高中数学竞赛中有关不等式的研究【文献综述】

高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式第一篇：高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 切比雪夫不等式★ ★ ★§1。

柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当本不等式称为柯西不等式。

时成立。

思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1∴右-左=当且仅当思路2 注意到证明2当当定值时，等式成立。

时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

时等式成立；时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数由于。

恒非负，故其判别式即有等式当且仅当若常数时成立。

柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证注意到此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真欲证①,即需证②①(11)再证欲证③,只需证, ③而④即要证④⑤(注意由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是)即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当式链时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等其中等式成产条件都是§２．排序不等式定理２设有两组实数，．满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组时成立。

一个排列，等式当且仅当或说明本不等式称排序不等式，俗称例序积和乱序积和须序积和。

证法一．逐步调整法首先注意到数组也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

最新高中数学不等式论文有哪些不等式是基础理论的重要组成部分，也是刻画日常生活、现实世界不等关系的数学模型，想必很多人都想知道高中数学不等式的论文。

接下来店铺为你整理了高中数学不等式论文，一起来看看吧。

高中数学不等式论文篇一摘要：数学是一门复杂并且神奇的学科，高中阶段是数学学习中的一个重要阶段，它不仅是将来升学考试中的一门重要学科，而且为将来的生活应用打下了坚实的基础。

不等式教学是高中数学中的重点和难点之一，因此，教师在数学教学中需要引导学生找到解不等式的根本方法，才能有效解决学习中所遇到的问题。

新课改后，数学思维成为数学教学中的本质所在。

本文主要论述高中数学中常见的数学思维种类，数学思维在不等式教学中的运用及意义，最后得出结论。

关键词：数学思维不等式高中数学应用意义引言使用一般的数学解题方法一般很难快速解答高中数学不等题目，不等式的探究需要借助严密数学思维推理分析证明两式之间的关系，这样学生在解题过程中能够快速找到解题的关键点和切入点，使学生少走弯路，也避免了学生在数学学习中由于找不到正确方法所导致的厌学等情绪。

所以在平时数学教学中要培养学生使用数学思维分析不等式题目的习惯，调动学生学习的积极性和主动性。

一、数学思维的种类高中数学思维主要有函数方程、数形结合、数学模型、化归、递推等，这些高中数学教学中的常见和关键方法，尤其是在不等式的运用中更是起到了事半功倍的作用。

一道数学题目不简简单单只是包含一个问题，它所覆盖的数学知识面是很广的，通过已知条件提出问题从而考察学生的思维能力。

分数只是总结分析学生学习结果的一种方式，教学者需要从学生答题过程中发现存在的问题，针对性地将数学思维渗透到教学中，提高学生对数学思维运用的意识[1]。

二、数学思维在不等式教学中的应用1.数形结合在不等式教学中的应用数形结合是指将数学和图像相结合，使不等式中比较抽象的问题具体化，加深学生的理解，例如，在题目y2+y-2>0中，可以先将不等式化为(y-1)(y+2)>0，然后先将不等式看做等式，得出两个解，即y=1和y=-2，然后根据不等式画出坐标图，通过之前所得出的根画出不等式的图形，从而快速得出不等式中y的取值范围。

关于不等式知识解题的策略研究1. 引言1.1 背景介绍不等式是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中起着至关重要的作用。

从初中阶段开始，我们就开始接触不等式知识，但随着学习的深入，难度也不断提升。

正确的掌握不等式知识并运用到实际问题中，对培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要意义。

随着近年来数学竞赛在各个层次的普及，不等式题目也成为了竞赛中的常见考点。

深入研究不等式知识及解题策略对于提高学生在数学竞赛中的表现具有重要意义。

通过系统学习不等式的基础知识，掌握不同类型的不等式解题策略，并通过实例分析各类不等式题目，可以帮助学生更好地掌握不等式知识，提高解题效率。

本文旨在从不等式的基础概念入手，系统梳理不等式的解题策略和常见类型，进而探讨不等式知识在数学竞赛中的应用。

通过深入研究不等式知识，帮助读者更好地理解不等式的重要性及解题技巧，从而在解决实际问题和参加数学竞赛中取得更好的成绩。

1.2 研究意义研究不等式知识解题的策略具有重要的意义。

不等式是数学中的基础知识之一，掌握不等式解题策略可以帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学学习的效率。

不等式在数学竞赛中占据着重要的地位，许多数学竞赛中的题目都涉及到不等式的应用，掌握不等式解题策略可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。

不等式知识的研究也有助于拓展数学思维，培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力。

深入研究不等式知识解题的策略对于提升学生数学素养、促进数学教育的发展具有重要的意义。

通过对不等式知识的研究，可以更好地指导教学实践，为学生提供更加全面和系统的数学教育，推动数学教育教学的不断改进和完善。

1.3 研究方法在不等式知识解题的研究中，研究方法起着至关重要的作用。

研究方法的选择直接影响着研究成果的质量和效果。

一般来说，不等式知识解题的研究方法包括理论研究、实证研究和应用研究。

理论研究是不等式知识解题研究的基础。

通过对不等式的基本概念和性质进行深入剖析，揭示不等式解题的规律和方法。

全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

用高等代数方法证明不等式文献综述毕业论文文献综述数学与应用数学用高等代数方法证明不等式一、前言部分21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。

美国《数学评论》2000年新的分类中,一级分类已达到63个,主题分类已超过5600多个,说明现代数学已形成庞大的科学体系,并且仍在不断向纵深发展。

它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。

它为我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具,它也是新世纪公民的文化和科学的重要组成部分。

而不等式在数学中又处于独特的地位。

美国《数学评论》在为作者的《常用不等式》第2版写的长篇评论中指出:“不等式的重要性,无论怎么强调都不会过分。

”在美国《数学评论》MR2000中,除了MR26中的9个主题分类外,还有24个主题分类分散在其他部分,其中MR39B62(泛函不等式)、39B72、49J20、40(变分不等式)、26E60(平均)等都是MR2000新增加的。

这说明不等式仍然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。

自1934年出版的哈代等的《不等式》把不等式领域从孤立公式的汇集改造为系统的学科以来。

不等式已经在几何、代数、分析以及自身的证明上有了比较突出的成果。

而在不等式中，柯西不等式是比较重要的，在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面都要应用到柯西不等式：柯西不等式有多种情况，一般的形式为：设{n a a a ,,,21?}，{n b b b ,,,21?}为两组实数，则有))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a 为了提高其精度，减少误差，有许多人对其进行过广泛研究。

[1]就是其中的一篇，它加入一个引理与柯西不等式结合，得到柯西不等式进一步加强的结果。

[2]是有关分析不等式方面的文章，研究的是一些著名的古典不等式。

文献综述数学与应用数学近五年高考不等式考题的分类研究不等式不仅是高中数学的重点内容，也是高等数学的基础和工具。

“等”与“不等”是辩证统一的，相等关系是不等关系的某一特殊状态。

不等式涉及的数学思想与方法主要有：转化与化归思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程思想、数学建模思想，比较法、综合法、分析法、换元法、放缩法、反证法、数学归纳法、求导法、利用函数的单调性等。

不等式已成为培养学生数学逻辑思维能力、推理论证能力、运算能力、建模能力、分析问题和解决问题的能力的重要素材，也是学生进一步学习高等数学的基础知识和重要工具。

教育部（2003）公布的《普通高中数学课程标准（实验）》中关于不等式的安排是：必修5中从不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式组与简单线性规划问题和基本不等式四个方面对高中生做了学习要求。

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

能够解一些不等式的习题以及解决关于不等式的具体实例。

选修4－5：不等式选讲则是对高考理科生提出更高要求。

纵观近年来高考试题，不等式问题一直是考查的重点和热点，在近年来的高考试题中占有相当大的比重。

在每年高考试题中，直接或间接考查不等式知识约占总分的三分之一以上。

不等式试题体现了“基础与能力考查并重”的原则。

这些试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能和基本方法，而且能更有效地测试逻辑推理能力、运算能力以及运用相关知识和方法去分析问题和解决问题的能力。

正是由于高中不等式板块内容多，高考题目灵活多样，所以不等式一直是学生在高考时容易失分的一个板块。

过往几年许多教师和教材配套辅导书编写者都致力于不等式的研究，并取得一定成果。

关于高考不等式的研究可以说是百花齐放。

不等式解法方面是目前研究比较透彻的领域。

黄爱民和肖颖妮在2007年第四期中学数学月刊中发表《高考复习中不等式题型分析及解法》，文章从以简易逻辑关系考查参数不等式的解法，以二次函数为背景设计不等式问题，以绝对值不等式为背景考查代数问题，与数列、三角、解析几何等知识交汇, 考查不等式的证明与解法，设计实际应用问题考查重要不等式性质的综合运用等方面给师生高考复习提出建议。

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。

毕-论业-文（20 届）高中数学竞赛中有关不等式的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月【摘要】不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

本文通过阐述各种不等式常用的证明方法，拓展学生思维，培养学生逻辑能力，提高学生分析和解决问题的能力。

【关键词】高中；数学竞赛；不等式证明；证明方法。

Abstract【ABSTRACT】Inequality is one of the hot spot in the math contest. Due to the difficulty of inequality proof, flexibility, demanding skills, often makes it all kinds of mathematics in the competition "upscale" question. Whether geometry, number theory, function or combinatorial mathematics many problems may and inequality, this makes inequalities related problems (especially the inequality proof) in math contest is particularly important. With the most difficult to prove the inequality of mathematics competition problems like nothing fixed pattern, different, because a problem and &beyond flexible and changeable, craft is strong. This paper explains commonly used methods of proof of inequality, develops the student thought, raises the student logical ability, to improve the students' ability to analyze and solve problems.【KEYWORDS】High school ；Math competition ；Inequality proof ；Proof method.目录摘要................................................................................................................................ 错误!未定义书签。

不等式在高考中的应用参考文献
以下是一些关于不等式在高考中的应用的参考文献：
1. 胡凤至编著《高考数学应用题精讲与训练-不等式篇》；
2. 彭柱明、凌立广编著《高考数学习题解析与方法探讨-不等式篇》；
3. 罗方维、华东师范大学附属中学编著《数学竞赛专题探究系列-不等式篇》；
4. 林金玉编著《高考数学经典题解析与思路拓展-不等式篇》；
5. 宋晓晖编著《高考数学考点解读与习题集-不等式篇》；
6. 徐滔编著《高考数学解题指南-不等式篇》；
7. 刘保柱、倪军编著《学会高考数学-不等式篇》；
8. 陈启新主编《高中数学一课一学-不等式篇》。

这些参考文献涵盖了高考数学中不等式的应用题目解析和训练，对于帮助理解不等式相关知识并提高解题能力有很大帮助。