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分析： a 2 (b 3)2 c 4 0
≥0 ≥0 ≥0
a =0−+2 0, b+=03 =, c0=−4. a +b−c=5.
总结：二次根式的双重非负性 1. 二次根式的最小值为0；
a
a≥0 .
a≥0
2.常见的具有非负性的式子有：
a2≥0; a ≥0; a ≥0.
若 a b2 c 0 , 则a=b=c=0.
则 a 20202
.
例3 二次根式双重非负性的应用
分析：
2020 a a 2021 a
a≥2021
a
2021≥0
a 2020 a 2021 a
a 2021 2020
例3 二次根式双重非负性的应用
(2)已知a满足 2020 a a 2021 a,
则 a 20202 2021 .
x2
2 3x
解：Q x 2≥0, 解：Q 2 3x≥0,
x≥2.
x≤ 2 . 3
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义？
x 32
x3
解：Q ( x 3)2≥0, 解：Q x3≥0,
x为任意实数. x≤0.
例1 根据二次根式定义进行判断
二次根式的概念及性质（第一课时）
初二年级 数学
一、引入概念
整式、分式
二次根式
字母表示数
数式通性
运算 加/减
乘 除
乘方 开方
数与字母运算
2a b, x2+x+3L
mn, 3a2b, -x L
定义 多项式 单项式
整式
分式定义
一般地,如果A , B表示两个整式,并且
B中含有字母,那么式子
A B
叫做分式（fraction）.
和引力的理论.根据爱因斯坦的相对论, 地球上的 1秒钟,宇宙飞船内只经过 1 (v)2 秒.
c
其中, v是宇宙飞船的速度, c是光速(约每秒30万千米) .
数学应用
一元二次方程的 求根公式:
直角三角形的斜边
ac
b b2 4ac
x
.
c a2 b2 .
2a
b
二、抽象概念
2 Rh ,
Байду номын сангаас
2gS ,
1
v c
2
,
a2 b2 L
一般地,如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a , 那么这个正数x叫做a的算术平方根 .
二次根号
a 被开方数
规定：0的算术平方根是0 .
一般地, 我们把形如 a a≥0 的式子
叫做二次根式.
注意：①含有二次根号. ②a可以是数,也可以是含字母的式子.
想一想
a a≥0
x≥0 2x 1
0
,
x≥0且x 1 . 2
解：Q x 1≥0 ,
x 1 0 x 1.
总结：求使代数式有意义的字母取值范围的条件：
1. 二次根式型： a a≥0
2.
分式型： A B 0
B
3. 零指数幂型： a0 1a 0
被开方数≥0；
分母 0 ； 底数 0 ；
4. 复合型： 各部分取值范围的公共部分.
例3 二次根式双重非负性的应用
(1)若 10 n 是正整数, 则n的最大整数值是 9 .
分析：
10 n 10 n≥0 n≤10
10 n≥0
正整数 10 n 0
完全平方数
n取最大整数 101-0n-是n非=10的
最小的完全平方数
例3 二次根式双重非负性的应用
(2)已知a满足 2020 a a 2021 a,
（单位:km ）之间存在近似关系r＝ 2Rh ,
其中R是地球半径, R≈6400km .
实际应用
汽车刹车时的速度v与汽车刹车后滑行的距
离S之间存在关系 v 2gS .其中, g是常数
9.8 , μ是摩擦系数. 在解决交通肇事问题时,可以通过测量刹车后
车轮滑过的距离计算车辆行驶的速度.
实际应用
爱因斯坦的相对论家喻户晓.它是关于时空
分析： a 2021 2020 a 2021 20202
a 20202 2021
例4 二次根式双重非负性的应用
已知：a与b为等腰三角形的两边长,且满足等式
2 3a 6 3 2 a b 4.求这个等腰三角形的周长.
分析：3a 6≥0
2
a≥0
a≥2
a≤2
a
2b
4
0
b
4
2 2 4 8(舍)
它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、
乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起
来的式子,我们称这样的式子为代数式.
例1 根据二次根式定义进行判断
(1)下列式子一定是二次根式的是 ( C ) .
（A） x 2
（B） x
（C） x2 2
（D）3 x 1
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义？
运算 数与字母运算
定义
加/减 2a b, x2+x+3L
多项式
乘
mn, 3a2b, -x L 单项式
除
x ， 2m L （分母含字母）
y 3m 2
分式
乘方
(a)3, (3a b)2 L , ( x )2, x2 L 2y
开方
5, 3a, 3 b L
？
整式
实际应用
电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得 越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视 塔高h（单位:km）与电视节目信号的传播半径r
a 2, b 4 4 4 2 10
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义？
1 x x1
x 4 ( x 6)0
解：Q
1 x≥0
x
1≥0
,
解：Q
x x
4≥0 60
,
x=1.
x≥4且x 6.
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有
意义？
x
3
2x 1
x 1
解：Q
例2 二次根式双重非负性的应用
（1）当x取何值时, 9x0 1 3的值最小,
最小值是多少？
≥0
解：Q 9x 1≥0 ,
当 9x 1=0 时, 9x 1 3 的值最小.
即当 x 1 时, 9x 1 3 的值最小, 最小值是39.
例2 二次根式双重非负性的应用
（2）若 a 2 (b 3)2 c 4 0 , 则a+b−c= 5 .
在二次根式的定义中,为什么要求“a≥0”？
“数式通性”：负数没有算术平方根.
若a是常数,则a为非负数；
若a是式子,则式子的值是非负的.
想一想
a a≥0
反过来：
当a > 0时, a 0；
当a = 0时, a = 0.
归纳
二次根式的双重非负性：
a
a≥0 .
a≥0
如5 , a, a b, ab, s , x3, 3, a (a≥0), t
