二元一次方程组应用题 题 解析版

二元一次方程组应用题经典题及答案一、商品销售问题例 1：某商店购进一批衬衫，成本价每件 40 元，按每件 50 元出售，一个月内可售出 500 件。

已知这种衬衫每件涨价 1 元，其销售量就减少 10 件。

为了在一个月内赚取 8000 元的利润，售价应定为每件多少元？解：设售价应定为每件 x 元，每件的利润为(x 40)元。

因为每件涨价 1 元，销售量就减少 10 件，所以销售量为500 10(x 50)件。

根据总利润＝每件利润×销售量，可列方程：（x 40)500 10(x 50) ＝ 8000（x 40)（500 10x ＋ 500) ＝ 8000（x 40)（1000 10x) ＝ 80001000x 10x² 40000 ＋ 400x ＝ 8000－10x²＋ 1400x 48000 ＝ 0x² 140x ＋ 4800 ＝ 0（x 60)（x 80) ＝ 0解得 x₁＝ 60，x₂＝ 80答：售价应定为每件 60 元或 80 元。

二、行程问题例 2：A、B 两地相距 18 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时相向而行，2 小时后在途中相遇；相遇后甲返回 A 地，乙继续向 A 地前进，甲回到 A 地时，乙离 A 地还有 2 千米。

求甲、乙两人的速度。

解：设甲的速度为 x 千米/小时，乙的速度为 y 千米/小时。

根据相遇问题的公式：路程＝速度和×时间，可列方程：2(x ＋ y) ＝ 18甲返回 A 地所用的时间也为 2 小时，这 2 小时乙走的路程为 2y 千米。

因为甲回到 A 地时，乙离 A 地还有 2 千米，所以可列方程：18 2y ＝ 2x将第一个方程变形为 x ＋ y ＝ 9，即 x ＝ 9 y，代入第二个方程得：18 2y ＝ 2(9 y)18 2y ＝ 18 2y方程恒成立。

将 x ＝ 9 y 代入第一个方程得：2(9 y ＋ y) ＝ 1818 ＝ 18所以原方程组有无数组解。

专题05 二元一次方程（组）的应用知识网络重难突破一. 二元一次方程的应用利用二元一次方程求方案数的一般方法：挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其整数解，整数解的个数即为方案数.典例1．（2018春•召陵区期末）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用100元在唯品会购买价格分别为8元和12元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】A【解析】解：设购买8元的商品数量为x，购买12元的商品数量为y，依题意得：8x+12y＝100，整理，得y．因为x是正整数，所以当x＝2时，y＝7．当x＝5时，y＝5．当x＝8时，y＝3．当x＝11时，y＝1．即有4种购买方案．故选：A．典例2．（2018春•江油市期末）甲、乙两个公共汽车站相向发车，一人在街上行走，他发现每隔8分钟就迎面开来一辆公交车，每隔24分种从背后开来一辆公交车，如果车站发车的间隔时间相同，各车的速度相同，那两车站发车的间隔时间为（）A．18分钟B．10分钟C．12分钟D．16分钟【答案】C【解析】解：设公交车的速度为x米/分钟，人步行速度为y米/分钟，根据题意得：8x+8y＝24x﹣24y，解得：x＝2y，∴12．故选：C．二. 二元一次方程组的应用1．常见的利用二元一次方程组解决实际问题的类型有：配套问题、分配问题、行程问题、销售问题、数字问题、几何问题、梯度收费问题、方案问题等．2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．典例1．（2018春•思南县期末）某校举行研学旅行活动，车上准备了7箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下3箱，发给每位同学1瓶矿泉水，有9位同学未领到．接着又从车上搬下4箱，继续分发，最后每位同学都有2瓶矿泉水，还剩下6瓶．问：有多少人参加此次研学旅行活动？每箱矿泉水有多少瓶？【答案】见解析【解析】解：设有x人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有y瓶，根据题意得：，解得：．答：有81人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有24瓶．典例2．某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）商品价格 A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1350 1200（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？【答案】见解析【解析】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得：，解得：．答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．（2）设B商品打m折出售．根据题意得：200×（1350﹣1200）+150×2×（12001000）＝54000，解得：m＝9．答：B种商品打9折销售的．典例3．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】见解析【解析】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得：，解方程组，得：，答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．（2）结合题意和（1）得：3a+4b＝35，∴a∵a、b都是正整数∴或或答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车1辆，B型车8辆．（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240＝2280（元）方案二需租金：5×200+5×240＝2200（元）方案三需租金：1×200+8×240＝2120（元）∵2280＞2200＞2120∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．三. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤和列二元一次方程组解应用题的一般步骤类似，如下：①弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个(或三个)未知数；②找出能够表达应用题全部含义的相等关系；③根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；④解这个方程组，求出未知数的值；⑤写出答案．注意：一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．典例1．（2018春•无棣县期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文x，y，z对应密文x+y+z，x﹣y+z，x ﹣y﹣z．例如：明文1，2，3对应密文6，2，﹣4．当接收方收到密文12，4，﹣6时，则解密得到的明文为______________．【答案】3，4，5【解析】解：依题意得：，解得故答案是：3，4，5．典例2．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．（1）求x、y的值；（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．巩固练习1．（2018春•邢台期末）某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意可得，，故选：D．2．（2018春•孝昌县期末）为推进课改，王老师把班级里60名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y＝60，y，当x＝0，y＝6符合题意，当x＝1，则y（不合题意）；当x＝2，则y；（不合题意）；当x＝3，则y（不合题意）；当x＝4，则y（不合题意）；当x＝5，则y（不合题意）；当x＝6，则y＝5当x＝7，则y（不合题意）；当x＝8，则y（不合题意）；当x＝9，则y（不合题意）；当x＝10，则y（不合题意）；当x＝11，则y（不合题意）；当x＝12，则y＝0故有3种分组方案．故选：B．3．（2018春•泗洪县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．100元B．130元C．150元D．160元【答案】A【解析】解：设购买1件甲商品需要x元，购买1件乙商品需要y元，购买1件丙商品需要z元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：x+y+z＝100．故选：A．4．（2018春•丰台区期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_________．【答案】【解析】解：根据题意得：；故答案为：．【点睛】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．5．（2018春•卫辉市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形．如图（1）所示，小红看见了，说“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，可中间还留下一个边长为6cm的小正方形．请你求出这些小长方形长和宽．【答案】见解析【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：．答：小长方形的长为30cm，宽为18cm．6．（2018春•江海区期末）列方程组解应用题：新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取每答对一题得分，每答错一题扣分记分方法．王丽答对7道题，答错3道题共获得50分；李强答对8道题，答错1道题，共获得62分．问答对一题得多少分，答错一题扣多少分？【答案】见解析【解析】解：设答对道题得x分，答错一道题扣y分，由题意可得：，解得：．答：答对道题得8分，答错一道题扣2分．7．某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【答案】见解析【解析】解：设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母．由题意，得，解这个方程组得：，答：应安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．8、（2017秋•安庆期末）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了萝卜和白菜共40kg到菜市场去卖，萝卜和白菜这天每千克的批发价与零售价如下表所示：品名萝卜白菜批发价/元 1.6 1.2零售价/元 2.5 1.8问：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚多少钱？【答案】见解析【解析】解：设白菜的重量是xkg，萝卜的重量是ykg，依题意有解得：，10×（1.8﹣1.2）+30×（2.5﹣1.6）＝33（元）答：他当天卖完这些白菜和萝卜能赚33元．9．列方程（组），解应用题甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．【答案】见解析【解析】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：，解得：，答：甲的速度分别为m/s，乙的速度分别为m/s．。

完整版)二元一次方程组应用题经典题及答案实际问题与二元一次方程组题型归纳（练题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲、乙速度分别为x、y千米/时，依题意得：2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20(x-y)=28014(x+y)=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时。

类型二：列二元一次方程组解决——工程问题变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。

若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。

解：设甲、乙公司每周的工钱分别为x、y万元，依题意得：6(x+y)=5.24x+9y=4.8解得：x=0.8，y=0.4若只选一个公司单独完成，小明家应选择乙公司，因为乙公司每周工钱更少，从节约开支的角度考虑更优。

类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩。

专题26 二元一次方程组的应用：和差倍分问题一、单选题1．小珍用12.4元恰好买了单价为0.8元和1.20元两种贺卡共12张，则其中单价为0.8元的贺卡有（）A．5张B．7张C．6张D．4张【答案】A【分析】设单价为0.8元的贺卡有x张，单价为1.20元的贺卡有y张，根据题意列出方程组，解之即可．【详解】解：设单价为0.8元的贺卡有x张，单价为1.20元的贺卡有y张，由题意可得：120.8 1.212.4 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：57 xy=⎧⎨=⎩，∴单价为0.8元的贺卡有5张，故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题中的两个等量关系．2．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（）A．24622x yy x+=⎧⎨=-⎩B．24622x yx y+=⎧⎨=+⎩C．24622x yy x+=⎧⎨=-⎩D．2462+2x yy x+=⎧⎨=⎩【答案】C【分析】设女生人数为x，男生人数为y，根据共有学生246人，男生人数y比女生人数x的2倍少2人，列方程组即可．【详解】解：设设女生人数为x，男生人数为y，由题意得：24622x yy x+=⎧⎨=-⎩，【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目所给的等量关系，列方程组．3．某中学现有学生500人，计划一年后女生在校人数增加3%，男生在校人数增加4%，这样，在校学生总数将增加3.4%．问该校现有女生和男生的人数分别是（ ）A ．女生180和男生320B ．女生320和男生180C ．女生200和男生300D ．女生300和男生200【答案】D【分析】设现有男生x 人，女生y 人，就有x ＋y ＝500，x （1＋4%）＋y （1+3%）＝500（1+3.4%），由这两个方程建立方程组求出其解即可．【详解】设现有男生x 人，女生y 人，由题意，得 ()500(14%)13%500(1 3.4%)x y x y +=⎧⎨+++=+⎩， 解得：200300x y =⎧⎨=⎩，故选D ．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设间接未知数的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．4．元宵节又称灯节，我国各地都有挂灯笼的习俗．灯笼又分为宫灯，纱灯等．若购买1个宫灯和1个纱灯共需75元，小田用690元购买了6个同样的宫灯和10个纱灯．若根据题意可得二元一次方程组75610690x y x y +=⎧⎨+=⎩，则方程组中,x y 分别表示为（ ） A ．每个宫灯的价格，每个纱灯的价格B ．每个纱灯的价格，每个宫灯的价格C ．宫灯的数量，纱灯的数量D ．纱灯的数量，宫灯的数量【答案】A设每个宫灯x元，每个纱灯y元，根据“购买1个宫灯和1个纱灯共需75元，购买6个宫灯和10个纱灯共需690元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设每个宫灯x元，每个纱灯y元，依题意，得：75 610690x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达4.2亿元．黄垓镇某养牛场原有50头大牛和20头小牛，1天约用饲料1100kg；3天后又购进10头大牛和60头小牛，这时1天约用饲料1600kg．下列说法中，错误的是（）A．每头大牛1天约用饲料20kg B．1头大牛和1头小牛1天约用饲料25kgC．1头大牛和2头小牛1天约用饲料30kg D．2头大牛和1头小牛1天用饲料60kg【答案】D【分析】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x 与y的值，即可做出判断．【详解】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意得：50201100 60801600x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，解得：205xy=⎧⎨=⎩，∴每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg，则A、每头大牛1天约用饲料20kg，说法正确．B、1头大牛和1头小牛1天约用饲料20+5=25kg，说法正确．C 、1头大牛和2头小牛1天约用饲料20+10=30kg ，说法正确．D 、2头大牛和1头小牛1天约用饲料=2×20+5=45（kg ），说法错误；故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．6．某班分组活动，若每组6人，则余下5人:若每组7人，则少4人．设总人数为x ，组数为y ，则可列方程组（ ）A ．6574x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．6574y x y x =+⎧⎨-=⎩C ．6574y x y x =-⎧⎨+=⎩D ．6574y x y x =-⎧⎨=+⎩【答案】D【分析】关系式为：6×组数=总人数-5；7×组数=总人数+4，把相关数值代入即可求解．【详解】解：每组6人得到的关系式为6y=x -5；每组7人得到的关系式为7y=x+4．可列方程组为：6574y x y x =-⎧⎨=+⎩； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到两种分法所需要的实际人数的等量关系．7．由新型肺炎疫情影响，各类消毒液需求量大增，卫健委积极推动部分消毒液紧急上市，有效缓解消毒液供需矛盾．根据商场调查，某种消毒液的大瓶装(5kg)．和小瓶装(2.5kg)两种产品的销售数量 (按瓶计算)比为3:4．某厂每天生产这种消毒液25t ，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？设这些消毒液应该分装x 大瓶、y 小瓶．根据题意可列方程组（ ）A ．345 2.525x y x y =⎧⎨+=⎩B ．345 2.525000x y x y =⎧⎨+=⎩C ．435 2.525x y x y =⎧⎨+=⎩D ．435 2.525000x y x y =⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】设这些消毒液应该分装x 大瓶、y 小瓶，根据两种产品的销售数量 (按瓶计算)比为3：4、某厂每天生产这种消毒液25t 列方程组即可．【详解】解：设这些消毒液应该分装x 大瓶、y 小瓶，根据题意得435 2.525000x y x y =⎧⎨+=⎩． 故选D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．5152x y x y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ C ．525x y x y =+⎧⎨=-⎩ D ．525x y x y =-⎧⎨=+⎩ 【答案】A【分析】 设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组．【详解】解：设索长为x 尺，竿子长为y 尺， 根据题意得：5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩． 故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于和差倍分问题，只需要找准数量间的关系，难度较小.9．已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3.若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，问：乙校开学时的人数与原有的人数相差多少?（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18 【答案】D【分析】分别设设甲、乙两校转出的人数分别为x 人、3x 人，甲、乙两校转入的人数分别为y 人、3y 人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可列方程求解即可解答．【详解】设甲、乙两校转出的人数分别为x 人、3x 人，甲、乙两校转入的人数分别为y 人、3y 人，∴寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，∴1016102833x y x y -+=-+，整理得：6x y -=，开学时乙校的人数为：()102833102831028181010x y x y -+=--=-=(人)，∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028-1010=18(人)，故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程．10．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm ，此时木桶中水的深度是（ ）cm ．A ．50B ．40C ．30D ．20【答案】D【分析】 设较长铁棒的长度为xcm ，较短铁棒的长度为ycm ，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解．【详解】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意得：5511(1)(1)35x yx y+=-=-⎧⎪⎨⎪⎩，解得：3025xy==⎧⎨⎩，∴此时木桶中水的深度为：30×（1-13）=20cm．故选D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出二元一次方程组，是解题的关键．11．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（）A．14822483x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．14822483y xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．14822483x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．14822483y xx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【答案】A【分析】根据题意，通过题目的等量关系，结合题目所设未知量列式即可得解.【详解】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：14822483x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选：A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确设出未知量根据等量关系列式求解是解决本题的关键.12．一天，李明和孙帅两位同学一起到饭店吃早餐，李明买了4个包子、1根油条，共付4.2元；孙帅买了2个包子、3根油条，共付4.6元．设包子每个x 元、油条每根y 元，则适合x 、y 的方程组是（ ） A ．4 4.2{6 4.6xy xy == B ．4x 4.2{23 4.6y x y -=-= C ．4x 4.2{23 4.6y x y +=+= D ．4x 4.2x y){23 4.6()y x y x y +=++=+（【答案】C【分析】设包子每个x 元、油条每根y 元，根据李明买了4个包子、1根油条，共付4.2元；孙帅买了2个包子、3根油条，共付4.6元列方程组即可.【详解】设包子每个x 元、油条每根y 元，由题意得4x 4.2{23 4.6y x y +=+=. 故选C.【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识点，解答本题的关键是理解题意，找出题干中的等量关系，列出等式，本题难度一般．13．某农户，养的鸡和兔一共80只，已知鸡和兔的腿数之和为230条，则鸡的只数比兔多多少只( ) A ．14只B ．10只C ．8只D ．以上都不对 【答案】B【分析】设该农户养了x 只鸡、y 只兔，根据“鸡和兔一共80只，鸡和兔的腿数之和为230条”即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出x 、y 的值，二者做差后即可得出结论．【详解】解：设该农户养了x 只鸡、y 只兔，根据题意得：8024230x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：=4535x y ⎧⎨=⎩， ∴x -y=45-35=10．故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系腿数=鸡的只数×2+兔的只数×4结合二者共70只列出关于x 、y 的二元一次方程组是解题的关键．14．据国家统计局山西调查总队抽样调查结果，2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克．其中，夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%，若设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，则根据题意列出的方程组为( )A ．()()138.041 1.65%1 2.6%138.04 2.53x y x y +=⎧⎨++-=-⎩B ．138.04138.04 2.531 1.65%1 2.6%x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪-+⎩ C ．()()138.04 2.531 1.65%1 2.6%138.04x y x y +=-⎧⎨-++=⎩D ．138.04 2.532.6% 1.65%138.04 2.53x y x +=-⎧⎨-=-⎩【答案】C【分析】设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，根据关键描述语“2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克”、“夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%”列出方程组．【详解】解：设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，由题意知，()()138.04 2.531 1.65%1 2.6%138.04x y x y +=-⎧⎨-++=⎩． 故选：C ．【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．15．用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，绳长、井深各是多少尺？( ).A ．48 11B ．11 48C ．12 47D ．13 46【答案】A【分析】设绳长x 尺，井深y 尺，分别根据“将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺”；“将绳子折到四等份，一份绳长比井深多1尺”，列二元一次方程组求解.【详解】解：设绳长x 尺，井深y 尺，根据题意得： 153114x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 解得4811x y =⎧⎨=⎩. ∴绳长48尺，井深11尺.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.16．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )A ．12x y x y -=⎧⎨=⎩B ．2(2)x y x y =⎧⎨=-⎩C ．12(1)x y x y -=⎧⎨=-⎩D ．12(1)x y x y +=⎧⎨=-⎩【答案】C【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．【详解】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：12(1)x y x y -=⎧⎨=-⎩ 故选：C ．【点睛】主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键．17．某年级学生共有346人，男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）A ．{x +y =3462y =x −2B ．{x +y =3462x =y +2C ．{x +y =2162y =2x +2D ．{x +y =3462y =x +2【答案】B【解析】【分析】根据题意列出二元一次方程组即可求解.【详解】∴男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，学生共有346人，∴可列方程组{x +y =3462x =y +2， 故选B.【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系.18．某生产车间共90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使1个螺栓配套2个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设生产螺栓x 人，生产螺帽y 人，由题意列方程组（ ） A ．901524x y x y +=⎧⎨=⎩B ．9022415x y y x =-⎧⎨⨯=⎩C ．9021524x y x y +=⎧⎨⨯=⎩D ．9015242x y x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 【答案】C【分析】等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可．【详解】解：设生产螺栓x 人，生产螺帽y 人，根据总人数可得方程x+y=90；根据生产的零件个数可得方程2×15x=24y ，可得方程组：9021524x y x y +=⎧⎨⨯=⎩． 故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．二、填空题19．已知α∠和β∠互为补角，并且β∠的一半比α∠小30°，则α∠的余角为_____度．【答案】10°【分析】根据互为补角的和等于180︒，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．【详解】 解：根据题意得1801302αβαβ+=︒⎧⎪⎨-=︒⎪⎩①②， ∴-∴得，31502β=︒，解得100β=︒，把100β=︒代入∴得，100180α+︒=︒，解得80α=︒．∴α∠的余角为10°，故答案为：10°．【点睛】本题考查了互为补角的和等于180︒的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．20．把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有___种方法【答案】6【分析】用二元一次方程解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．由于10元和5元的数量都是未知量，可设出10元和5元的数量．本题中等量关系为：10元的总面值＋5元的总面值＝50元．【详解】设10元的数量为x ，5元的数量为y ．则10x ＋5y ＝50，（x≥0，y≥0），解得：010x y =⎧⎨=⎩，18x y =⎧⎨=⎩，26x y =⎧⎨=⎩，34x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，50x y =⎧⎨=⎩， 共有6种换法．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．本题要找好等量关系，对于两个未知量要找到其取值范围，此外，还应注意两个未知量是整数．21．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅．设展出的国画作品x 幅，油画作品y 幅，根据题意，可列方程组为____．【答案】10027x y y x+=⎧⎨+=⎩ 【分析】设展出的油画作品的数量是x 幅，展出的国画作品是y 幅，则根据“展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅”列出方程组即可．【详解】解：设展出的油画作品的数量是x 幅，展出的国画作品是y 幅，依题意得 10027x y y x +=⎧⎨+=⎩， 故答案是：10027x y y x +=⎧⎨+=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．22．如图1，在第一个天平上，物块A 的质量等于物块B 加上物块C 的质量；如图2，在第二个天平上，物块A 加上物块B 的质量等于3个物块C 的质量．已知物块A 的质量为10g ．请你判断：1个物块B 的质量是____________g ．【答案】5【分析】可以分别设物块A 、B 、C 的质量是x ，y ，z ，然后根据两个天平列出方程组，消去z ，得出y 与x 之间的关系即可得出答案.【详解】设物块A 、B 、C 的质量分别是x 克，y 克，z 克，根据题意得，3x y z x y z =+⎧⎨+=⎩①②∴×3-∴，得2x=4y∴x=2y∴x=10∴2y=10，解得，y=5，即，1个物块B 的质量是5g.故答案为：5.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题列出二元一次方程组是解此题的关键.23．我校团委组织初三年级50名团员和鲁能社区36名社区志愿者共同组织了义务植树活动，为了便于管理分别把50名同学分成了甲、乙两组，36名志愿者分成了丙、丁两组.甲、丙两组到A植树点植树，乙、丁两组到B植树点植树，植树结束后统计植树成果得知：甲组人均植树量比乙组多2棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的2.5倍，A、B两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量为整数，则我校学生一共植树________棵.【答案】320【解析】【分析】设甲组分得a人，则乙组为（50-a）人，丙组为b人，则丁组为（36-b）人；再设全部人均种树x棵，则甲组人均种x÷（1+25%）=0.8x棵，乙组人均种（0.8x-2）棵，丙、丁两组人均植树2.5（0.8x-2）=（2x-5）棵，根据题意列出方程，整理后可得a=140-13x，再根据a和x的取值范围确定a和x的值，从而得到植树的数量。

专题06二元一次方程组的应用压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】 (1)【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】 (3)【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】 (5)【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】 (6)【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】 (7)【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】 (9)【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】 (10)【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 (12)【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】 (14)【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】 (16)【过关检测】 (17)【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】例题：（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（）A．38岁B．39岁C．40岁D．41岁【答案】C【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，但实际上1016338-=（岁），说明十年前妹妹没出生，则妹妹今年的年龄为1040388()--=（岁），我的年龄为6814+=（岁），设妈妈今年的年龄为x 岁，爸爸今年的年龄为y 岁，由题意得：8141011x y y x +++=⎧⎨=+⎩，解得：3940x y =⎧⎨=⎩，即爸爸今年的年龄为40岁，故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式训练】【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x 岁，爸爸的年龄是y 岁，由题意得：2352(5)8y x y x =+⎧⎨+=++⎩，解得：1033x y =⎧⎨=⎩，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】例题：（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x 辆共享单车，每名新工人每天可以安装y 辆共享单车，根据题意列方程组即可；（2）设熟练工人和新工人各m ，n 人，根据题意列出等式取值即可．【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x 辆共享单车，每名新工人每天可以安装y 辆共享单车，根据题意，得：234445x y x y +=⎧⎨=⎩，解得108x y =⎧⎨=⎩，答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车．（2）解：设熟练工人和新工人各m ，n 人，由题意得：25102583500m n ⨯+⨯=，整理得：5470m n +=，当2m =时，15n =；当6m =时，10n =；当10m =时，5n =；答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．【变式训练】1．（2023下·福建南平·七年级统考期末）“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A 礼盒可装2个建盏，B 礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个(2)有四种购买方案，见解析【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x 个，“电烧”建盏y 个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题即可；（2）设A 礼盒购买m 个，B 礼盒购买n 个，根据题意，得2618m n +=，再利用方程的正整数解可得答案．【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x 个，“电烧”建盏y 个，根据题意，得9075153060751170x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得：126x y =⎧⎨=⎩，答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A 礼盒购买m 个，B 礼盒购买n 个，根据题意，得2618m n +=，化简得39m n +=，所以93m n =-，因为m ，n 均为非负整数，所以930n -≥，所以3n ≤，且n 为非负整数，所以当30n m ==时，；当23n m ==时，，当16n m ==时，，当09n m ==时，，所以共有四种购买方案．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键．【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】【变式训练】【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】例题：（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度，用二元一次方程组的知识解答）【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为x 千米/时，甲、乙码头间的距离为y 千米，则顺流的速度为()27x +千米/时，逆流的速度为()27x -千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键．【详解】设水流的速度是x 千米/时，甲、乙码头间的距离为y 千米，根据题意得：()()227,2.527,x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：3,60,x y =⎧⎨=⎩答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米.【变式训练】1．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．(1)求A、B两工程队分别整治河道多少天？(2)若A工程队整改一米的工费为200元，B工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？【答案】(1)A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天(2)60000元【分析】（1）设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天，根据A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天完成认为列出方程组进行求解即可；（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．【详解】（1）解：设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天，根据题意得：20 2416360 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：515 xy=⎧⎨=⎩．答：A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天；（2）解：根据题意得：2002451501615⨯⨯+⨯⨯2400036000=+60000(=元)．答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是60000元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）【答案】(1)甲单独工作一天应付工资300元，乙单独工作一天应付工资140元(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资x元，乙单独工作一天应付工资y元，依题意得：883520 6123480 x yx y+=⎧⎨+=⎩，进行计算即可得；（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资x元，乙单独工作一天应付工资y元，依题意得：883520 6123480 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得300140 xy=⎧⎨=⎩，答：设甲单独工作一天应付工资300元，乙单独工作一天应付工资140元．（2）解：甲单独完成：30012200126000⨯+⨯=（元）乙单独完成：14024200248160⨯+⨯=（元）甲、乙两队完成：(300140)820085120+⨯+⨯=（元）512060008160<<，∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】例题：（2023上·江西九江·八年级统考阶段练习）为落实“五育并举”、提高学生的身体素质，某校在课后服务中大力开展球类运动，现需要购买一批足球、篮球．已知购买1个足球和1个篮球共需140元，购买2个足球和3个篮球共需340元，求足球和篮球的单价．【答案】足球的单价为80元，篮球的单价为60元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“购买1个足球和1个篮球共需140元；购买2个足球和3个篮球共需340元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求解．【详解】解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，依题意得：140 23340 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：8060 xy=⎧⎨=⎩．答：足球的单价为80元，篮球的单价为60元．【变式训练】1．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，保护环境从日常出行做起．我市实行限行政策后，某天小林在某停车场观察到：该停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，已知停车场的车轮总数为110个，求三轮车和小轿车各有多少辆？（请用二元一次方程组解答）【答案】停车场有三轮车10辆，小轿车20辆【分析】设停车场有三轮车x 辆，小轿车y 辆，根据停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，停车场的车轮总数为110个，列出方程组进行求解．【详解】解：设停车场有三轮车x 辆，小轿车y 辆．由题意得：3034110x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1020x y =⎧⎨=⎩；答：停车场有三轮车10辆，小轿车20辆．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】例题：（2023上·山东·八年级期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：(1)1辆A 型车和1辆B 型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】(1)1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨(2)答案见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，根据用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨列出方程组求解即可；（2）根据题意可得3431a b +=，再根据a 、b 均为非负整数解方程即可得到答案．【详解】（1）解：设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，【变式训练】1．（2023上·四川达州·八年级校考期末）下列两题任选一道12两班共计有95名学生，他们的体育平均达标率(达到标准的百分率)是60%，如果一班学（1）初二()()生的达标率是40%，二班学生的达标率是78%，那么一、二班人数各是多少人？（2）某单位新盖了一栋楼房，要从相距132米处的自来水主管道处铺设水管，现有8米长的与5米长的两种规格的水管可供选用．①请你设计一种方案，如何选取这两种水管，才能恰好从主管道铺设到这座楼房？这样的方案有几种？②若8米长的水管每根50元，5米长的水管每根35元，选哪种方案最省钱？【答案】（1）一班人数是45人，二班人数是50人；（2）①共有3种选取方案，方案1：选取4根8米长的水管，20根5米长的水管；方案2：选取9根8米长的水管，12根5米长的水管；方案3：选取14根8米长的水管，4根5米长的水管；②选取14根8米长的水管，4根5米长的水管最省钱．【分析】本题主考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的应用.（1）设一班人数是x人，二班人数是y人，根据“初二(1)(2)两班共计有95名学生，且他们的体育平均达标率(达到标准的百分率)是60%”，可列出关于x，y的二元一次方程组解之即可得出结论；（2）①设选取m根8米长的水管，n根5米长的水管，根据需要水管的总长度为132米，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各选取方案；②利用总价等于单价乘以数量，可求【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】【变式训练】【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是49．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．根据题意设个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．【详解】解：根据题意设：个位数字为x，十位数字为y，∴()()13210104x y y x x y +=⎧⎨+-+=⎩，解得：94x y =⎧⎨=⎩，∴原来的两位数为：410949⨯+=，答：原来的两位数是49．【变式训练】1．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．(2)第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形ABCD 中放入10个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327，设小长方形的长为x ，宽为y ，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？【答案】一个小长方形的周长为26，面积为30．【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327．列出方程组，可求解．【详解】解：由题意可得：()()()2331043310327x y x y x y x y xy ⎧+++=⎪⎨++-=⎪⎩∴2213109x y x y +=⎧⎨+=⎩()226,30x y xy ∴+==答：一个小长方形的周长为26，面积为30．【变式训练】1．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？【答案】每块小长方形的长为36厘米，宽为12厘米【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形、结合“大长方形宽为48厘米”列出二元一次方程组求解是解题的关键．【详解】解：设小长方形的长为x 厘米，宽为y 厘米，48x y +=⎩解得：3612x y =⎧⎨=⎩，答：每块小长方形的长为36厘米，宽为12厘米．【过关检测】一、单选题1．（2024下·全国·七年级假期作业）甲、乙两人相距42km ，若两人同时相向而行，可在6h 后相遇；若两人同时同向而行，乙可在14h 后追上甲．设甲的速度为km /h x ，乙的速度为km /h y ，列出的二元一次方程组为（）A ．6642141442x y y x +=⎧⎨=+⎩B ．6642141442x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．66421414x y y x +=⎧⎨=⎩D ．6642141442y x x y -=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】略2．（2024上·湖南怀化·九年级校考期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（）A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩，B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩，C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩，D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=+⎩，【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺，可得 4.5y x =+，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得0.51y x =-，据此列出方程组即可．【详解】解：可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，0.51y x =-⎩故选：A ．3．（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）某校课外小组的学生分组做课外活动，若每组7人，则余下3人：若每组8人，则少5人．设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，可列方程组（）A ．7385y x y x =+⎧⎨+=⎩B ．7385y x y x +=⎧⎨-=⎩C ．7385y x y x =-⎧⎨=-⎩D ．7385y x y x =+⎧⎨=+⎩【答案】B【分析】本题主要考查了根据实际问题列方程组，审清题意、找准等量关系是解题的关键．设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，根据等量关系“若每组7人，则余下3人”和“每组8人，则少5人”即可列出方程组．【详解】解：设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，根据“每组7人，则余下3人；每组8人，则少5人”可得方程组：7385y x y x +=⎧⎨-=⎩．故选B ．4．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm ，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖矮40cm ，则每块墙砖的面积是（）2cm ．A ．425B ．525C ．600D ．800【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．设墙砖的长为cm x ，宽为cm y ，根据等量关系“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm ，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖矮40cm ”列出二元一次方程组求出x 、y 的值，然后再求面积即可．【详解】解：设墙砖的长为cm x ，宽为cm y ，根据题意得：3102240y x x y -=⎧⎨-=⎩，解得：3515x y =⎧⎨=⎩，所以墙砖的面积为：23515525cm ⨯=．故选：B ．二、填空题【答案】92【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据图中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求得小长方形的长和宽，然后即可计算出图中阴影部分的面积．【详解】解：设小长方形的长为cmx，宽为由图可得：212418x y yx y+-=⎧⎨+=⎩，10x=⎧三、解答题9．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无【答案】90cm【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设1支塑料凳子的高度为加ycm，即可根据题意列出方程组求解．【详解】设1台A 型机器人每小时拣垃圾a 吨，1台B 型机器人每小时拣垃圾b 吨，根据题意，得()23 2.623 3.6a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.40.6a b =⎧⎨=⎩，故1台A 型机器人每小时拣垃圾0.4吨，1台B 型机器人每小时拣垃圾0.6吨．【点睛】本题考查了方程组的应用，熟练列出方程组是解题的关键．14．（2023下·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm 的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？【答案】215mm 【分析】设每个小长方形的长是mm x ，宽是mm y ，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，1个长加1的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可．【详解】解：设小长方形的长是mm x ，宽是mm y ，由图（1），得35x y =，由图（2），得12x y +=，所以3512x y x y=⎧⎨+=⎩，解得53x y =⎧⎨=⎩，∴小正方形的长为5mm ，宽为3mm ，∴小长方形的面积为25315mm =⨯=，答：每个小长方形的面积是215mm ．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．(1)放入1个小球水面升高______cm，放入1个大球水面升高(2)如果使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设1辆A 型车载满萝卜一次可运送x 吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送y 吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）根据题意得到3431a b +=，然后由a ，b 都是正整数求解即可．【详解】（1）设1辆A 型车载满萝卜一次可运送x 吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送y 吨，依题意得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩．答：1辆A 型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送4吨．（2）∵现有萝卜31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，∴3431a b +=，∵a ，b 都是正整数，∴当9a =时，1b =；当5a =时，4b =；当1a =时，7b =；∴该物流公司共有3种租车方案：方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．。

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的根本思想列方程组解应用题是把"未知〞转化为"〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的根本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比拟直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开场时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比拟直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－本钱(进价)；(2)；(3)利润＝本钱〔进价〕×利润率；(4)标价＝本钱(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意："商品利润＝售价－本钱〞中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.〔例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十〕4．储蓄问题：(1)根本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)根本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥月利率=年利率1 12 .注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的根本等量关系是：总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的根本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的根本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的根本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写"答〞，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)"设〞、"答〞两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中根本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，防止与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验.类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.(2)有两个等量关系： ①相向而行：汽车行驶113小时的路程＋拖拉机行驶113小时的路程＝160千米; ②同向而行：汽车行驶12小时的路程＝拖拉机行驶112⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时的路程. 解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组()4160,311122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解这个方程组，得: 90,30x y =⎧⎨=⎩ 1111901165,3011853232⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进展装修，假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：此题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8〔*+y〕=3520,由第二层含义可得方程6*+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进展分析.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价风格整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为*元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？〔利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税〕思路点拨：设教育储蓄存了*元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后 2.25%+⨯ 2.25%80%x x+⨯⨯2042.75y y解：设存一年教育储蓄的钱为*元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．*服装厂生产一批*种款式的秋装，每2米的*种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现方案用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：此题的第一个相等关系比拟容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题 6. *工厂去年的利润〔总产值—总支出〕为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，则有总产值〔万元〕 总支出〔万元〕 利润〔万元〕 去年* y 200 今年 120%* 90%y 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，根据题意得： ，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进展分析.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.〔2011年丰台区中考一摸试题〕"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂原方案每周生产帐篷共9千顶，现*地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂一周制作的帐篷数分别到达了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据方案前后，倍数关系由量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原方案"爱心〞帐篷厂生产帐篷*千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得：9,1.6 1.514x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5,4x y =⎧⎨=⎩所以：1.6*=1.65=8, 1.5y =1.54=6答："爱心〞帐篷厂生产帐篷8千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷6千顶.类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100*＋y 问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y ＋*解：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：此题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：〔1〕甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；〔2〕混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；〔3〕混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；〔4〕混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比.解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取*kg , ykg.依题意得：，答：甲取20kg，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10*kg和5ykg，则甲种酒精溶液含水7*kg，乙种酒精溶液含水ykg，根据题意得：，所以 10*=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg总结升华：此题的第〔1〕个相等关系比拟明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了.列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么.有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数.类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块一样的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为*，宽为y，就可以列出关于*、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长*cm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在*些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解此题的关键是理解"6年后〞这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲*岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化〔增大、减小〕了，其他人也一样增大或减小，并且增大〔或减小〕的岁数是一样的〔一样的时间〕.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．*地生产一种绿色蔬菜，假设在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进展粗加工，每天可以加工16吨；如果进展细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进展. 受季节条件的限制，公司必须在15天之将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进展粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进展精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将局部蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进展加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 此题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进展精加工，吨蔬菜进展粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进展比拟从中选择最优方案.。

二元一次方程组的应用——调配问题列方程（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知是什么，求什么，明确各数量之间关系；②找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为未知数）；④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位名称）．一、选择题1、每个木工一天能装双人课桌（一张课桌配两把椅子）4张或单人椅子10把，现有木工9人，怎样分配工作才能使一天装配的课桌与椅子配套？设安排x个木工装配课桌，y个木工装配椅子，则下列方程组正确的（）．A.92410x yx y+=⎧⎨⨯=⎩B.9420x yx y+=⎧⎨=⎩C.94x yx y+=⎧⎨=⎩D.9410x yx y+=⎧⎨=⎩2、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？①设用x张制盒身，可得方程2×25x=40（36-x）；②设用x张制盒身，可得方程25x=2×40（36-x）；③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组36 22540x yx y+=⎧⎨⨯=⎩；④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组3625240x yx y+=⎧⎨=⨯⎩；其中正确的是（）．A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③3、某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（）．A.7385y xy x=+⎧⎨+=⎩B.7385y xy x=+⎧⎨-=⎩C.7385y xy x=-⎧⎨=+⎩D.7385y xy x=+⎧⎨=+⎩4、根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（250 g）的销售瓶数的比为2:5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大小两种产品多少瓶？设分装大小瓶两种产品分别为x 和y 瓶，则可列方程组为（ ）．A. 2550025022.5y x x y =⎧⎨+=⎩B. :5:250025022.5x y x y =⎧⎨+=⎩C. 2550025022500000y x x y =⎧⎨+=⎩D. :5:250025022500000x y x y =⎧⎨+=⎩5、有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，设一辆大货车一次可以运货x 吨，一辆小货车一次可以运货y 吨，根据题意所列方程组正确的是（ ）．A. 2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 23355615.5x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 3215.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 2315.56535x y x y +=⎧⎨+=⎩6、某中学计划租用若干辆汽车运送七年级学生外出进行社会实践活动，如果一辆车乘坐45人，那么有35名学生没有车坐；如果一辆车乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．设计划租用x 辆车，共有y 名学生．则根据题意列方程组为（ ）．A. ()453560235x yx y -=⎧⎨-=-⎩B. ()453560235x y x y =-⎧⎨-+=⎩C. ()453560135x yx y+=⎧⎨-+=⎩D. ()453560235x y y x =+⎧⎨--=⎩二、填空题7、一批宿舍，若每间住1人，则10人无法安排；若每间住3人，则有10间无人住，这批宿舍有______间．8、工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽6个．现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个．生产的螺丝比螺丝帽多______个．9、某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，现有此种布料600米，请你帮助设计一下，用______米布料做上衣，才能恰好生产出成套的运动服．10、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________________________．11、有一些苹果及苹果箱，若每箱装25千克，则剩余40千克无处装，若每箱装30千克，则余20只空箱，则共有______千克苹果，______个苹果箱．12、某中学组织七年级学生春游，原计划用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样多60座客车，则多出1辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为300元，则七年级人数为______，原计划用45座客车______辆．三、解答题13、某车间的工人们要在一天内完成某种零件的生产任务，若每人生产25个零件，还差18个才完成任务；若每个生产27个零件，就可以超额完成12个．问车间有多少名工人？这批任务是多少个零件？14、列方程组解应用题：小明同学所在的学校为加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个篮球和3个足球供需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元．求每个篮球和足球各需多少元？15、漕运码头的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到漕运码头租船游览，如果每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．16、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身25个，或40个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套盒．现有36张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？17、为了支援地震灾区，某市要将一批救灾物资运往灾区，运输公司准备使用甲、乙两种货车分三次完成此项任务，如果每辆车运的物资都正好达到保证安全的最大运载量，且前两次运输的情况如下表：（1）甲、乙两种货车的最大运载量分别为多少吨？（2）已知第三次使用了3辆甲种货车和4辆乙种货车刚好运完这批物资，问：第三次的物资共有多少吨？18、“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见下表．爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，各多少件？19、某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位．若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：（1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车．（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算．20、阅读小故事，并运用方程或方程组解答问题：杨损是唐朝的一位尚书，他有较高的文化知识，身居高官但不徇私情，能任人唯贤、量才录用官吏．约公元855年前后，据《唐阙史》记载：青州需要提拔两个小吏中的一个，但他们档案中的评语几乎完全相同，提拔谁呢？官员们便请教其上司杨损，损略加思考后说：“一个小吏的最大优点之一就是能熟练进行计算，我出一道数学题，二人中谁先求得正确答案就提拔谁．”两个小吏到来之后，杨损出了一道题：“有一天，几个盗贼正在商议怎样分配偷来的布匹，贼首说，如果每人分6匹，就会余下5匹，如果每人分7匹，又少8匹，这些话被躲在暗处的衙役听到了，他飞快跑去报告了知府，知府很快便派了与盗贼人数相应的警力去抓捕他们．聪明的你知道有盗贼几人，布几匹吗？”杨损出题后就命令两个小吏在大厅前的石阶上用算筹（古代计算工具）计算．不一会，其中一个小吏首先得出正确答案，被提拔．众官员都心悦诚服，很赞赏这种用人方法．同学们，杨损考小吏的题，请你列方程或方程组来求解．21、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底，可以正好制成一批完整的盒子？22、某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？23、某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？24、某中学2012年通过“废品回收”活动筹集钱款资助山区贫困中、小学生共23名，资助一名中学生的学习费用需a元，一名小学生的学习费用需b元，各年级学生筹款数额及其恰好资助中，小学生人数的部分情如下表：（1）求a，b的值．（2）初三年级学生筹集的款项解决了其余贫困中小学生的学习费用，求出初三年级学生资助的贫困中、小学生人数．25、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》共有三卷，第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六兽，下有四十六足，问：禽，兽各几何？”译文“现在有一种野兽，长有六头四足；有一种鸟，长有四头两足，把它们放一起，共有76头，46足．问野兽、鸟各有多少只？”26、小芳家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需要6周完成，共需要装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需要装修费4.8万元，小芳的父母商量后决定只选一个公司单独完成．（1）如果从节约时间的角度考虑应选那家公司？（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．27、“阳光”游泳馆为促进全民健身，2016年开始推行会员卡制度，标准如下表：（1）“阳光”游泳馆2016年5月销售A，B会员卡共104张，售卡收入14200元，请问这家游泳馆当月销售A，B会员卡各多少张？（2）小丽准备在“阳光”游泳馆购买会员卡，请你根据小丽游泳的次数，说明选择哪种会员卡最省钱．28、面对资源紧缺与环境保护问题，发展电动汽车成为汽车工业发展的主流趋势．我国某著名汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘m（0＜m＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元的工资，给每名新工人每月发4800元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？参考答案一、选择题 1、答案：A解答：设x 个木工装配课桌，y 个木工装配椅子，由题意得，92410x y x y +=⎧⎨⨯=⎩．2、答案：D解答：设用x 张制盒身，可得方程2×25x =40（36-x ）；故①正确；②错误； 设用x 张制盒身，y 张制盒底，可得方程组3622540x y x y +=⎧⎨⨯=⎩；故③正确；④错误；选D. 3、答案：C解答：根据组数×每组7人=总人数-3人，得方程7y =x -3；根据组数×每组8人=总人数+5人，得方程8y =x +5． 列方程组为7385y x y x =-⎧⎨=+⎩选C. 4、答案：C解答：设应该分装大小瓶两种产品分别为x 和y 瓶，则有：:2:550025022500000x y x y =⎧⎨+=⎩①②，由①得：2y =5x ． 选C. 5、答案：A解答：根据题意可得A 选项2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩.符合题意．6、答案：B解答：设计划租用x 辆车，共有y 名学生，由题意得，()453560235x yx y +=⎧⎨-+=⎩．二、填空题 7、答案：20解答：设这批宿舍有x 间，共有y 人．根据题意，得()10310x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解，得2030x y =⎧⎨=⎩． 则这批宿舍有20间．故答案为：20．8、答案：32解答：设甲用x 分钟生产螺丝，（20-x ）分钟生产螺丝帽，乙用y 分钟生产螺丝，（20-y ）分钟生产螺丝帽，由题意得，3x +9（20-x ）+2y +6（20-y ）=134，整理得：3x +2y =83，则生产的螺丝比螺丝帽多：3x -9（20-x ）+2y -6（20-y ）=12x +8y -300，∵3x +2y =83，∴12x +8y -300=4×83-300=32（个）．故答案为：32．9、答案：360解答：设做上衣用的面料为x 米，做裤子用的面料为y 米， 由题意得：6002333x y x y +=⎧⎪⎨⨯=⨯⎪⎩， 解得：x =360．即用360米布料做上衣，才能恰好生产出成套的运动服．10、答案：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩解答：根据题意得：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，故答案为：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．11、答案：3240；128解答：设共有x 千克苹果，y 个苹果箱．根据题意，得()25403020y x y x +=⎧⎨-=⎩， 解得3240128x y =⎧⎨=⎩．则共有3240千克苹果，128个苹果箱．12、答案：240；5解答：设七年级人数为x 人，原计划租车y 辆，则，45156060y x y x +=⎧⎨-=⎩， 解得2405x y =⎧⎨=⎩，故答案为：240；5．三、解答题13、答案：15名工人393个零件．解答：设有x 名工人，有y 个零件，由题意可列方程组为25182712x y x y+=⎧⎨-=⎩，解得15393x y =⎧⎨=⎩， 答：有15名工人，393个零件．14、答案：每个篮球80元，每个足球50元．解答：设每个篮球x 元，每个足球y 元，由题意得，2331052500x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：8050x y =⎧⎨=⎩，答：每个篮球80元，每个足球50元．15、答案：租用4座游船5条，租用6座游船3条．解答：设租用4座游船x 条，租用6座游船y 条，根据题意得：463860100600x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：53x y =⎧⎨=⎩．答：租用4座游船5条，租用6座游船3条．16、答案：用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套．解答：设用x 张制作盒身，y 张制作盒底，根据题意得：①②3622540x y x y +=⎧⎨⨯=⎩①②， 由①得x =36-y ③，③代入②，得50（36-y ）=40y ，解得y =20，把y =20代入③，得x =16．∴原方程组的解为1620x y =⎧⎨=⎩． 答：用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套．17、答案：（1）甲、乙两种货车的最大运载量分别为2.5吨和3吨．（2）第三次的物资共有19.5吨．解答：（1）设甲、乙两种货车的最大运载量分别为x 吨，y 吨，由题意得：23146530x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得 2.53x y =⎧⎨=⎩． 答：甲、乙两种货车的最大运载量分别为2.5吨和3吨．（2）第三次的物资共有3x +4y =3×2.5+4×3=19.5（吨），答：第三次的物资共有19.5吨．18、答案：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏．解答：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶． 设小华兑换了x 个保温杯和y 支牙膏，依题意，得1020005008200200x y x y +=⎧⎨+=-⎩， 解得28x y =⎧⎨=⎩．答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏．19、答案：（1）这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆．（2）租用4辆60座客车更合算．解答：（1）设这批游客的人数是x 人，原计划租用45座客车y 辆．根据题意，得()4515601y x y x +=⎧⎨-=⎩， 解这个方程组，得2405x y =⎧⎨=⎩．这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆．（2）租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6=1320（元）， 租60座客车：240÷60=4（辆），所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）．1200＜1320租用4辆60座客车更合算．20、答案：有盗贼13个，布匹83匹．解答：设盗贼x 人，布y 匹，∴6578x y x y+=⎧⎨-=⎩，∴1383x y =⎧⎨=⎩，答：有盗贼13个，布匹83匹．21、答案：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底，可以正好制成一批完整的盒子． 解答：设x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底，根据等量关系（1），盒身的个数×2=盒底的个数，可得：2×8x =22y ；根据等量关系（2），制作盒身的铁皮张数+制作盒底的铁皮张数=190，可得x +y =190， 故可得方程组1902822x y x y+=⎧⎨⨯=⎩，解得：11080x y =⎧⎨=⎩， 答：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底，可以正好制成一批完整的盒子．22、答案：24人生产螺栓，32人生产螺母．解答：设应分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，根据题意得，5636224x y y x+=⎧⎨=⨯⎩， 解得2432x y =⎧⎨=⎩． 答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．23、答案：安排6人生产A 部件，安排10人生产B 部件．解答：设安排x 人生产A 部件，安排y 人生产B 部件，由题意，得：161000600x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得：610x y =⎧⎨=⎩．答：安排6人生产A 部件，安排10人生产B 部件，才能使每天生产的A 部件和B 部件配套．24、答案：（1）800600a b =⎧⎨=⎩．（2）九年级捐助的贫困中学生4人，小学生7人．解答：（1）依题意得244000334200a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得800600a b =⎧⎨=⎩．（2）设九年级捐助的贫困中学生x 人，小学生y 人，根据题意得8006007400232433x y x y +=⎧⎨+=----⎩， 解得47x y =⎧⎨=⎩， 答：九年级捐助的贫困中学生4人，小学生7人．25、答案：兽有8只，鸟有7只．解答：设兽有x 只，鸟有y 只，由题意列方程组为①②64764246x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ①÷2-②得，-x =-8，x =8，将x =8代入②得y =7，∴方程组的解为87x y =⎧⎨=⎩，答：兽有8只，鸟有7只．26、答案：（1）从节约时间角度考虑应选甲公司．（2）从节约开支角度考虑应选乙公司．解答：（1）设甲公司的工作效率为x ，乙公司的工作效率为y ．依题意列方程组，得661491x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组，得110115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以，甲公司单独做需10周，乙公司单独做需15周．答：从节约时间角度考虑应选甲公司．（2）设甲一周的装修费是m 万元，乙一周的装修费是n 万元．依题意列方程组，得66 5.249 4.8m n m n +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得35415m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 甲单独做的装修费：35×10=6（万元）， 乙单独做的装修费：415×15=4（万元）， 答：从节约开支角度考虑应选乙公司．27、答案：（1）这家游泳馆当月销售A 会员卡44张，B 会员卡60张．（2）当小丽游泳30次时，两会员卡消费相同；当小丽游泳少于30次时，选择A 会员卡省钱；当小丽游泳多于30次时，选择B 会员卡省钱．解答：（1）设这家游泳馆当月销售A 会员卡x 张，B 会员卡y 张．根据题意列方程组，得：1045020014200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组，得4460x y =⎧⎨=⎩．答：这家游泳馆当月销售A 会员卡44张，B 会员卡60张．（2）设小丽游泳的次数为a 次，情况1：若两种会员卡消费相同，则50+25a =200+20a ，解得a =30．情况2：若A 会员卡省钱，则50+25a ＜200+20a ，解得a ＜30．情况3：若B 会员卡省钱，则50+25a ＞200+20a ，解得a ＞30．综上，当小丽游泳30次时，两会员卡消费相同；当小丽游泳少于30次时，选择A 会员卡省钱；当小丽游泳多于30次时，选择B 会员卡省钱．28、答案：（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车．（2）工厂有4种新工人的招聘方案．①新工人8人，熟练工1人；②新工人6人，熟练工2人；③新工人4人，熟练工3人；④新工人2人，熟练工4人．（3）工厂应招聘4名新工人．解答：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车．根据题意，得：28 2314 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：42 xy=⎧⎨=⎩．答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车．（2）设工厂有a名熟练工．根据题意，得12（4a+2m）=240，2a+m=10，∴m=10-2a，又a，m都是正整数，0＜m＜10，∴m=8，6，4，2．即工厂有4种新工人的招聘方案．①m=8，a=1，即新工人8人，熟练工1人；②m=6，a=2，即新工人6人，熟练工2人；③m=4，a=3，即新工人4人，熟练工3人；④m=2，a=4，即新工人2人，熟练工4人．（3）结合（2）知：要使新工人的数量多于熟练工，则m=8，a=1；或m=6，a=2；或m=4，a=3．根据题意，得：W=8000a+4800m=8000a+4800（10-2a）=48000-1600a．要使工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，则a应最大．显然当m=4，a=3时，工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少．。

二元一次方程组的应用——计费问题1、某商店要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如表：若商店计划售完这批商品后能使利润达到1250元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（注：利润=售价-进价）2、甲、乙两种型号的风扇成本分别为120元/台、170元/台，销售情况如下表所示（成本、售价均保持不变，利润=收入-成本）（1）求这两种型号的风扇的售价．（2）打算再采购这两种型号的风扇共130台，销售完后总利润能不能恰好为8010元？若能，给出相应的采购方案；若不能，说明理由．3、某服装店用6000元购进A、B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：（1）求这两种服装各购进的件数．（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？4、某天，一蔬菜经营户用60元钱按批发价从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共40 kg，然后在市场上按零售价出售，西红柿和豆角当天的批发价和零售价如下表所示：如果西红柿和豆角全部以零售价售出，他当天卖这些西红柿和豆角赚了多少元钱？5、某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？6、某商场用2500元购进了A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如表所示．（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若A型台灯按标价的九折出售，B型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？7、某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价）若商店计划销售完这批商品后能使利润达到1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？8、杭外即将迁校，学校打算将120吨的课桌书籍等物品运往新校舍．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物品都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费是多少元？9、为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2019年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a、b的值．（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？10、小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：（1）小林以折扣价购买商品A、B是第______次购物．（2）求出商品A、B的标价．（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？11、某些风景旅游景点将于5月1日前后相继开放，为了更多地吸引游客前去游览，某景点给出的团体门票票价如下：今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．（1）你判断乙团的人数是否也少于50人？（2）求甲、乙两个旅行团各有多少人？12、某电器超市销售每台进价为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，如图所示是近2周的销售情况：（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价．（2）若超市再采购这两种型号的电风扇共30台，并且全部销售完，该超市能否实现利润为1400元的利润？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．13、为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费．具体收费标准见下表：（1）学而思的小黑老师在6月份用电320千瓦时，需交电费196元，7月份用电450千瓦时，需交电费293元，求a 、b 的值．（2）广州某电力公司在元旦推出了一款居民用电套餐：每月只要缴纳20元的基础费用，不超过400千瓦时的部分按8.5折收费，但超过400千瓦时的部分电费要上调5%．小白老师平均每个月用电为450千瓦时，请问小白老师使用该套餐划算吗？14、某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费a 元：为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付b 元超重费．设某件物品的重量为x 千克．（1）回答下列问题：（1）当x ≤16时，支付费用为______元（用含a 的代数式表示）．（2）当x ≥16时，支付费用为______元（用含x 和a 、b 的代数式表示）．（2）甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示：（1）试根据以上提供的信息确定a ，b 的值．（2）试问在物品可拆分的情况下，用不超过105元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由．15、列方程组解应用题：在元旦期间，某商场投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件，两种商品的成本价和销售价如下表所示：（1）该商场购进两种商品各多少件？（2）这批商品全部销售完后，该商场共获利多少元？16、雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运算如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送．（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数位14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？17、请列方程解决下面的问题：小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一类服装．为了缓解资金压力，小张决定将这类服装打折销售．若每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．（1）请你算一算每件服装的标价和进价各是多少元．（2）该服装改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行甩卖，为了保证盈利2万元，小张最低能打几折．18、列方程组解应用题：某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，用14200元恰好购进100件，已知甲种款型T恤进价为130元/件，且甲种款型的每件进价比乙种款型每件进价少30元．（1）求甲、乙两种款型的T恤各购进多少件？（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款全部售完，乙款剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤商店共获利多少元？19、在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元．（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？20、小玥的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．以下是爸爸、妈妈之间的对话：妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；请你根据对话对内容通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．21、为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B商品需要94元．问：打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？22、某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，（1）这种商品A的进价为多少元？（2）现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%．对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，则需对商品A、B分别进货多少件？23、某校举办数学竞赛，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类且定价为15元的图书．书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠，经计算发现，学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同，问学校获奖的同学有多少人？24、2017年5月31日，昌平区举办了首届初二年级学生“数学古文化阅读展示”活动，为表彰在本次活动中表现优秀的学生，老师决定在6月1日购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知1个笔袋、2筒彩色铅笔原价共需44元；2个笔袋、3筒彩色铅笔原价共需73元．（1）每个笔袋、每筒彩色铅笔原价各多少元？（2）时逢“儿童节”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过10筒不优惠，超出10筒的部分“八折”优惠．若买x个笔袋需要y1元，买x筒彩色铅笔需要y2元．请用含x的代数式表示y1、y2．（3）若在（2）的条件下购买同一种奖品95件，请你分析买哪种奖品省钱．25、某班去体育用品商店购买羽毛球和羽毛球拍，每只羽毛球2元，每副羽毛球拍25元．甲商店说：“羽毛球拍和羽毛球都打9折优惠”，乙商店说：“买一副羽毛球拍赠2只羽毛球”．（1）该班如果买2副羽毛球拍和20只羽毛球，问在甲、乙两家商店各需花多少钱？（2）该班如果准备花90元钱全部用于买2副羽毛球拍和若干只羽毛球，请问到哪家商店购买更合算？（3）该班如果必须买2副羽毛球拍，问当买多少只羽毛球时到两家商店购买同样合算？26、如图，A、B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家工厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．（1）这家食品厂到A地的距离是多少？（2）这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各多少吨？参考答案1、答案：甲、乙两种商品应分别购进70件、90件．解答：设甲、乙两种商品应分别购进x 件、y 件，()()160201545351250x y x y +=⎧⎨-⨯+-⨯=⎩解得7090x y =⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种商品应分别购进70件、90件．2、答案：（1）甲型号风扇的售价为150元/台，乙型号风扇的售价为260元/台．（2）不能．解答：（1）设甲型号风扇的售价为x 元/台，乙型号风扇的售价为y 元/台，根据题意得：6522004103200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：150260x y =⎧⎨=⎩．答：甲型号风扇的售价为150元/台，乙型号风扇的售价为260元/台．（2）设购进甲型号风扇m 台，则购进乙型号风扇（130-m ）台，根据题意得：（150-120）m +（260-170）（130-m ）=8010，解得：m =1232， ∵1232不为整数， ∴销售完后总利润不能恰好为8010元．3、答案：（1）50；30（2）2440解答：（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由题意，得60100600040603800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5030x y =⎧⎨=⎩． 答：A 种服装购进50件，B 种服装购进30件．（2）由题意，得3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）=3800-1000-360=2440（元）．答：服装店比按标价售出少收入2440元．4、答案：当天卖这些西红柿和豆角赚了37元钱．解答：设批发西红柿x kg ，批发豆角y kg ，由题意得，401.2 1.660x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1030x y =⎧⎨=⎩， 共赚钱为：（1.9-1.2）×10+（2.6-1.6）×30=37（元）．答：当天卖这些西红柿和豆角赚了37元钱．5、答案：（1）商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．（2）该商场共获得利润6600元．解答：（1）设商场购进甲种矿泉水x 箱，购进乙种矿泉水y 箱，由题意得500243313800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：300200x y =⎧⎨=⎩． 答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．（2）300×（36-24）+200×（48-33）=3600+3000=6600（元）．答：该商场共获得利润6600元．6、答案：（1）A 灯进了30盏，B 灯进了20盏．（2）720．解答：（1）设A 灯进了x 盏，B 灯进了y 盏，则5040652500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =30，y =20．答：A 灯进了30盏，B 灯进了20盏．（2）依题意得：30×（60×90%-40）+20×（100×80%-65）=30×14+20×15=420+300=720（元）．答：共获利720元．7、答案：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件．解答：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件，依题意得：()()160201545351100x y x y +=⎧⎨-+-=⎩， 解得：10060x y =⎧⎨=⎩，答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件．8、答案：（1）甲车8辆；乙车10辆．（2）甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，运费3750元解答：（1）设需要甲种车x ，乙种车型y 辆．581208200250410010x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，． （2）设甲车有a 辆，乙车有b 辆，丙车有（14-a -b ）辆5a +8b +（14-a -b ）×10=120arrow 5a +2b =20，a =4-25b ． ∵a ，b ，14-a -b 均为正整数．∴b 只能等于5，a =2，14-a -b =7∴甲车2，乙车5，丙车7辆．共需200×2+250×5+300×7=3750元．9、答案：（1）a =2.2，b =4.2．（2）小王家六月份最多能用水40吨．解答：（1）由题意，得：()()()()170.830.866170.880.891a b a b ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩，①，②②-①，得5（b +0.8）=25，b =4.2，把b =4.2代入①，得17（a +0.8）+3×5=66，解得a =2.2，∴a =2.2，b =4.2．（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116（元），9200×2%=184元，∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过30吨．设小王家六月份用水量为x 吨，由题意，得17×3+13×5+6.8（x -30）≤184，6.8（x -30）≤68，解得x ≤40．答：小王家六月份最多能用水40吨．10、答案：（1）三（2）商品A 的标价为90元，商品B 的标价为120元．（3）商店是打6折出售这两种商品的．解答：（1）小林以折扣价购买商品A 、B 是第三次购物．故答案为：三．（2）设商品A 的标价为x 元，商品B 的标价为y 元，根据题意，得651140371110x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：90120x y =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为90元，商品B 的标价为120元．（3）设商店是打a 折出售这两种商品，由题意得，（9×90+8×120）×10a =1062，解得：a =6．答：商店是打6折出售这两种商品的．11、答案：（1）乙团的人数不可能少于50人．（2）甲团有36人，乙团有84人．解答：（1）设甲团有x 人，乙团有y 人，且0＜y ＜50人，13x +13y =1392，x +y =10713， ∴乙团的人数不可能少于50人．（2）∵乙团人数不超过100人，且由（1）可得乙团人数大于50人，甲和乙团人数大于100人，∴根据题意列方程组：13111392 991080x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， 由②得：x +y =120，③由①得：2x +11（x +y ）=1392，④把③代入到④得：2x +11×120=1392，解得x =36，把x =36代入到③得：y =84．∴甲团有36人，乙团有84人．12、答案：（1）A 、B 两种型号的电风扇的销售单价分别为250元、210元．（2）采购A 种型号电风扇20台，B 种型号电风扇10台．解答：（1）设A 型号的电风扇的销售单价为x 元、B 型号的电风扇的销售单价为y 元，由题意得： 3518004103100x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得250210x y =⎧⎨=⎩， 答：A 、B 两种型号的电风扇的销售单价分别为250元、210元．（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（30-a ）台，由题意， 得：（250-200）a +（210-170）（30-a ）=1400，解得：a =20，则30-a =10（台），答：能实现1400元的利润目标，可采购A 种型号电风扇20台，B 种型号电风扇10台．13、答案：（1）a 的值是0.6，b 的值是0.65．（2）划算．解答：（1）根据题意得：()()()240320240196240400240500.3293a b a b a ⎧+-=⎪⎨+-++=⎪⎩， 解得：0.60.65a b =⎧⎨=⎩；答：a 的值是0.6，b 的值是0.65．（2）按450千瓦时来计算，原电费为293元，套餐电费为[240×0.6+（400-240）×0.65]×0.85+（450-400）×0.9×1.05+20=278.05（元）． ∵278.05＜293，∴小白老师使用该套餐划算．答：小白老师使用该套餐划算．14、答案：（1）（1）（a +30）（2）（a +30+（x -16）b ）（2）1267157a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． （2）用不超过105元的费用不能托运50千克物品．解答：（1）（1）当x ≤16，支付费用为a +30（元），（2）当x ≥16时，支付费用为a +30+（x -16）b （元），故答案为：（a +30+（x -16）b ）．（2）1由题意得()()3018163830251653a b a b ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩， 解得：267157a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（2）将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，此时费用为：3×30+3×267+2×157=105.4元＞105元， ∴用不超过105元的费用不能托运50千克物品．利润的计算15、答案：（1）甲300件；乙200件．（2）总利润6600元．解答：（1）设购进甲x 件，购进乙y 件．500300243313800200x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，． 答：该商场购进甲商品300件，购进乙商品200件．（2）总利润为：300（36-24）+200（48-33）=3600+3000=6600（元）．答：该商场获利6600元．16、答案：（1）（4）2甲种车8辆，乙种车10辆（3）甲种车2辆，乙种车5辆，丙种车7辆，此时运费7500元解答：（1）（2）设甲种车x 辆，乙种车y 辆581204005008200x y x y +=⎧⎨+=⎩解得810x y =⎧⎨=⎩ 答：甲种车8辆，乙种车10辆．（3）设丙种车z 辆145810120x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩唯一整数解为257x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩答：甲种车2辆，乙种车5辆，丙种车7辆，此时运费7500元．17、答案：（1）每件服装的标价为200元，进价为120元．（2）小张最低能打5折．解答：（1）设每件服装的标价为a 元，进价为b 元，根据题意得：50%2080%40a b a b -=-⎧⎨-=⎩，解得a =200，b =120．答：标价为200元，进价为120元．（2）设打x 折，则300×（200-120）+（500-300）（200×10x -120）=20000， 解得x =5．答：最低打5折．18、答案：（1）甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件．（2）售完这批T 恤衫商店共获利5960元．解答：（1）设甲种款型的T 恤衫购进x 件，则乙种款型的T 恤衫购进y 件，由题意得 ()1001301303014200x y x y +=⎧⎨++=⎩， 解得6040x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件．（2）130×60%×60+160×60%×（40÷2）-160×[1-（1+60%）×0.5]×（40÷2） =4680+1920-640=5960（元）．答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元．19、答案：（1）A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元．（2）小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．解答：（1）设A 型洗衣机的售价为x 元，B 型洗衣机的售价为y 元，则根据题意，可列方程组，50013%13%351y x x y -=⎧⎨+=⎩， 解得11001600x y =⎧⎨=⎩． ∴A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元．（2）小李实际付款为：1100（1-13%）=957（元）；小王实际付款为：1600（1-13%）=1392（元）．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．20、答案：萝卜3元/斤，排骨18元/斤．解答：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价（3632x -）元/斤，根据题意得 3（1+50%）x +2（1+20%）（3632x -）=45， 解得x =2， 则3632x -=36322-⨯=15． 所以这天萝卜的单价是（1+50%）×2=3（元/斤），这天排骨的单价是（1+20%）×15=18（元/斤）．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．21、答案：比打折前节省了28元．解答：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元．依题意得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩． 解得1016x y =⎧⎨=⎩． ∴5×10+4×16-86=28（元）．答：比打折前节省了28元．22、答案：（1）700元．（2）需对商品A 进货67件，需对商品B 进货33件．解答：（1）设这种商品A 的进价为每件a 元，由题意得：（1+10%）a =900×90%-40，解得：a =700，答：这种商品A 的进价为700元．（2）设需对商品A 进货x 件，需对商品B 进货y 件，根据题意，得：10070010%60010%6670x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得：6733x y =⎧⎨=⎩，答：需对商品A 进货67件，需对商品B 进货33件．23、答案：（1）签字笔的单价是1.5元/支，笔记本的单价为3.5元/本．（2）学校获奖的同学有48人．解答：（1）设签字笔的单价是x 元/支，笔记本的单价为y 元/本，根据题意得：28.52313.5x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得： 1.53.5x y =⎧⎨=⎩． 答：签字笔的单价是1.5元/支，笔记本的单价为3.5元/本．（2）设学校获奖的同学有m 人，根据题意得：15m =15×0.8（m +12），解得：m =48．答：学校获奖的同学有48人．24、答案：（1）每个笔袋原价14元，每筒彩色铅笔原价15元．（2）y 1=12.6x ．当x ≤10时：y 2=15x ；当x ＞10时：y 2=12x +30．（3）买彩色铅笔省钱．解答：（1）设每个笔袋原价x 元，每筒彩色铅笔原价y 元，根据题意，得：2442373x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：1415x y =⎧⎨=⎩，所以每个笔袋原价14元，每筒彩色铅笔原价15元．（2）y 1=14×0.9x =12.6x ．当x ≤10时：y 2=15x ；当x ＞10时：y 2=12x +30．（3）方法1：∵95＞10，∴将95分别代入y1=12.6x和y2=12x+30中，得y1＞y2．∴买彩色铅笔省钱．方法2：当y1＜y2时，有12.6x＜12x+30，解得x＜50，因此当购买同一种奖品的数量少于50件时，买笔袋省钱；当y1=y2时，有12.6x=12x+30，解得x=50，因此当购买同一种奖品的数量为50件时，两者费用一样；当y1＞y2时，有12.6x＞12x+30，解得x＞50，因此当购买同一种奖品的数量大于50件时，买彩色铅笔省钱．∵奖品的数量为95件，95＞50，∴买彩色铅笔省钱．25、答案：（1）在甲商店需要花81元，在乙商店需要花82元．（2）到甲商店购买更合算．（3）当买15只羽毛球时到两家商店购买同样合算．解答：（1）甲商店：（25×2+2×20）×0.9=81（元）；乙商店：25×2+2×（20-4）=82（元）．答：在甲商店需要花81元，在乙商店需要花82元．（2）设在甲商店能买x只羽毛球，在乙商店能买y只羽毛球．由题意，得：()() 25220.990 2522490xy⎧⨯+⨯=⎪⎨⨯+⨯-=⎪⎩，解得：2524 xy=⎧⎨=⎩，∵25＞24，∴到甲商店购买更合算．（3）设买m只羽毛球时到两家商店购买同样合算．由题意，得：（25×2+2m）×0.9=25×2+2（m-4），解得m=15．答：当买15只羽毛球时到两家商店购买同样合算．26、答案：（1）这家食品厂到A地的距离是50公里，这家食品厂到B地的距离是100公里．（2）这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各220，200吨．解答：（1）这家食品厂到A地的距离是x，这家食品厂到B地的距离是y，可得：22030100x yx y=⎧⎨+=++⎩，解得：50100 xy=⎧⎨=⎩，答：这家食品厂到A地的距离是50公里，这家食品厂到B地的距离是100公里．（2）这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各m，n吨，可得：1.520 1.53015600130********m nm n⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得：220200mn=⎧⎨=⎩，答：这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各220，200吨．。

第八章二元一次方程（组）解应用题（含答案）1缉私艇与走私艇相距 120海里的同一航道上航行，如果走私艇与缉私艇同时相向而行，则2小时缉私艇即可将走私艇截住；如果走私艇与缉私艇同时同向而行，则缉私艇需12小时才能追上.问走私艇与缉私艇的速度分别是多少？1. 解：设走私艇的速度是 x海里/时，缉私艇的速度是 y海里/时，由题意得：[2（x+y）=120[12 （y- K）-120，解得卜，辽（y=35答：走私艇的速度是 25海里/时，缉私艇的速度是 35海里/时2. 甲、乙两人从 A , B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条直线公路相向匀速行驶.出发后经 3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.（1）问甲、乙行驶的速度分别是多少？（2）甲、乙行驶多少小时，两车相距30千米？2. 解：（1）设甲、乙行驶的速度分别是每小时 x 千米、y千米，根据题意，得’,ir v-i & 解得….（y=45所以甲、乙行驶的速度分别是每小时15千米、45千米；（2）由第（1）小题，可得 A , B两地相距45X（ 3+1） =180 （千米）.设甲、乙行驶x小时，两车相距 30千米，根据题意，得两车行驶的总路程是（180- 30）千米或（180+30）千米，则：（45+15） x=180 - 30 或（45+15） x=180+30 .解得：戸|或疋所以甲、乙行驶"或—小时，两车相距 30千米2 23. 小明家离学校1.8千米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.如果小明在上坡路的平均速度为3千米/时，而在下坡路上的平均速度为5千米/时，那么从家里到学校共用了32 分钟.求小明上坡、下坡各用了多长时间？3. 解：32分钟小时，15设小明上坡用了 x小时，下坡用了（亠-x）小时，由题意，得15]3x+5 （一-x） =1.8,解得:x=90 y=304. A 、B 两地相距20千米.甲乙两人同时从 A 、B 两地相向而行，经过 2小时后两人相遇, 相遇时甲比乙多行 4千米•根据题意，列出两元一次方程组，求出甲乙两人的速度. 4•解：(1设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/小时，由题意得，(2s+2y=20(2K - 2y=4，解得：|｛二.答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/小时5.长春至吉林现有铁路长为 128千米，为了加快长春与吉林的经济一体化发展，有关部门决定新修建一条长春至吉林的城际铁路，城际铁路全长96千米•开通后，城际列车的平均速度将为现有列车平均速度的 2.25倍，运行时间将比现有列车运行时间缩短 芒小时.求城际3列车的平均速度.5.解：设现有列车的平均速度为x 千米/小时，现在列车的运行时间为y 小时.xy=1282.药小(y- -|) =96，卜二內4解得 ：.64X2.25=144 千米 /小时.城际列车的平均速度 144千米/小时6•甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行， 1小时20分后相遇•相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？[解得：x=「，则下坡所用时间为:答：小明上坡用了 鱼左』=丄15 30"10'小时1CI—小时，下坡用了306. 解：设汽车的速度是[■| (x+y) =160丄』 ，x 千米每小时，拖拉机速度 y 千米每小时，根据题意得:则汽车汽车行驶的路程是： （一+_） >90=165 （千米），3 2拖拉机行驶的路程是：（一+卫）>30=85 （千米）.冈2答：汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了165千米和85千米7.—列客车长200 m ，一列货车长280 m ，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两 车尾相离经过16s,已知客车与货车的速度之比是 3: 2,问两车每秒各行驶多少米？ 7.解：设客车的速度是每秒x 米，货车的速度是每秒 -x 米.由题意得（x+Zx ） >6=200+280 ,3解得x=18.答：两车的速度是客车 18m/s ，货车12m/s& A 、B 两地相距36千米•甲从A 地出发步行到B 地，乙从B 地出发步行到 A 地•两人 同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的 2倍•求两人的速度.&解：设甲的速度是 x 千米/时，乙的速度是y 千米/时. 「4 (x+yj =36 (36-內0 二2 (36-6y)解得: 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时9•从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走 3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走 5km ，那么从甲地到乙地用 54分钟，从乙地到甲地用 42分钟，甲地到 乙地的全程是多少？xkm ，平路为ykm ，/• x+y=3.1km ，答：甲地到乙地的全程是 3.1km 10•甲、乙分别自 A 、B 两地同时相向步行，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速 度都提高了 1千米/小时，当甲到达B 地后立刻按原路向 A 地返行，当乙到达A 地后也立刻由题意得:9•解：设从甲地到乙地的上坡路为解之得宙1・5 ］尸1花按原路向B 地返行，甲、乙二人在第一次相遇后 3小时36分又再次相遇，则 A 、B 两地的距离是多少？10•解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为y 千米/时， 可得：x+y=18 A 、B 两地的距离=2 (x+y) =2 XI8=36 答：A 、B 两地的距离是36千米11 •某班同学，从学校出发步行到某地搞军训活动，如果每小时走 6km ，则可提前10min到达目的地；如果每小时走 5km ，则比预定时间迟到 18min ，问：学校到某地有多远预定到达时间是多少？11 •解：设学校到某地 x 千米•预定到达时间是 y 小时.$(厂”I 5吨)=/解得.*1° •故学校到某地14千米•预定到达时间是 2.5小时 12.甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行.如果乙先走20km ，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走 1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人 的速度.12 •解：设甲的速度是 x 千米/时，乙的速度为y 千米/时， 答：甲的速度是25千米/时，乙的速度为5千米/时13.甲，乙两人相距15千米，如果两人同时相向而行，过 1小时30分相遇；如果乙向相反方向走，甲同时追赶，经过 7小时30分可以追上，求甲，乙二人的速度各是多少.13.解：设甲，乙二人的速度是 x 千米/小时和y 千米/小时.fl. 5K +1. 5y=157.由题意得,x=20+y0.25s= (141X25)y由题意可得:答：甲，乙二人的速度是 6千米/小时和4千米/小时14、在某条高速公路上依次排列着A B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米•分别在A C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A C两个加油站驶去，结果往 B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上. 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？14、解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则3 x y 120 x y 40 x 80，整理，得y ，解得，x y 120 x y 120 y 40答：巡逻车的速度是 80千米/时，犯罪团伙的车的速度是 40千米/时.15、悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.归时四分行六百，风速多少才称雄？15、解：设悟空飞行速度是每分钟x里，风速是每分钟 y里,依题意得 4(x+y)=10004(x-y)=600 x=200 y=5016. 某列火车通过450米的铁桥，从车头上桥到车尾下桥, 度穿过760米长的隧道时，整列火车都在隧道里的时间是分别是多少？16. 解:设火车长为x米，火车的速度为 y米/秒,33y=x + 45022y=760 — xX=276 「解方程组得：［y=22答：火车长276米，速度为22米/秒. 共33秒，同一列火车以同样的速22秒，问这列火车的长度和速度。

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2) ；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售（.例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息×(1－利息税率)⑤年利率＝月利率×12⑥月利率=年利率1.12注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：n 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验.方程组⑤在寻找等量类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程. (2)有两个等量关系：①相向而行：汽车行驶 11小时的路程＋拖拉机行驶11小时的路程＝160千米;33②同向而行：汽车行驶 1小时的路程＝拖拉机行驶1 1 小时的路程.22解：设汽车的速度为每小时行 千米，拖拉机的速度为每小时千米.4 x y 160,3x 90,根据题意，列方程组11 解这个方程组，得: 30x 1y 2y2901 1 165,30 1 1 185.1 21 233答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360 元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析.【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B（注：获利进价（元/件）1200售价（元/件）1380=售价—进价）求该商场购进A、B10001200两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为 2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后xx2.25%yy2.25%80%2042.75 解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华:我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条.现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题6.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年x y200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析.【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得：xy9,x5,1.6x1.5y14，解得：4y所以：1.6x=1.6 5=8,1.5y=1.5 4=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.【变式1】(2011年北京门头沟区中考一模试题)“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多男孩与女孩各有多少人吗？.如果每位男1倍，你知道类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x＋y问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：100y＋x解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数.类型九：列二元一次方程组解决 ——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝ 50；（2） 混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种 溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（ 4）混合前两种溶液所含纯酒精之和 与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比 解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取 . xkg,ykg.依题意得：，答：甲取20kg ，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取 10xkg 和5ykg ，则甲种酒精溶液含水 7xkg ，乙种酒精溶液含水 ykg ，根据题意得：，所以10x=20,5y=30.答：甲取20kg ，乙取30kg总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了 题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么有时候需要设辅助未知数.举一反三：【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效.用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？.有时候需要设间接未知数， .列方程组解应用题，首先要设未知数，多数类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.举一反三：3厘米，补到较短【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）.【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.举一反三：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？。