x M +，12)4x x，即(2,1)M k -， 即点M 在抛物线的准线1y =-上；（2）设3(C x ，3)y ，可得C 处的切线PQ 的方程为2331124y x x x =-， 则点F 到直线PQ 的距离为23231414x d x +=+， 由（1）可得13(2x x P +，13)4x x，23(2x x Q +，23)4x x ，可得2312||||124x x x PQ -=+ 则212123||||11||(1)2444FPQ x x x x S d PQ x ∆--==+…1===，当且仅当12x =-，22x =，30x =时取得等号．则FPQ ∆面积的最小值为1．22．已知函数2()f x lnx ax bx =-+，曲线()f x 在(1，f （1）)处的切线方程为21y x =-． （1）求实数a ，b 的值； （2）如果不等式()(1)1kf x ln x '>++恒成立，求整数k 的最大值．【解答】解：（1）2()f x lnx ax bx =-+Q ， 1()2f x x b x∴'=-+， 由题意可得，(1)1(1)2f f =⎧⎨'=⎩，解可得，0a =，1b =，（2）由()I 可得()f x lnx x =+，1()1f x x'=+， 由()(1)1k f x ln x '>++恒成立可得，1[1(1)]x k ln x x+<++，令1()[1(1)]x g x ln x x+=++， 则21(1)()x ln x g x x --+'=，令()(1)h x x ln x =-+， 则()01xh x x '=>+， ()h x ∴单调递增，而h （2）0<，h （3）0>，所以()h x 有唯一的实数根0(2,3)x ∈，且000(1)x ln x =-+， 000001()()[1(1)]1(3,4)min x g x g x ln x x x +∴==++=+∈， 3k ∴…，k z ∈，故k 的最大值3．。

高二数学上学期期末模拟试题（一）考试时间：100分钟 满分:120分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卷指定的位置上，务必注意试题序号与答题序号之间对应一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求）1．直线22x y +=在x 轴上的截距为( ) A ． 1B ． 2C ．2-D ．1-2．圆220x y ax ++=的圆心横坐标为 1 ，则a 等于( ) A ． 1B ． 2C ．1-D ．2-3．关于三个不同平面α，β，γ与直线l ，下列命题中的假命题是( )A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β4．已知双曲线2214y x -=上点P 与左焦点1F 的连线的中点M 恰好在y 轴上， 则||OM 等于( ) A ． 2B ． 3CD ．145．设抛物线24y x =的焦点为F ，不过焦点的直线与抛物线交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点， 与y 轴交于点C （异 于坐标原点)O ，则ACF ∆与BCF ∆的面积之比为( )A ．12xx B ．1211x x ++C ．2122x xD ．212211x x ++6．下列各图中， 直线a 与b 平行的只可能是( )A ．B ．C ．D ．7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90︒榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计）( )A ．28πB ．30πC ．60πD ．120π8．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，则直线AB 恒过点( )A ．(2,0)B ．C ．(1,1)-D ．1(,1)2-9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上与长轴端点不重合的一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，过2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，若||2OQ b =，椭圆的离心率为e ，则222a e b+的最小值为( )A B ．C D ．110．如图，在二面角M l N --的一个M 内有Rt ABC ∆，其中90A ∠=︒，顶点B 、C 在二面角的棱l 上，AB 、AC 与平面N 所成的角分别为α、β，若二面角M l N --的大小为θ，则下面的关系式中正确的是( )A ．222sin sin sin αβθ+<B ．222sin sin sin αβθ+=C ．222sin sin sin αβθ+>D ．222sin sin sin 1αβθ++=二．填空题（本题有6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分）11．双曲线2214x y -=的实轴长是 ，焦点到渐近线的距离是 ．12．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则实数m = ，两直线之间的距离是 ．13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a = ，该几何体的表面积为 ．14．设直线:340l x y a ++=，圆222:(2)2C x y -+=，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是 ．15．已知实数x ，y 满足2268240x y x y +--+=，则22x y +的最小值为 ．16．对于曲线22:141x y C k k +=--，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆； ②若曲线C 表示双曲线，则1k <或4k >； ③当14k <<时，曲线C 表示椭圆； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<． 其中所有正确命题的序号为 ．二．解答题（本题有4小题，共50分，要求写出详细的演算或推理过程） 17．（本题满分12分）直线1:1(4)y k x -=-，圆22:(2)25C x y ++=． ①直线l 一定经过哪一点．②若l 被圆C 所截得的弦长为l 的方程．③当k 为何值时，直线l 与圆C 相切．18．（本题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -底面是直角梯形，点E 是棱PC 的中点，BA AD ⊥，CD AD ⊥，2CD AB =，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB AD ===．（Ⅰ）判断BE 与平面PAD 是否平行，证明你的结论； （Ⅱ）证明：BE ⊥平面PDC ； （Ⅲ）求三棱锥A PDC -的体积V ．19．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，D ，E分DACPE别是棱BC ，AC 的中点，4PB PC AB ===，8AC =，BC =，PA = （Ⅰ）证明：BC ⊥平面PED ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（本题满分14分）如图，曲线C 由下半椭圆22122:1(0)(0)y x C a b y a b+=>>…和部分抛物线22:1(0)C y x y =-…连接而成，1C 与2C 的公共点为A ，B ，其中1C 的离心率为 （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点A 的直线l 与1C ，2C 分别交于点P ，Q ，（均异于点A ，)B ，是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析11. 4，1 12. 4，18． 14. [6-，6] 15. 16 16. ②④1．解： 因为直线方程为22x y +=，令0y =得1x =所以直线22x y +=在x 轴上的截距为 1 ，故选：A ．2．解： 圆220x y ax ++=，即圆222()24a a x y ++=，它的圆心横坐标为12a -=，2a =-，故选：D ． 3．解：对于A ，假设a αβ=，则α内所有平行于a 的直线都平行β，故A 正确；对于B ，假设α内存在直线a 垂直于β，则αβ⊥，与题设矛盾，故假设错误，故B 正确； 对于C ，设c αγ=，d βγ=，在γ内任取一点P ，作PM c ⊥于点M ，PN d ⊥于点N则PM α⊥，PN β⊥，且PM 、PN 不可能共线．又l α⊂，l β⊂，PM l ∴⊥，PN l ⊥．又P M P N P =，PM γ⊂，PN γ⊂，l γ∴⊥．故C 正确．对于D ，假设a αβ=，则α内所有平行于a 的直线都平行β，故D 错误．故选：D ．4．解： 双曲线2214y x -=上点P 与左焦点1F 的连线的中点M 恰好在y 轴上，可知2PF x ⊥轴，224||41b PF a ===，则||2OM =．故选：A ． 5．解： 如图，ACF BCF S ACS BC∆∆=，分别过A 作AM y ⊥轴， 过B 作BN y ⊥轴，则1AM x =，2BN x =， 而AMC BNC ∆∆∽，∴12ACF BCF S x AC AM S BC BN x ∆∆===．故选：A ．6．解： 对于A ，B ，C 中分别在平面α，β内的直线是异面直线，则a 与b 是异面直线， 直线a 与b 不可能平行： 故选：D ．7．解：由题意，=，∴该球形容器的表面积的最小值为：2430ππ⨯=．故选：B ． 8．解：P 是直线280x y --=的任一点，∴设(82,)P m m +，圆224x y +=的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是(4,)2mm +，且半径的平方是222(4)4m r m =++，∴圆C 的方程是2222[(4)]()(4)24m m x m y m -++-=++，①又224x y +=，②，②-①得，(82)40m x my ++-=，即公共弦AB 所在的直线方程是：(82)40m x m y ++-=，即(2)(84)m x y x ++-=，由20840x y x +=⎧⎨-=⎩得12x =，1y =-，∴直线AB 恒过定点1(2，1)-，故选：D ．9．解：如图，由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长2F Q 交1F P 延长线于M ，得2PM PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PM MF a +==，连接OQ ，知OQ 是三角形12F F M 的中位线，OQ a ∴=，又2OQ b =，2a b ∴=，则222244()a b a c ==-，即2234c a =，4222422331644228b b a e a c b a b b +++∴==32388b b b b=+=…．当且仅当328b b =，即4b =时，222a e b+C ．10．解：作AD l ⊥于点D ，作AE ⊥平面N 于点E ，连结BE 、CE 、DEAE ⊥平面N ，DE ∴是AD 在平面N 内的射影AD l ⊥，DE l ∴⊥，可得ADE ∠就是二面角M l N --的平面角，ADE θ∠=又BE 、CE 分别是AB 、AC 在平面N 的射影ABE ∴∠、ACE ∠分别为AB 、AC 与平面N 所成的角，得ABE α∠=且ACE β∠=设AE x =，则Rt ABE ∆中，sin AE AB α=，可得sin sin AE x AB αα==同理得到sin x AC β=，sin xAD θ=Rt ABC∆中，AD 为斜边BC 边上的高AB ACAD BC ∴=，得2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+，因此222222sin sin sin x x xθαβ=+，化简得222sin sin sin αβθ+=故选：B ． 11．解：双曲线2214x y -=的2a =，1b =，c ==24a =，焦点为(0)，渐近线方程为12yx =±1=，故答案为：4，1．12．解：直线3230x y +-=与610x my ++=互相平行，36123m ∴-=-≠-， 4m ∴=，6410x y ∴++=，即为13202x y++=，∴两直线之间的距离是1|3|+=，故答案为：413．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一平放的三棱柱，且三棱柱的高是3，底面三角形的边长为2，高为a；∴该三棱柱的体积为1232V a=⨯⨯⨯=解得a=∴该三棱柱的表面积为：1232233182S S S∆=+=⨯⨯⨯=侧面．故答案为：，18．14．解：圆222:(2)2C x y-+=，圆心为：(2,0)，半径为2，在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得90PMQ∠=︒，∴在直线l上存在一点M，使得M到(2,0)C 的距离等于，∴只需(2,0)C到直线l的距离小于或等于，解得66a-剟．故答案为：[6-，6]；1522(3)(4)1x y-+-=．则曲线2268240x y x y+--+=是以(3,4)为圆心，以1为半径的圆．如图：22x y+的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方，则22x y+的最小值为22(||1)1)16OC-==．故答案为：16．16．解：①当14k<<且 2.5k≠时，曲线表示椭圆，所以①错误；②若曲线C表示双曲线，则(4)(1)0k k--<，解得1k<或4k>，正确；③当 2.5k=时，41k k-=-，此时曲线表示圆，所以③错误；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则104041k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得1 2.5k <<，所以④正确．故答案为：②④．17．解：①，根据题意，直线1:(4)y l k x -=-，则有1040y x -=⎧⎨-=⎩，解可得41x y =⎧⎨=⎩则直线过点(4,1)，②，圆22:(2)25C x y ++=的圆心C 的坐标为(0,2)-， 设圆心C 到直线的距离为d，则d =又由若l 被圆C所截得的弦长为d ===2k =或211， ③，若直线l 与圆C 相切，即d r =，则5d ==，解可得：43k =， 18.（Ⅰ）证明：取PD 中点Q ，连EQ ，AQ ，则12QE CD AB ==⋯（1分） //////QE CD CD AB QE AB QE AB ⎧⎪⇒⎨⎪=⎩且QE AB =⋯（2分） ⇒四边形ABEQ 是平行四边形//BE AQ ⇒⋯（3分）////BE AQ AQ PAD BE BE PAD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩平面平面平面PAD ⋯（5分） （Ⅱ）证明：PA ABCDPA CD CD ABCD⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面，又CD AD ⊥，PAAD A =CD ∴⊥平面PAD 又AQ ⊂平面PAD AQ CD ∴⊥，又PA AD =，Q 为PD 的中点AQ PD ∴⊥，又PDCD D =AQ ∴⊥平面PCD又//BE AQ BE ⇒⊥平面PCD ．⋯（10分）（Ⅲ）解：1124422ADC S AD DC ∆==⨯⨯=⋯（11分） 1833A PDC P ADCADC V V PA S --∆===．⋯（13分）19.（1）证明：4AB =，BC =222AB BC AC ∴+=，BC AB ∴⊥；D ，E 分别是BC ，AC 中点，//DE AB ∴，BC DE ∴⊥； 又PB PC =，D 是BC 中点，BC PD ∴⊥，DE PD D =；BC ∴⊥平面PED ；（2）PA = 4PC =，8AC =；∴由余弦定理7cos 8PCA ∠=； 在PCE ∆中，4PC =，4CE =；∴由余弦定理得2PE =，2DE =，并可求得2PD =；PDE ∴∆为等边三角形；PDE ∴∆边DE ，即三棱锥P ABC - 设点C 到面PAB 的距离为d ，111622PAB ABC SS AB BC ∆∆=⨯==⨯⨯=由1133PAB ABC S d S ∆∆=得d =直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为5d PC =． 20.解：（Ⅰ）在1C ，2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且(1,0)A -，(1,0)B 是下半椭圆1C 的左右顶点，设1C 的半焦距为c ，由c a =222a c b -=，可得2a =，所以2a =，1b =； （Ⅱ）由（Ⅰ），下半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=…， 由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入1C 的方程，整理得2222(4)240k x k x k +++-=，设点P 的坐标为(P x ，)P y ，因为直线l 过点A ，所以1x =-是方程的一个根，由求根公式，得2244P k x k -=+，284P k y k =+，所以点P 的坐标为224(4k k -+，28)4k k+， 同理，由2(1)1,0y k x y x y =+⎧⎨=-⎩…，得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ++， 所以222(4k BP k =-+，28)4k k+，2(,2)BQ k k k =+， 假设存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点，可知BP BQ ⊥，所以0BP BQ =，即222228()(2)044k k k k k k k-++=++， 即33228160k k k -++=，因为0k ≠，解得83k =-，经检验，83k =-符合题意，故存在，且直线l 的方程为8(1)3y x =-+．。

2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．82．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A ．6B ．2C ．12D ．35．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是( ) A ．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B ．各个面都是正三角形C ．三个侧面是全等的等腰三角形D ．顶点在底面上的射影为重心6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为( )A ．12B ．10C ．8D ．67．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．3410．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1,12]+B ．[12,122]-+C ．[1,122]+D ．[12,12]+二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为 ． 14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ．15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是 ．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 ．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积．21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解答】解：双曲线221916x y -=的实轴长为：2236a =⨯=．故选：C ．2．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=【解答】解：设(,)P x y 为要求直线上的任意一点，则点P 关于y 轴对称的点为(,)x y -，代入直线l 的方程可得：2310x y --+=， 化为：2310x y +-=， 故选：B ．3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)【解答】解：若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离， 则圆心到直线的距离d r >，>0m >，解得02m <<， 故选：C ．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A．6B．2C．12D．3【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，1(12)2262V=⨯+⨯⨯=，故选：A．5．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是()A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B．各个面都是正三角形C．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的射影为重心【解答】解：对于A，若一个三棱锥是正三棱锥，则底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，反之，若一个三棱锥底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，则三棱锥为正三棱锥，故A正确；对于B，正三棱锥的侧面不一定是正三角形，故B错误；对于C，如图，三棱锥A BCD-满足2AB AC BD CD====，3AD BC==，满足三个侧面是全等的等腰三角形，但三棱锥不是正三棱锥，故C错误；对于D，一个三棱锥顶点在底面上的射影为重心，三棱锥不一定是正三棱锥，故D错误．故选：A．6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC-，点P是VA的中点，且2AC=，4VB=，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为()A．12B．10C．8D．6【解答】解：如图所示，过点P作//PF AC，交VC于点F，过点F作//FE VB交BC于点E，过点E作//EQ AC，交AB于点Q；由作图可知：//EQ PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得122EF PQ VB===，112EQ PF AC===；所以截面四边形EFPQ的周长为2(21)6⨯+=．故选：D．7．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠【解答】解：设(,)P x y ，直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ， 可得20yx y x+-=g ，0x ≠，即2220x x y -+=，0x ≠，可得22(1)1(0)x y x -+=≠． 故选：D ．8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)【解答】解：双曲线224x y -=，双曲线的渐近线方程为：y x =±，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，(1,1)，(2,2)在双曲线的渐近线上，所以A 、D ，不成立．因为(2,1)是第一象限，在双曲线外与x 轴与y x =所围成的区域内，不可能满足：过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点， 所以只有选项B 满足条件， 故选：B ．9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．34【解答】解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，所以22||5a PF =，18||5aPF =， 222212121212178cos 4||||2||||cos 4()25F PF c PF PF PF PF F PF a -∠=+-∠=当且仅当12cos 1F PF ∠=时，2294425c a ⨯…，所以35e …．故选：A ．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,1+B ．[1-+C ．[1,1+D ．[1+【解答】解：设(,)M x y ，22||||12MA MB +=Q2222(2)(2)12x y x y ∴-+++-=， 22(1)(1)4x y ∴-+-=，Q 圆C 上存在点M ，满足22||||12MA MB +=∴两圆相交或相切，13∴，即|1|a -„，11a ∴-+ 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = 0 ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．【解答】解：Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），直线l 的斜率为12，∴21122m +=， 解得0m =，Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），1m =-，∴直线l 的斜率2(1)112k -+==，∴直线l 的倾斜角为45︒．故答案为：0，45︒．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 (1-，2-，3)- ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 4 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则22004x y x +-的最大值为 ．【解答】1r =+，解得4r =；由点0(A x ，0)y 在圆1C 上，所以2201x y +=，且0[1x ∈-，1]， 所以22000414[3x y x x +-=-∈-，5] 所以220004x y x +-的最大值为5， 故答案分别为：4，5．14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 1x =- ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ． 【解答】解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，1y x =-，令0y =，1x =，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)， 所以抛物线的方程为24y x =， 所以准线方程为：1x =-； 若OA OB ⊥，设(,)A x y ，(,)B x y ''， 直线与抛物线联立：2(22)10x p x -++=， 22x x p '∴+=+，1xx '=， ()12yy xx x x p '''∴=-++=- 若OA OB ⊥，则0OA OB =u u u r u u u rg ，0xx yy ''∴+=，即120p -=，解得12p =； 故答案分别为：1x =-，12． 15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是243a b π ．【解答】解：S S =Q 圆环总成立，∴椭球的体积为：222142()33a b a b a b πππ-=．故答案为：243a b π．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 1[0,]5．【解答】解：如图，过点P 作AE 的垂线，垂足为O ，并延长交AB 于点M ，由翻折性质可知，AE ⊥平面OMP ，故平面OMP ⊥平面ABE ，因此点P 在平面ABE 内的射影点Q 必在OM 上：由于点Q 在ABE ∆内（含边界），则点Q 在线段OM 上； 当θ取最小值时，有PM OM ⊥，此时cos θ有最大值OM OP ，又15,22OM OP ==，故1(cos )5max θ=， 显然θ的最大值为2π，故(cos )0min θ=， 综上，cos θ的取值范围是1[0,]5．故答案为：1[0,]5．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 (0，1)(1⋃，9) ． 【解答】解：设2(4,4)N t t ，可知(0,1)F ，0m >且1m ≠，所以2(4,14)NF t t =--u u u r ，2(4,4)NM t m t =--u u u u r ， 因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM >u u u r u u u u rg ，即22216(14)(4)0t t m t +-->， 整理得4216(124)0t m t m +-+>， 等价于428(62)02mt m t +-+>对任意t R ∈恒成立； 令20x t =…，则2()8(62)02mf x x m x =+-+>对任意[0x ∈，)+∞恒成立； 因为()f x 的对称轴为38mx -=-，故分类讨论如下： （1）308m--„，即03m <„时， ()(0)02min mf x f ==>， 所以03m <„； （2）308m-->，即3m >时， 应有2(62)4802mm =--⨯⨯<V ， 得39m <<；综上所述：(0m ∈，1)(1⋃，9)． 故答案为：(0，1)(1⋃，9)．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．【解答】解：（1）法一、Q 易求得AB 的中点为(1,0)，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --= 由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得圆心C 的坐标为(1,0)，∴半径||CA =故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=， 法二、设圆心(,22)C a a -，则由||||CA CB ==解得：1a =∴圆心(1,0)C ，半径r =， 故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=．（2）法一、当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2， 若直线l 的斜率存在，设直线:1(3)l y k x +=-， 即310kx y k ---=∴圆心(1,0)C 到直线l 的距离2d ==，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x =，符合题意， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=． 法二、设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，90MCN ∠=︒Q ，||4MN ∴= 若直线l 的斜率不存在， 则直线:3l x =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设:(3)1l y k x =--与圆方程22(1)8x y -+=，联立得：2222(1)2(31)3(322)0k x k k x k k +-++++-=， 由弦长公式得：221212(1)[()4]16k x x x x ++-=， 由韦达定理代入，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．【解答】（Ⅰ）证明：//AB CD Q ，AB α⊂/，CD α⊂，//AB α∴， 又AB γ⊂，EF αγ=I ，//AB EF ∴， 又//AB CD Q ，//CD EF ∴；（Ⅱ）解：122sin 6032ACE S ∆=︒g g g又三棱柱ACE BDF -的高212421()266555h =-=g g∴41236255V Sh ===g． 20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)M x y ， 则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+， 所以轨迹方程为21(0y x y =-≠或1)x ≠±；（Ⅱ）方法一：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以221212||11()410PQ x x x x ++-A 到直线的距离为22211d ==+所以15||2APQ S d PQ ∆==g g方法二：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，212121212111||||||||()4222APQ S AO y y AO x x x x x x ∆=-=-=+-g g g g ，所以5APQ S ∆=． 21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．【解答】（Ⅰ）证明：AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点． 所以CH BD ⊥，又面ABD ⊥面BCD ，CH ∴⊥面ABD ，CH AD ∴⊥， 又AD CD ⊥，AD CH ⊥，CD CH C =I ，AD ∴⊥面BCD ， AD BC ∴⊥．（Ⅱ）解：在CH 延长线上取点F ，使FH HC =， 则四边形BCDF 为平行四边形，又//EH AF ，EH ⊂面BDE ，AF ⊂/面BDE ，//AF ∴面BDE ， 又AD ⊥面BCD ，AFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角， 又DF BC AD ==，45AFD ∴∠=︒， 即AF 与面BCD 所成线面角为45︒．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，212)()y y y >，:1MN l x my =+，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 所以12212112212112212121212(2())2(22())2()2()P x y x y y y my y y y y y x x y x y y y y y y y ++-+++-==-++-++，又因为121223()my y y y =+， 所以212121212(4()2())42()P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．。

2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）命题“若0x >，则20x >”的否命题是( )A ．若0x >，则20x …B ．若20x >，则0x >C ．若0x …，则20x …D ．若20x …，则0x … 2．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆台、一个圆锥3．（4分）已知21:220l x m y m ++=与2:3l y x =-，若两直线平行，则实数m 的值为()A B C 或 D 或4．（4分）设α，β，γ为三个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．有如下的两个命题：①若//l β，//m α，则//αβ；②若l γ⊥，m γ⊥，则//αβ．那么()A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题5．（4分）已知双曲线过点(2,2)P ，其渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为()A ．2214x y -=B ．2214x y -=C ．221123x y -=D ．221312y x -=6．（4分）已知函数322()3(,)f x x ax bx a a b R =+++∈在1x =-时处取得极值0，则(a b +=) A ．4B ．11C ．4或11D ．3或107．（4分）已知P 是椭圆22221x y a b+=上在第一象限内的点，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，若存在点P 使得点2F 在线段1PF 的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(,1)3C ．11(,)32D ．1(,1)28．（4分）如图，正四面体ABCD 中，E 是AC 的中点，F 是CD 边上的动点，记二面角B EF D --的平面角为α，则F 从C 运动到D 的过程中（不含端点)(D )A ．α增大B ．α减小C ．α先增大后减小D ．α先减小后增大9．（4分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则f （1）(= )A ．12-B ．0C ．12D ．110．（4分）已知点A ，B 分别是互不垂直的两条异面直线a ，b 上的点，且直线AB 与a ，b 均垂直，P a ∈，Q b ∈，若直线PQ 与AB 所成锐角θ为定值，则PQ 的中点M 的轨迹是()A ．椭圆B ．抛物线C ．圆D ．线段二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（4分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．12．（4分）已知函数()x f x x e =-，则f '（1）= ；函数()f x 的值域为 ． 13．（4分）某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则此几何体的体积是 3cm ；表面积是 2cm ．14．（4分）已知集合{(,)|||||1}A x y x y =+…，集合222{(,)|B x y x y a =+…，0}a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ；若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．15．（4分）如图，已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点A ，B 是抛物线上不同的两点，满足||:||1:3FA FB =，且90AFB ∠=︒，则直线AB 的斜率为 ．16．（4分）如图，四边形ABCD 中，2AB BC CD ===，5AD 3BD =，E 是线段CD 上除端点外的任一点，将ABD ∆沿BD 翻折成△A BD '，使二面角A BD C '--为120︒，设异面直线A D '和BE 所成的角为α，则sin α的最小值是 ．17．（4分）已知斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆22143x y +=于A ，B 两点，设直线OA ，OB的斜率分别为1k ，2k ，满足128k k k +=，则OAB ∆面积的取值范围是 ． 三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M 的圆心在第一象限，与x 轴相切于点(2,0)A ，与直线22y x =相切于点B ．（1）求圆M 的方程；（2）圆M 和圆221x y +=相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度．19．已知函数()f x x alnx =+，()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，如果函数21()()2g x f x x tx =++在定义域内单调递增，求实数t 的取值范围．20．如图，三棱柱ABC A B C '''-中，4BC BB B C ''===，7AB =，AC AA '⊥，二面角B AB C '--是直二面角，E ，F 分别是A B ''，CC '的中点．（1）求证：//EF 平面AB C '；（2）求EF 与平面ABB A ''所成角的正弦值．21．如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ．（1）求证：点M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C 作抛物线的切线分别交直线AM ，BM 于点P ，Q ，求FPQ ∆面积的最小值．22．已知函数2()f x lnx ax bx =-+，曲线()f x 在(1，f （1）)处的切线方程为21y x =-． （1）求实数a ，b 的值； （2）如果不等式()(1)1kf x ln x '>++恒成立，求整数k 的最大值．2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）命题“若0x >，则20x >”的否命题是( )A ．若0x >，则20x …B ．若20x >，则0x >C ．若0x …，则20x …D ．若20x …，则0x … 【解答】解：命题“若0x >，则20x >”的否命题是：若0x …，则20x …， 故选：C ．2．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆台、一个圆锥【解答】解：设等腰梯形ABCD ， 较长的底边为CD ， 则绕着底边CD 旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图） 故选：B ．3．（4分）已知21:220l x m y m ++=与2:36l y x =-，若两直线平行，则实数m 的值为() A ．23B 6C 6或6D ．223或223- 【解答】解：直线2:36l y x =-+可化为360x y +=， 由直线21:220l x m y m ++=与2l 平行，。